正态母体参数的置信区间

1、§ 7.3正态母体参数的置信区间在第六章中我们看到，假设J - J 一，；是未知参数0的个点估计，那末一旦获得人A们一个子样观察什咅，,xn,估计值二石，xn能给人们一个明确的数量概念这是很有用的但仔细想一想，就会感觉到这还是不够的因为点估计值只是0的一种近似值，而点估计本身既没有反映这种近似值的精确度又不知道它的误差范围并且在数理统计学中光指估计f的误差范围中人还是不够的，必须指出以多大概率，这个区间' , + 包含未知数0才行这一类带有一定概率的区间，以后称作置信区间，它在实际中也是常常要用到的定义7.1设母体E具有概率函数fx; 0 ，0为未知参数©，轧为取自

2、这个母体E的子样假设对于事先给定的:，0 <1,存在两个统计量0 ，和二打，>使得PU 1，n心"1，n =1一：7.8那么称区间0，旳为参数0的置信度为1八 的置信区间，0和；分另称为置度1八 置信下限 和置信上限由定义知道，置信区间0，；是一个随机区间，并且它的两个端点都是不依赖未知参数0的随机变量，应着重指出的是，等式7.8的含意是指在重复取样下，将得到许多不同的区间0 X1， X，二捲，Xn ，根据贝努力大数定律，这些区间中大约有 1001-的区间包含未知参数.但对于一次抽样所得到的一个区间，决不能说不等式0 为，Xn< 0 <X1，Xn成立的概率为1

3、-.因为这时0X1，Xn，X1，Xn是两个确定的数，从而只有两种可能 要开这个区间包含0 ；要末这个区间不包含0 .因此定义来说区间0 为，Xn，"X1,，Xn属于包含未知参数0的区间类的置信度是1八.所以提置信度以示与概率有所不同，其理由即在于此.那末,在实际问题中如何寻求置信区间呢？让我们看一个例子.例7.7设轴承内环的锻压零件的平均高度E服从正态分布 N卩,0.42.现在从中抽取20只内环，其平均高度X=32.3毫米.求内环平均高度的置信度为95%的置信区间.解我们知道子样的均值是母体均值的点估计.由此构造一个子样函数E -卩U CT =0.4<yn它含有求置信区间的未知

4、参数卩,但它的分布N(0,1)不含有任何未知参数.故对于给定的置信度1- ：,可以查表得出相应的分位点-.，使得1出P(|U 卜：J =1-：2利用不等式变形可得它的等价形式为(7.9)P(-»1 川U 卄®""2 2或P(-4 <亦<4。)=1"于是craP(L j110)这样，我们得到置信度1- ：的置信区间J：，我们这里1-a =95%, a =0.05,竺=0.025.查正态 N(0,1)表得到 叫975 =1.96.由子样观察值得到的2X=32.3二=0.4.n=20 算得0 4x 卩 ° 975 = 32.31

5、.96 汽 32.12(nJ20-a0 4x '0.97532.3 1.9632.48Jn<20所以卩的一个置信区间为(32.12,32.48)由这个例子可以看出，寻求未知参灵敏0的置信区间一般可通过以下三个步骤得到：(1) 寻找子样(，山)的一个函数卩(1,，q ； 0 )它只含所要置信区间的未知参数0而不含其它未知参数，且其分布也不含任何未知参数(当然也不包括等估参数0 ).在不少场合，这个函数可以从未知参数点估计经过变换获得；(2) 对于给出的置信度1-，确定分位点.这里由于函数 卩(1,，雹；0 )的分布不含有任何未知参数，所以一般地说，这种分位点是可以算出的，特别,在(

6、1)中确定函数时,往 往选择这样的函数卩，使得其分布是有表可查的常用分布；(3) 利用不等式变形求得未知参数0的置信区间.上述例7.7给出了正态母体c2时均值卩的置信区间，当二2未知时，我们完全如假设1n_c检验中所做的一样，用方差的无偏估计 Sn(_J2代替母体方差n 1 y*2二2 .这时我们构造的子样函数为S'(7.11)它只含有参数 卩,而且它所服从的自由度为 n-1的t-分布不依赖于任何参数 在给定置信度1-下，我们得到P -1 a(n -1)£ * Jn £t a(n1)"Sn尾1-2这里t (n -1)是由查自由度为n-1的t-分布表得到，利

7、用不等式变形1亠2-t1 ：( n-1)： J，: t1(n-1)2Sn2得到卩的置信度为1-的置信区间-s s-n -“乎匸n -1)-2£ n2n 丿关于正态母体的方差以及两个正态母的均值差_ 2三的置信区间的构造-2是完全类似的。它们所用的子样函数与假设检验中所用的统计量有相同的分布这里再讨论一下正态母体的均值与方差二2的联合置信区域 假设我们需要求置信度1-=95%的置信域.在第五章中我们知道子样均值和方差的无偏估计 S；2是是相互独立的.所以我们构造两个只含未知参数J和匚2的相互独立的统计量E -4u和an*22 _ (n -1)Sn_ 2CT它们分别有N(0,1)和 2(

8、n-1)分布,都不依赖于任何参数.要从P -a <= 0.9512)解出a,C1,C2,由于u与2的相互独立.我们只要从a :CJ求解就可以了 假设1 1和：2为任意两个满足*2:i -2=0.95,0< '-1, '-2<1的数,那么我们可从P -a <P c1 <* 2(n _1)Sn : c22 CJ出发解出讨论而取分别求出a,G,C2,其中(n- 1)Sn2< c2)二 0.975G与C2确实定如在2-检验中一样，然后利用不等式变形就可得出(，二2)的置信域.由12)式我们得到P_I)j,(1)Sn.2nc2* 9 飞Jn- 1)Sn

9、20.95C1a,Ci,C2的值.当然有很多'-1与'-2的值的组合.这里为简单起见，我们忽略最正确性的=-2 = 0.95, - = 2 = 0.975.这样就可以由= 0.975最后我们必须指出，对于同一置信度的置信区间可以有很多，也就是置信区间不是唯一的.一般说来，所构造的置信区间的长度愈短愈好.例7.7中我们把:=0.05分成相等的两局部2 =0.025得到置信区间为I ：.= (32.12,32.48),那么 I :.的长度为 32.48-32.12=0.36.假设2 2我们把=0.05 分成=0.01, ： 2=0.04,那么有P(%.04 :：U 0.99)=0.95查正态分布N(0,1)表得于是算得%99 =2.33, %.04 - -1.75i04= 32.1.7-°=4 &32.147nJ2004x + 40 99 疋 十=32.3 + 2.33=応 32.51dnJ2032.51-32.14=0.37.比区间 I 一 的长2,以子样