浙江省2+2考试高数复习资料含真题、模拟和考试大纲

1、得分阅卷人1 .函数 f (x)a ln(1 x)xe导，贝y a =b , x 1在x 1处可,X 1b = .2 假设函数 f(x) 0满足方程X2f 2(x)2 f(t)dt 1，贝y f (x)03.二阶常系数线性非齐次微分方程y'' y sin x的通解是4设(a,b,c),AA*为 A的伴随矩阵，那么 A* =5设A为n阶方阵，AAt E, E为n阶单位阵，A 0,那么 A E6.袋中有6只红球4只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得 2分，取到一只黑球得1分，那么得分不小于 7的概率为二.选择题此题共有5个小题，每一小题 4分，共20 分，每个小题给出的

2、选项中，只有一项符合要求2 21.二元函数 f (x, y) x 2y 2lnx In y在其定义域内()A有极小值C既有极大值也有极小值得分阅卷人B有极大值D无极值2. R为收敛半径的充分必要条件是().2022年浙江省普通高校“ 2 + 2 联考?高等数学?试卷题号-一一-二二-三四五总分复核得分考试说明:1、考试时间为150分钟；2、总分值为150分；3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否那么无效;4、密封线左边各项要求填写清楚完整。一、填空题：只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程,此题共有6个小题，每一小题 4分，共24分那么: A点(0,0)不是二元函数

3、 f(x,y)的极值点B点(0,0)是二元函数f (x, y)的极大值点C点(0,0)是二元函数f (x, y)的极小值点D无法判断点(0 ,0)是否是二元函数f (x,y)的极值点a1 Xa2 X2a1n Xnb14.对于非齐次线性方程组a?1 Xa?2X2a2n Xnb2an1 X1an2X2ann Xnbn以下结论中不正确的选项是().(A)假设方程组无解，那么系数行列式D 0(B)假设方程组有解，那么系数行列式D 0(C)假设方程组有解，那么或有唯一解,或有无穷多解ABcD3.二元函数R时,R时,时,时,anX收敛，且当anxn收敛，且当anXn收敛，且当anXn收敛，且当n 1f(x

4、,y)在点(0,0)某邻域内连续nanXnanXnanXmo o Hx y发散发散发散y/.VfanXn发散2X(D) D 0是方程组有唯一解的充分必要条件5. 某单位 总机在长度为 t (小时)的时间间隔内，收到呼叫的次数服从参数为-泊松分布,3而与时间间隔的起点无关，那么在一天24小时内至少接到1次呼叫的概率为().(A) e(B)(C)(D)1-e得分阅卷人三计算题：计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的 不给分，此题共7个小题，每题9分，共63分1.z f(x, y) x 2y (Inx 2lny)，在计算点(2,1)处函数值时，如果自变量x和y分别发生误差x 0.02和 y 0.0

5、1 ，试用二元函数的微分来估计此时产生的函数值误差z的近似值2.设函数f (x)在点x 0的邻域内连续，极限3f(x)2ln(1 x)2 x存在，1求f(0)的值;2假设 A 1,问:f(x)在点 x0处是否可导?如不可导，说明理由；如可导，求出f'(0).3. 1广义积分x2e dx是收敛的，试利用初等函数ex的幕级数展开式推导出这个广义积分的值大于 1的结论，详细说明你的理由4分22利用1的结论，试比拟(X 2) e 玄 2xdx 与 (2 x) e 玄 2xdx 的2 1大小，详细说明你的理由5分f(x, y)d4.定义在全平面上的二元函数2f(x,y) f (x, x) ydx

6、 (x 1)其中 D是由直线 y x, y 1和y轴所围成的封闭平面区域，求f (x, y)的解析表达式5 计算行列式1a a00011 aa00011 aa0的值0011 aa00011 a11002134011002136 B,C, 矩阵 A 满足00110021000100021 T TA(E C 1B)T CT E , E 为单位阵 , 求 A7设随机变量 ( X , Y) 的概率密度函数为 f (x,y)求 : (1) 常数 A 2 分 ； (2) Z min( X ,Y) 3 ( X , Y ) 落在以 x 轴 , y 轴及直线 2xA e (x y) , x 0, y 00 ,

7、其它的概率密度函数 4 分y 2 所围成三角形区域D 内的概率 3 分四应用题： 分1.设工厂生产此题共3个小题，每题10分，共30得分阅卷人A、B两种相同用途但不同档次的产品。每生产一公斤 A产品和B产品的变动本钱分别为12元/公斤和8元/公斤；这两种产品1 1的需求函数分别为x (64 4p q)和y (14 p q)，其中 p、q分别为A产品33和B产品的销售单价元 /公斤，x、y分别为A产品和B产品的市场需求量单位：公斤问：在供需平衡情况下即需求量等于生产量1该工厂生产两种产品各为多少时，所得的总利润到达最大？此时销售单价各为多少？(4分2现在，政府拟对 A、B两种产品征税。为了使从这

8、两种产品征得的总税收费到达最大，政府税务部门应确定 A、B两种产品征收的税率元 /公斤分别为多少？ 4分 业专考报3在总税收费到达最大的方案确定后，消费者在购置一公斤A产品和一公斤B产品时,各将承当多少税费？2分2设1(1)阶 矩阵 A 的特征 值为 1 1， 2 2， 3 3，对 应的特 征向量 依次 为1，1，1T , 2 1，2，4T , 3 1，3，9T , 又1，1，3T ,将 用 1， 2 ， 3 线性表示 ; 2 求 An , n 为自然数 .3.设钻头的寿命(即钻头直到磨损报废为止所钻透的地层厚度，以米为单位)服从参数为0.001的指数分布,现要打一口深度为 2000米的井,求

9、：(1)只需一根钻头的概率；(2)恰好用两根钻头的概率.得分阅卷人五证明题：此题共2个小题，第一小题 6分,第二小题7分，共13分1 假设级数 an绝对收敛，级数(bn 1 bn)收敛.n 1n 1门试证级数(an bn)绝对收敛；4分2假设仅知级数n 1an收敛， 其他条件不变，试举例说明此时结论1不成立.2分2设 A 和 B 均是 n 阶可逆阵 , 且存在常数 使 A (A E)B , E 为 n 阶单 位阵 , 证明 : AB BA .2022年浙江省普通高校“ 2 + 2 联考?高等数学?模拟试卷13 21、极限limx可(sin x cosx).x2 x【分析】无穷小与有界变量的乘积

10、仍为无穷小32X X 13x22x【详解】limx厂lim 2 limx2Xx3x 2XI n23x2 x界。【答案】应填0o解答 一、填空题：62x(ln2)30，而 sin x cosx 有3、微分方程dy ydx x得原方程的通解为-u, y Xux，那么du13dux u u,Xdx2dxC ,将u上代回，得X【详解】 齐次方程,代入原方程，得u积分得In | x |u1 3-u ,22xyydyduu x, dxdx23du udxxIn |x | C ,|x|.In | x | C2、 f (X0)1，贝U limXx 0 f(X02x)f (X0x)【详解】lim f(X0 2X

11、) f(X0 X)limf (X02x)f(X0)lim f (X0 x) f (X0)x 0Xx 0Xx 0X2f(Xo) f (Xo)f (Xo) 1 o【答案】应填1o1 y 3()满足y |x 11的特解为y2 x1，于是所求特解为【答案】 应填y|x|In | x| 14、设A为m阶方阵，B为n阶方阵，且|A|O，那么|C|【详解】O A|C| 口 厂(1)mn|A| |B|( 1)mnaboB O【答案】应填1mn ab o2 2 25、假设二次型2X1 X2 X3 2X1X2 tX2X3是正定的，贝y t的取值范围是 【详解】用顺序主子式讨论二次型的矩阵为0t/2，1IA2I21

12、001t1 A|11t/211t/20t/210 t/21420解不等式组2(2)(1)00t/21.【答案】 应填1 y °，解得辽t.2。6、从数 1,2,3,4中任取一个数，记为再从1,X中任取一个数，记为Y,PY 2【详解】由全概率公式,PY 24PX i) PY12|Xi111-(042 3134813【答案】 应填1348【详解】【答案】limf(1 x) f(1)x 0xf(x) f(0) a limx 0 x选(D)。f (1)aflimaf(x) af(0)x 0(0) ab.x2 f (xy) d ，其中D围成的平面区域，那么k等于22(B)-(C)-33因为f为

13、奇函数，所以3、设k(A) 0【详解】f为连续的奇函数，D是由yx 1,(D) 2 f(xy)dDf (xy)关于x和y均为奇函数，由区域对称性知,、选择题:1、设函数f(x) (A)偶函数【答案】选(B)。sin xx tan x e ，那么 f (x)是【(D)单调函数】(B)无界函数(C)周期函数2、设函数f(x)对任意x均满足等式f(x1)af(x)，且 f(0) b，其中a, b为非零常数，那么【】(A) f (x)在 x1处不可导(B)f (x)在 x1处可导，且f (1)a(C) f (x)在 x1处可导，且f (1)b(D)f (x)在 x1处可导，且f (1)abf(xy)d

14、 0,D所以原式x2 dD【答案】选(B)。1 2 11XdXx3dyx2(1 x3)dxx2dx4、齐次线性方程组【】2小X1 X2X3 0x1 x2 x30x1 x2 x30EX的系数矩阵记为 A。假设存在三阶矩阵 B O，使得AB O，贝U1、求极限lim (12x 0 sin x2cos x2【详解】原式2 x lim(sin xcosx)22_；2x sin x1(sin 2x)4x2xlimx 0一 sin4x_24x322、设 f(sin x)【详解】f(t)X sin x' 1arcs in、tt2cos4x 12x2i x f (x) dx .1 xlim -x 01

15、 cos4x lim2x 0 6x2(A)2 且 | B |0(B)2 且 | B |0(C)1 且 | B |0(D)1 且 | B |0【详解】由ABO且B0,那么齐次线性方程组Ax0有非零解，从而| A |0即1 211 21 121 111(1)11(1)2 0 , 1 ；1 1010 1假设| B |0,那么由ABO 得 A O ,矛盾，所以|B| 0。【答案】选(C)。(A) 42(B)(C)-(D) 21226【详解】设第i颗骰子的点数为Xi (i1,2,6)，那么 XXi 1而EXi6 1216k -，所以EXEXi21。k 166i 1【答案】选(D)。三、解答题:5、掷6颗

16、骰子，令i7X为6颗骰子点数之和，那么21【详解】x y12 xarcta n x e2,令y0 ,得驻点x-i1, x20，列表如下：2 xx(,1)1(1,0)0(0,)y+ 0-0 +y/2e忑e2/单调递增区间为(,1)，(0,);单调递减区间为(1,0)极小值为f(0)e?，极大值为f(1)2e4 o3、求函数y函数无间断点，故无铅直渐近线;y不存在，故无水平渐近线;_ arctan x(x 1)e2 的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线。1xxf(x)dxx_ 丄 arcsin xdx；1 xarc叱 dx.1 x2 arcsin .xd . 1 x 2 . 1 x arcsi

17、nx 2 . 11 dx 2、x21x arcsi n . x 2 . x C .limxa1lim f(x)b lim f (x) a1xxlimx(xarcta n x1)e2e xe2 limx/ arcta n xx(e1)arcta n xlim e2xe2 limxarctan x.e112arcta n xe2 lim ex2e ,a2 limxxf(x)b2lim f(x)xa2x故所求渐近线为e (x2) 及 y4、计算二重积分d arcs in x2dxdy，其中D:y2x2x2x xy 0.【详解】 化为极坐标，原式1sin arcs in rr dr1dxsin x a

18、rcsin ydy，再交换积分次序，原式10dyarcs in yy dx0arcs in y10ydya2115、设向量组1 2 ,21 ,31 ,b ，1054c试问：当a, b, c满足什么条件时,1可由1, 2,3线性表示，且表法唯一？2不能由1,2 ,3线性表示？3可由1 , 23表示，但表法不唯一？并求出一般表达式a21 1211b!小a a , ab解】A211 b021 1 -122 21054 c001c 5b(1)当2a0，即a 4时,可由1,2 ,3线性表示，且表法唯一2当2a0，即a 4时,2211b21 1bA0011 2b00 112b ，001c 5b00 013

19、b c假设13bc0，即3b c 1时，不能由1,2 ,3线性表示；(3)当 a4，3bc1时，2b1 12b ,此时可由3表示，但表法不唯一，一般表达式为(b2k1)(2b1) 3，其中k为任意常数。6、设1求满足A21的所有向量2对1中的任意向量2,【详解】1解方程组(A, 1)-01 i 1:111:1111:1! 1100000211 ，2 ； 2021100001 ,2 ,1 ,143，证明3线性无关.通解为ki，其中ki为任意常数.通解为A2(A2,1)1/2k22由于所以3线性无关.0 ，解方程组0k3，其中k2, k3为任意常数.7、(05,13分)设二维随机变量k1k12k1

20、 1k21/2k2k3(X,Y)的概率密度为1, 0 x 1,0 y 2x,f(x，y)0,其他.求：1(X, Y)的边缘概率密度fX (x), fY(y)；2Z 2X Y的概率密度fZ(z).113PY -X -22【分析】 求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分 布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度；直接用条件概率公式计算即可【详解】1关于X的边缘概率密度fx(X)f (X,：2xdy, 0x12x,0x 1y)dy00,其他0,其他关于Y的边缘概率密度fY(y)f (x, y) dx1ydy,0y 21/0y222,0,其他0,其他2

21、Z的分布函数为FZ(z) P:ZzP2XYz1当 z 0时，Fz(z)P2XYz0 ；2当 0 z 2时，Fz(z) P2Xz3)当 z 2 时，Fz(z)即Z的分布函数为Fz(z)故Z的的概率密度为fz(z)P2X Y0,1 2r,1,11z，0,z01.3PX1 rYf(x, y)d1,Y 12 2PX1°2xdx0所以 PY141 PX -,YPX -2z其他.12,12y231614dx四、应用题:0.05。某基金会希望通过存款1、设银行存款的年利率为万元，第二年提取28万元，第n年提取(109n)万元，并能按此规律一直提取下去，问A万元，实现第一年提取19A至少为多少万元？

22、解第一年末结余：A(1r) 19 ；第二年末结余:A(1r)19(1r)28A(1 r)219(1 r) 28 ；第n年末结余:A(1r)n 19(1nr)28(1 r)n 2(10 9n) 0 ,A 19(1r) 128(1r) 2(10 9n)(1 r) n109n1小n10 9n ,n 1(1nr)n 1 (1nr)n 1 (1 r)111 r120 ,n 1(1 r)n11r1 rf(x)nnxx nxn 1xxx ( xn) x ()2，x (1,1)n1n 1n 11 x(1 x)2所以nni(1 r)nr)21.050.0025420，因此A 200 9 420 3980(万元)

23、。1 2 1002、矩阵A，求A .4 31 22| E A|2 443422 1对i 5，4 20 02 21 1对21，440 0【详解】先将A对角化，50,得特征值 15,21，得特征向量 1(1, 2)t ；，得特征向量 2(1,1)T，OO1A001500152PA1P贝11 2O 1100051 21 - 3POO150015001520015200刖 £1-32-32-32-300X X5 51-32-31-31-33、两台同样自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布；首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自行开动。试求两台记录仪无故障工作的总时间T

24、的概率密度f (t)、数学期望和方差。【详解】以Xi和 X 表示先后开动的记录仪无故障工作的时间，那么T Xi X。由条件知，Xi (i 1,2)的概率密度为25 'e 5xe 5(t x) dx 025t e 5tPi (x)Xi和X2显然相互独立。利用卷积公式，对t 0，有f(t)Pi(x) p2(t x)dx当t0时，显然f(t)0,所以f(t)25te 5t,t0。0,t0由工11由于 E(XJ - , D(XJ, (i 1,2)5252因此E仃)E(Xi X2) E(Xi) E(X2)5出2而X,和X2相互独立，可见D仃)D(X, X2) D(XJ D(X2)25五、证明题:

25、1、设函数f (x)在0,上连续，且o f(x)dx O。f(x)cosxdx 0,试证明：在(0,)内至少存在两个不同的点【详解】弓I入辅助函数2，使 f( 1)xF(x) 0f(t)dt ,f ( 2)x 0,，那么 F (x) f(x),F(0) F()0，又f (x) cosxdx 0 cosxdF (x)cosxF (x) b 0 F (x) sin xdx° F (x)sin xdx ,因此必存在一点(0,)，使 F( )sin0 ,否那么F(x)sinx在(0,)内恒正或恒负,均与0因F (x) si nxdx 0 矛盾,(0,), sin 0,所以 F(F(0) F(

26、 ) F( )0 ,0,综上所述,)(0,)在区间0,和,上分别对F(x)应用罗尔定理，知存在1(0,)和2(,)，使得F ( 1) F ( 2)0,即 f( 1) f (2、设n阶方阵A有n个互不相同的特征值，证明 必要条件是:A的特征向量也是B的特征向量的充分证：必要性A, B可交换.:因为A有n个互不相同的特征值，故1AP由于BA的特征向量也是B的特征向量，故对同样的1 1(P 1P )(P 2P )1 12P )(P 1P ) PABA可对角化，即存在可逆阵 P,使(P2P11P，有 P BP1而 1充分性：设21，所以 AB BAA,0，两边左乘B(A ) A(B )假设B 0 ,

27、不同，故属于特征值B由上式可知B也是A的属于特征值利用AB BA，有(B ),的特征向量，由于 A的特征值两两的线性无关的特征向量只有一个，因此与B 应成比例，即，即为B的特征向量；假设B0，贝U B 0(0)，故 仍为B的特征向量。总之， A的特征向量也是B 的特征向量。2022年浙江省普通高校“ 2 + 2 联考?高等数学?模拟试卷2一、填空题:1、limsin?x 5x 3 x【详解】2 <3X5XmHx52 sin 3xmHx3Xo6 - 52 - X5X【答案】 应填6 。52、曲线y x3 3a2x b与x轴相切，那么b2可以通过a表示为b2【详解】y 3x2 3a2，设切点

28、为xo,O，那么3xo 3a20,即xo a2，又切点在曲线上，所以x； 3a2x0 b 0， b 2x；， b2 4x： 4a6。【答案】应填4a6.3、设二元函数z xeX y(x 1)ln(1y，那么 dz |1.0【详解】dz ex ydx xeX ydxX xex 1ydy ln(1 y)dxdy，1 y所以 dz|(1,0)edx edxedy2dy2edx (e 2) dy.【答案】 应填2edx e2)dy4、设四阶方阵A与B相似，矩阵A的特征值为-,-,-,-，那么行列式|B1 E |.2 3 4 5 1111【详解】 由A与B相似，那么A与B的特征值相同，即 B的特征值也为

29、一，-，一，2 3 4 5 从而B 1的特征值为2, 3, 4, 5，B 1 E的特征值为1, 2,3, 4，| B 1 E |1 2 3 424.2 2 2f(X1,X2,X3) a(X1 X2 X3) 4x1X2 4x1X3 4x2X3【答案】 应填24。经正交变换XPy可化成标准形f66y，那么 a.a2200【详解】A2a2 B000 ， tr( A) tr( B)， 3a 6， a 222a000【答案】应填2.5、实二次型6、设随机变量X服从参数为2, p的二项分布，随机变量Y服从参数为3, p的二项分布,5假设 PX 1-，那么 PY 19【详解】PX 11 C；p°(

30、1 p)21所以 PY 11 C3°p0(1 p)31(1【答案】 应填19 2725(1 p)，所以93819p)12727二、选择题：1、设对任意的 x,总有 h(x) f(x) g(x)，且 limg(x) h(x)0，那么 limf(x)【】xx(A)存在且等于零 (B)存在但不一定为零(C)定不存在(D)不一定存在1 1【详解】反例：g(x) x， h(x) x。1 x1 x3、设常数0，且级数2an收敛，那么级数n 1n1)n 2n|绝对收敛(C) 发散(A)条件收敛(B)这里所讨论的级数虽然是交错级数，但由于(D)n2敛散性与有关【分析】an没有明确的表达式,故难用莱布

31、尼兹定理,从而只好考虑其是否绝对收敛【详解】由根本不等式可知，|an|n2扣2由于a2和1n都是收敛的，由比拟审敛法可知,n J丄收敛，从而原【答案】选(D)。2、设f (x)| x(1 x) |，那么【】(A)x0是f(x)的极值点，但(0,0)不是曲线yf (x)的拐点(B)x0不是f (x)的极值点，但(0,0)是曲线yf(x)的拐点(C)x0是f (x)的极值点，(0,0)也是曲线yf(x)的拐点(D)x0不是f (x)的极值点，(0, 0)也不是曲线y f (x)的拐点【详解】 由于f(x) | x(1 x) |是二次函数加绝对值符号，图形不难画出，由图可直接判断，x 0是f (x)

32、的极小值点，(0,0)也是曲线y f (x)的拐点。【答案】选(C)。级数绝对收敛【答案】应选(B).4、设有两个 n维向量组1 , 2 , :! m 和 1 ,2 ,m，假设存在两组不全为零的数kk2, km和l1, 1 2, 1 m，使(k111) 1(km lm) m(k1l1 )1(kmlm) m 0，那么【】(A)1, 2,m和1 , 2 , ,m都线性相关(B)1, 2,m和1 , 2, ,m都线性无关(C)11 7ymm j 11 iimm线性相关(D)11?,mm ,11 , mm线性无关【详解】将所给式子改写为k1( 11 )km (mm)11 (1 1 )l m( mm)0

33、 ，而 k1,k2, km和ht,lm 两组数均不全为零，1 1?, mm ,11 ,mm线性相关。【答案】选(C)。故5、设两个随机变量f(x)X与Y同分布，概率密度函数为2x 2 , 0 x 10 ,其它假设Ec(X12Y)，那么c ()°A2B121CD丄解EX一x 2x 2dx2EY03Ec(X 2Y)c(EX2EY) 3c2 2c 1,c1°32【答案】选B。三、解答题:1、设 f (x)【详解】3(1x连续性:limx 0所以f(00)f(x)可导性：f (0)limx 0f (0)limx 0cosx) , x1,x 2cost dt ,0试讨论f (x)在x

34、0处的连续性和可导性。limx 0f(x)limx 02(1xcosx)limxlim丄x 0 xf(0X 2 cost dt 00)f(0)limx 01，即2 cosx1 f (x)在 x0处连续。limx 02sin x 2xf (x)3x2limx 0-lim3X 0丄2(1xcosx)2xcosx 12x1limx 022(1 cosx) xlim f (x)x 02COS X2xlim早x 0 x xx 2cost dt01!in0cost2dt x02所以f (0)0，即f(x)在x 0处可导，且f (0)0。2、设f(x)在x 0处连续，且0ln f(x) 2x sin x1，

35、求 f (0).【详解】 由ln f (x)21 可知，lim l nf(x) 2 In f (0)20，即x sin xx 0f(0)又当x1 ,0时,In f(x)2ln13、ln f(x)1 limx 0 x sin xx sinx 0 可知,f (0)lim0 f(x)2f(x) 1 f(x) 1，所以 f(x) 1 limx，x 0 x sinxf (x) 1limx 0 x sin xlim f(x) 10,因此x 0f(0)x 0设函数f (x), g(x)满足f (x)g(x)0 1 x详解】g(x),xg (x) 2ef(x)，且 f(0)0,g(0)2 ,f(0) 0, f

36、(1由(0)g(x)01 xf (x)(10 L竿dx.x)f (x) g(x)，2，解方程得斗dx (1 x)2 x) f (x)g (x)f(x)2exsin xf(x),cosxf (x) 2exf(x)，且g(x)(1 x) f(x)dx0 (1x)2(1 x)2dx0dxf(x)xf(x)1 x4、设闭区域D : x2f(x,y)f (x, y)为D上连续函数，且.1 x2 y2- f(u,v)dudv,D0,解：记求 f (x, y)。f (x, y)dxdy，对上式在 D上两边积分，得D其中y2d1 x2 y2dD02d13rdr 102(1 cos )df(x,y) .1128

37、I2281x y 七23 .5、设二次型 f(X1, X2, X3) xT Ax中二次型的矩阵A的特征值之和为1求a, b的值；厂2一y2892 2 2axi 2x2 2x3 2bxiX3 (b1,特征值之积为12 ,0)，2利用正交变换将二次型 f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵 【详解】1二次型f的矩阵为1 0| E A| 022 0得A的特征值122，33对于122，解齐次线性方程组1(2,0,1)t，2(0,1,0)T.20(2)2(3)，2(2E A)x 0,得其根底解系设A的特征值为i(i1,2,3)，1 23a2(2)a0b1230204ab02解得a 1, b2

38、(2)由矩阵A的特征多项式由题设，有1，2b212，对于33，解齐次线性方程组(3E A)x 0，得根底解系3 (1,0, 2)T.由于1, 2, 3已是正交向量组，为了得到标准正交向量组，只需将1, 2, 3单位化，由此2 1j，2 (0,10)T，得1令矩阵1_502那么Q为正交矩阵.在正交变换x Q y下，有8200QTAQ 020 ，003且二次型的标准形为f2y122yf 3yf.6、线性方程组X1X22x33X41X13x26x3X433x1X2k1X315x43X15x210X312x4 k21123111231【详解】1 A36130242231k115 304k1 66015

39、1012! k206129k21 00400 24220 0k12240 003jk251当k12时,r(A)r(A)4，方程组有唯一解；2当k12时,10 04:1010040102 4220242 2A00 011:1k2200011 200 0350000 k2111时,1时,方程组无解；方程组有无穷多组解，通解为02且k22且k2问k1, k2各取何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多组解？在有无穷多组解的情形下, 试求出一般解.当k1当k12，其中k为任意常数.7、假设随机变量X和Y同分布,f(x)X的概率密度为3 2x8,0x2(1)事件AX a和 BYa独立，且P(A B) 3，

40、求常数a ；41(2)求二的数学期望。X2【详解】(1)因X和Y同分布，所以P(A) P(B), 又A和B独立，所以 P(AB) P(A)P(B),于是P(A B) P(A) P(B) P(A)P(B) 2P(A) P(A)21解得P(A)21 32 2i 3即一 P(A) PX a f(x)dx x dx 1 a ,2 a 8 a 8所以a V4。21E()X213 2 122 f(x)dx2 x dxx8 0 x四、应用题：1、一商家销售某种商品的价格满足关系p 7 0.2x (万元/吨)，x为销量(单位：吨)，商品的本钱函数是C 3x 1(万元)，(1) 每销售一吨商品，政府要征税t (

41、万元)，求该商家获得最大利润时的销售量；(2) 在此销售量情形下，t为何值时，政府税收总额最大？【详解】(1)设总税;额为T,那么Ttx ,销售总收入为RPx(70.2x)x7x 0.2x2 ,所以利润函数为LR:CT 7x0.2x223x 1 tx 0.2x(4 t)x 1 ,令 dL0.4x 4t0 ,得唯-驻点x5 (4t),dx2d L5因为 夕 0.40,所以x (4 t)即为利润最大时的销售量;dx225(2)将x -(4 t)代入总税额T，贝U55 2T tx t -(4 t) 10t t ,222令匹 10 5t 0,得唯一驻点t 2，又由于50,dtdt2所以t 2时总税额最

42、大。n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为Xn和yn，记成向量XnYn 'xn(1)求Yn验证1XnYn的关系式并写成矩阵形式Xn 1Yn 1AxnYn11是A的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值;Xiyi1/2 时,1/2川及limYn 1 nXnyn解：由题设有化简为Yn(2)直接计算得Xn所以因此XnYn1056Xn3 15(6Xn2/15(6Xnyn)Yn)XnYnYn1APAnXnYnlimnXnYn9Xn101X10YnYn，因为n X1Y1，有AAnn1/2XnYn1/21/21010125 Xn3 Yn，52为A的特征向量，相应的特征值分别50，所以1 , 2线性无关；3/2n3/2nAn：An1/2n1/2n4/2n4/2n '3/2n 13/2n 110 20.80.2X与顾客对该种商品的需求量 变量，且都服从区间10,20上的均匀分布.商店每售出一单位商品可得利润 需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应， 算此商店每周所