产生各种概率分布的随机数

1、产生各种概率分布的随机数第一页，共33页。 5.3.1 5.3.1 求逆法求逆法 求逆法是基于概率积分反变换的法则，是从许多种离散分布中获得采样值的基本方法。求逆法的基本步骤如下： 计算所要的随机变量X的概率分布函数 F（X）； 在X的取值范围内，置F（X）= R。由于X是一个 随机变量，因此R也是一个随机变量，可以证明，R是区间（0，1）上的均匀分布； 解方程 F（X）= R，用R来表示X，即是求F（X）的逆；第二页，共33页。 产生所要的在（0，1）上的均匀分布随机数 并由下式计算所要的随机变量： 。1,R111XXFR 若X为一个随机变量，它的分布函数为F（X），记 为F（X）的反函数，

2、 U为0，1均匀分布随机变量，则随机变量 同X具有相同的分布函数。事实上，我们有：1( )xFy1( )xYFU1()()( )( )()xxxP YyP FUyP UFyFyP xy1( )xx F u23,., ,.iR RR算法： 1）产生U 2）第三页，共33页。例5.3：产生服从负指数的随机数x。负指数密度函数：( )(0)xf xex其分布函数： x( )01,0 xxxFe dxex 易得F（x）的反函数为： 设U为0，1( )1ln(1)xxF1ln(1)xu 即为所求的随机数。又因U是0，1上均匀分布的随机数，所以（1-U）也是0，1上均匀分布的随机数，故上式可以简化为 1l

3、nxu 均匀分布，则第四页，共33页。例5.4 产生服从集合分布的随机数几何分布的密度函数为：1(),1,1,2,.,kf xkpqp qkn 其分布函数为：11( )1xixiF xpqq 设U是0，1上均匀分布的随机数，令( ) 1xF xqu 可求得ln(1)/lnxuq又因（1-u）也是0，1上均匀分布的随机数，上式可简化为ln/lnxuq第五页，共33页。 求逆法的优点显而易见，但是在实际应用时往往会遇到一些困难。问题在于分布函数的反函数难以求得，或者计算反函数的工作量过大，以至于无法实现。第六页，共33页。 5.3.2 5.3.2 舍选法舍选法 舍选法的实质是从许多均匀分布的随机数

4、中选出一部分，使其成为具有给定分布的随机数，它可生产任意有界的随机变量。假设要生成随机变量X服从1/4到1之间的均匀分布，一种方法是：1） ：产生随机数R2） ：若R1/4，接受X=R；否则舍去R，转 回 13） ：重复该过程至结束第七页，共33页。设某一随机数变量的密度函数f(x)满足：当xb 或x1解：计算f(x)的最大值11( )()0(1)/0( ) ( )1,( )|(1)/(2)2rsdf xrsdxxdxdxr T srxMf xxrsrsr 第十三页，共33页。求解步骤： 1）根据r,s，求f(x)的最大值M2）产生0，1均匀分布随机数R1， R2。3）检验 是否成立。若成立R

5、1为Beta分布的随机数，否则转2。111211()( )|(1)( ) ( )rsx Rr sR Mf xRRrs 第十四页，共33页。例：用舍选法生成具有下面密度的随机数3( )20 (1) ,01f xxxx分析：由于随机变量在（0，1）上取值，不妨取( )1,01g xx确定C使得3( )/ ( ) 20 (1)f x g xxxc求微分32( )20(1)3 (1) 0( )d f xxxxdx g x得最大值点于是14x 313135( )/( )20( )( )4464f xg xc于是有3( )256(1)( )27f xxxcg x第十五页，共33页。 舍选法只用到了密度函数

6、f(x)，所以比较方便简单，但其效率低。算法： 1）生成随机数 和 1u2u2）如果3211256(1)27UUU，停止迭代，令1xu，否则返回1。生成一个X步骤1的平均迭代次数为：13564c 第十六页，共33页。 5.3.3 5.3.3 组合法组合法在本节中我们要用到凸组合的概念，它的定义如下：设1x、2x、kx是nR中点集X的k个点，若存在1、2、k满足0j，01kjj，使1 12 2kkxxxx也属于X，则称x为1x、2x、kx（对于1、2、k）的凸组合。第十七页，共33页。 组合法的主要思想是这样的，当我们要生成的随机数数列服从的分布函数F可以用其它分布函数1F，2F，的凸组合表达，

7、并且jF远比F时，我们可以先生成服从jF的随机数数列，然后再的随机数数列。F要简单利用这些随机数数列得到服从第十八页，共33页。具体来说，我们假定对所有x，( )F x可以写成：1( )( )mjjjF xp F x这里0jp ，11mjjp，每一个jF是一个分布函数，f，则假定它可以写成1( )( )mjjjf xp fx这里jf是其密度函数。在离散情况下，组合法依同样若x为密度函数然适用。第十九页，共33页。 有时我们能给出组合法的几何解释，例如对于X上一个具有密度 的连续随机变量，我们可将 下的面积分为 、 、区域，对应于将 分解为凸组合表示，然后我们可以认为第一步是选一个域，而第二步则

8、是从所选域对应的分布中产生随机数。ff1p2pf例例 双指数（或拉普拉斯）分布具有密度函数 ，( ) 0.5xf xex为实数。由图5.5可见，除了因子0.5之外，( )f x可以看成是由两个背靠背的指数函数组成。我们可把( )0.5xf xe表示为：(,0)(0, )( ) 0.5( ) 0.5( )xxf xe Ixe Ix第二十页，共33页。这里AI表示集合A的指示函数，它定义为：1( )0AIx如xX其他于是，( )f x可看作1(,0)( )( )xf xe Ix和2(0, )( )( )xf xe Ix的凸组合，1( )f x和2( )fx都是密度函数，且120.5pp因此，我们可

9、用1( )f x2( )fx和的组合来产生X。R2，如果10.5R ，则令2lnXR 返回。同样，10.5R ，则令2lnXR返回。首先产生两个在0，1 上服从均匀分布的随机数R1，若第二十一页，共33页。图5.5 双指数分布的概率密度函数第二十二页，共33页。 5.3.4 5.3.4 经验分布法经验分布法 经验分布法又称为表搜索法，主要用于产生离散分布的随机数，也可通过离散近似抽样产生连续分布的随机数。现实中很多随机现象的理论分布往往是不知道的，而其经验分布常常是可以得到的，为了仿真这些随机现象，通常根据它们的经验分布来产生抽样值。下面介绍用经验分布法来产生离散分布随机数的方法。设随机变数X

10、的取值ix的概率为ip，即iiP Xxp（i = 1，2， ，k）且01iip01ip第二十三页，共33页。 将0，1区间划分为k个小区间，每个区间长度分别等于 、 、 。令 ， ，i = 1，2， ，k。其中 称为累积分布函数，即 ， + 。现任取0，1上均匀分布的随机变数 ，若 ，则 。这是因为我们有1p2pkp00L 0iijjLpiL11Lp212Lpp1iiLLiXx1iiiiP LLpP Xx第二十四页，共33页。综上所述，产生离散分布的随机数主要步骤如下：iL1）编制如表5.3所示的表格，并存入计算机内。 为了缩短搜索时间，累积分布函数 可按， 排列计算；12kppp2）产生0，

11、1上均匀分布的随机数r；3）进行表搜索，若 ，则 。1iiLLiXx第二十五页，共33页。例：在研究消防队工作人员和消防员可能备选的调度策略的仿真中，收集到了消防队接到报警后的响应时间的5个观测值（min），数据如下：2.76 1.83 0.80 1.45 1.24第二十六页，共33页。 在收集更多的数据之前，希望以这5个观测值为基础的响应时间分布建立一个初始仿真模型。 首先，可以假设响应时间X的范围为0=X=c (c是未知的，但我们用观测值的最大值作为其估计值 ) c 将观测数据由小到大排列，假定每个间隔的概率为1/n，n表示观测值的个数。由此，可以得到经验分布函数的估计值( )F x第二十

12、七页，共33页。i i 区间区间概率概率1/n1/n累积概率累积概率i/ni/n斜率斜率a ai i1 10.20.20.20.24.004.002 20.20.20.40.42.202.203 30.20.20.60.61.051.054 40.20.20.80.81.901.905 50.20.21.01.04.654.65iixxx)1(ix80. 0024. 180. 0 x45. 124. 1 x83. 145. 1 x76. 283. 1 x0.51.03.02.52.01.5x1.00.80.60.40.2F(x)0R1=0.71X1X X1 1=1.45+1.90=1.45+1

13、.90(0.71-0.60)=1.66(0.71-0.60)=1.66第二十八页，共33页。第i条线段的斜率是： 因此，当 i-1/nR=i/n时，计算累积分布函数的逆： 11/iiixxan111( )()iiiXFRxa Rn第二十九页，共33页。i i 区间区间概率概率1/n1/n累积概率累积概率i/ni/n斜率斜率a ai i1 10.20.20.20.24.004.002 20.20.20.40.42.202.203 30.20.20.60.61.051.054 40.20.20.80.81.901.905 50.20.21.01.04.654.65iixxx)1(ix80. 002

14、4. 180. 0 x45. 124. 1 x83. 145. 1 x76. 283. 1 x0.51.03.02.52.01.5x1.00.80.60.40.2F(x)0R1=0.71X1X X1 1=1.45+1.90=1.45+1.90(0.71-0.60)=1.66(0.71-0.60)=1.66第三十页，共33页。 5.3.5 5.3.5 近似法近似法 近似法是指一种利用一些定理或公式来近似地产生所需随机数的方法，这种方法一般用于分布函数比较复杂，难以对其求解的情况，如正态分布。下面主要介绍用该方法产生正态分布随机数的问题。1、利用中心极限定理设12,n 为n个的在0，1区间上的均匀分布随机数，它们相互独立，则有11,1,22niiinin22211,1,121212niiinnin第三十一页，共33页。根据中心极限定理11122()212