浙江师范大学初等数学竞赛试题

1、2021年浙江师范大学初等数学竞赛试题答案每题20分，共160分1. 函数f x = In X 1 ,数列0a"N 满足anf an 。证明数列a：n N*单调递减.解假设a 0，下用数学归纳法证 an 0。(i )当 n =1 时，ai 0 ；(ii)设当 n = k 时，ak 0。又因为 akf ak = In ak 1，所以 a d 0。由(i )( i )可得，对于任意n N , an 0。此时 aj=an，所以an|=an卑an =f ® )an = ln(an+1)an。令g x x 1 -XX 0，那么g'x =亠 0，所以g x在0,亠i单调递减，所

2、x + 1以 g x : g 0 = 0 ,即当 x 0 时，In x 1 : x。又 a. 0，因此 In an 1 : a.,故 .an+ -aj <0，所以数列 “n (n N* )单调递减.同理可证，当q vO时，数列©(n N* )单调递减。【小于o答案有误，不存在， 但也要有讨论过程】综上，数列aj( n N* )单调递减。【1.a1正负分类讨论，不分开-5分2.其他证明过程酌情给分】2. 函数 f xi；=ex, g xi=2x，1，数列 a? n N* 满足 f an1，i=g a.。试问 是否存在常数M 1,2 ，当a i 0,M 时，恒有anO,M n N*

3、 。假设存在，请写出 M满足的关系式，假设不存在，请说明理由解实数 M 存在，满足 e (2M +1)=0 。OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO 4 分先证方程有且仅有唯一解。令h x二ex-：2x 1，那么h x =ex-2。当xE (1,2时，h x 9,所以h x在单调递增。又因为 h 1i；=e-3：0, h 2 =e2 -5 0，所下用数学归纳法证明，当eM=2M i时，当Q 0 , M时，恒有o .00 OOO OOOOO OO OO OOO0000000000000000000000 8 '分(i)当 n =1 时，ar 0,M；(i )设当n =k时，ak三O

4、 M 。因为f akg ak ,所以eak J2ak 1 0 又ak0,M，所以 eak1 =2ak 1 i,2M 1，即 eak 11,eM ，因此 a-0,M 0由(i) (ii)可得，当 a0,M 时，恒有 an 0,M n N 。000000000000000000000000000000000000000000000008 '分【1只写出关系式给4分，超简略说明给 6分，只证明不给分或酌情给分2关系应该为等式，如果出现不等式统统给8分3给出关系式，加完整说明给总分值，不需要和答案一致，合理即可。23.如下列图，曲线C: y = x (0$wi), 0(0, 0), Q(1,

5、0), R(1,1).设点Ai是线段OQ的中点，过Ai作x轴的垂线交曲线 C于Pi,过Pi作y轴的垂线交RQ于Bi,记ai为矩形AiPiBiQ的面积.点 A2, A3分别是线段 OAi, Pi Bi的中点，过A?,A3分别作X轴的垂线交曲线C于P2, P3,过P2, P3分别作y轴的垂线交AiPi , RBi于B2, B3,记a2为两个矩形A2P2B2Ai与矩形A3P3B3Bi的面积之和.(I )记an为2n-1个矩形面积之和求a2与an；(n )求数列的前n项和Sn.解(I)由题意知Pi(2 , (i)2),2 2ai= 2 V)2 = 81P2(歹，frh P3(2=2 ,(予),oooo

6、oooooooooooooooooooooo 4 分由题意，对任意的 k= 1, 2, 3,，n,有r 2i +1“2i+1、2P2ki(， ( 2k )，k 1i = 0, 1, 2，2 - - 1,所以(n)=1 yr Z 1 X 2 丄/ 32 ( 22 丄 / 52 ( 42 丄 丄/ 2 _1 2 an= 2 y(尹)+(尹)(歹)+(歹)(尹)+ +(2厂)=1 X12+ 3222+ 52孑+ (2n 1)2 (2n 2)2 ?3 n1n 1=X1 + (4X1+ 1) + (4 X + 1) + 4 X2n 1)+ 1?3nn 1n 1_ 1 V14 (2 - -1) 1 2 -

7、=尹X2n -1=22n 1 .ooooooooooooooooooooo3a2=,322n -1an =22n 1 12分由(I )知an =n：12?n 1Sn =1 14 (1-莎)2(1-；)441 12 (1 盲)-3 22n 1oooooooooo o o o o o ooooooooooooooo 20 分【1此题关键得出答案，对于给不出答案的过程没有分;2. a2的没有约分，-1分;3最终答案和正确答案化简形势不同没有关系，改卷时经过验证。4.在 ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，a,b,c成等比数列，且3sin Asin C =一4(1)求角B的大小；假设 x0

8、,二)，求函数 f (x) =sin(x-B)，sinx 的值域.解 (I) 因 a、b、c成等比，故 b2 =ac .由正弦定理得 sin2 B =sin AsinC . .323J3又 sin AsinC = , sin B =-.由 sinB> 0 知，sinB442oooooooooooooooooooooooo 5 分由B (0 , n知B =匹或.33又b2 =ac，那么ba或b ,即b不是 ABC的最大边，故 B =n .3ooooooooooooooooooooo o o o(n)因 b =n3, 故 f(x)=sin(x) sinx =sinxcos cosxsin s

9、inx333因 X 0,二),故-X-=-sinx3cosx= 3sin(x ).2 2 65 1.，sin(x) ,1.6 6 2J, 3】2【1第一小问必须说明 分)；因此值域是2n /3不可能取到，否那么2第二问区间开闭错误,3.最大最小值一个错误,4辅助角公式的比例系数ooooooooooooooooooo 20 分-5分(cosB>0,或其他方式可排除的给满-2分，全为开区间-5分；3忘记乘，最终值域为-1/2,1 , -5分；】-5分;5.设f (x) =x x a +bx5(1)当a=2 , f(x)是增函数，求b的取值范围；当b = -2 ,且对任意a (-2,4),关于

10、x的方程f (x) =tf (a)总有三个不相等的实数根, 求t的取值范围.(1)f (x) =xx'x2 +(b-2)x,x 兰2 厂x2 +(b + 2)x,x 兰2兰2因f(x)连续，f(x)递增，故<22b，即b A2厶空启2 2OOOOOOOOOOOOOOOOOOOO【没有等于号，-2分】(2)f (x) =xx -a-2x广2x -(a +2)x,x 兰 a2ix +(a2)x,xatf (a)二 一2ta ,a a 2a 2当2乞a ：4时，一-<a , f(x)在(-= )上递增，在(一,a)上递减，在2 2 2 2a2 a2(a,=)上递增，所以 f 极大

11、(x) = f( )a 1, f 极小(x)二 f(a) = -2a ,24因此丿a0 t : 1-2a < _2ta对2兰a <4恒成立，解得一a+12ta4OOOOOOOOO0 0 0 0 0 0 014 分a _ 2a + 2当一2 : a ：；2时，a， f (x)在(-=2 2减'在(丁)上递增，所以f极大(xrf( 2a - 2a - 2 a 2)上递增，在(，)上递2 2 2a - 2 a22H-a 1,极小值为4"2 2 2a 亠 2 aaaf ()a -1,所以a -1 ： -2taa 1,对- 2 ： a ： 2 恒成立，解2444得021【没

12、有取到等于-2分】综上 0 : t : 1000000000000000000020 分【此题根据答题的讨论情况，对于第二问，即使错解，按篇幅酌情给以24分】6.X1,X2丄，人* R ,且X1X2L Xn = 1.求证C.2 讥.2 X2)L C.2 Xn)_(、.2 1)n证(1)假设x x2 = L =Xn =1,等号成立。00000000000000000000000(2)假设X1,X2 , L ,Xn不全相等，必有一个变量大于1,而另一个小于1,不妨设X11,X2：1.令f (X1, X2,L,Xn)= G 2X1)(.2X2)L (',2Xn)。因为(J2 xdc2 X2)

13、-(、-2 1)2 X1X2)=2x. 2x2 - . 2x2 - 2 -2(1 - x2)(x1 -1) 0因此f (X1,X2 ,L ,Xn) A f (1, X,X2,X3 ,L ,Xn).这说明把(为兀)调整成(1,轨)后,f (X1,X2 ,L ,Xn)的值变小，依此类推，每调整一次，f(X1,X2 ,L ,Xn)的值减少一次，这样，最多经过n-1次调整，(n,x2,L ,xn)变成(1L 1f (X1,X2,L ,Xn) f (1,X1X2,X3,L ,Xn)f(1,1,X1X2X3丄,Xn) L f(1,1,L ,1)十 2 1)noooooooooooo o o o o o o

14、 o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o20分【1.此题合理答案皆可得分2明显错误的证明不给分3必须说明局部同学的数学归纳法证明只走了形式，还是不给分，“此次考试打擦边球失败】7已锐角三角形 ABC中，A B C.在 ABC的内部包括边界上找一点P，使得P到 三边的距离之和最小。解1先研究P在 ABC的边界上时：假设P在边BC上如图1,记 ABC的顶点A, B,C对应的边分别是a,b,c，边a,b,c上的高分别为 ha,hb,hc，P到边c,b的距离分别为x, y，连PA。Q A B C a bcr 0 ：入：入,1 1111由面

15、积关系得丄bhb二丄cx b _丄x b 丄yb，.hixy当x=0时取等2 2 2 2 2号。即P在点B处时，P到三边距离之和最小。假设P在边AC 上,P在点A处时，P到三边距离之和最小。假设P在边AB 上, P在点A处时,P到三边距离之和最小。综合，当点P在点A处时,P到三边距离之和最小。2再研究P在ABC内部时：如图2,过P作BC的平行线交AB于E，交AC于F，固定x，由1知，x y z EG EH。让x变化，有EG EH - ha， x y z ha.综合12知，当点P在A处时，x y z最小。【1得出A点结论即得5分；2讨论边界点10分，中间点5分；3只写；内心、重心、费马点不给分4

16、用柯西不等式及其他方法讨论内部点给3分5.A点+粗略说明给10分；A点+全面讨论给总分值】8.在同一条直线上6n个点构成的一个集合，随机地选择其中的4n个点染成蓝色，其余2n 个点染成绿色。证明：存在一条线段，使其包含 S中的3n个点，其中2n个点为蓝色，n个 点染成绿色 证将这6n个点依次记为 A，A2,L，对i T2L ,3n 1,定义f (i)为A, Ai丄，Ai，3m这3n个点中蓝色点的数目。由对称性，不妨设 A, A， As.中的蓝色点的个数不少于全部蓝色点个数的一半，即f(1)_2n,那么根据f(1) f (3n 1) = 4n可知f(3n 1) _2n _ f(1).再考虑当i

17、=1,2,L ,3n时f (i 1)与f(i)的关系：假设 A, A知同色，那么 f (i +1)=f( i)；假设A为蓝色，A书n为绿色，那么f(i+1)=f(i)-1;假设A为绿色，A书n为蓝色，那么f(i+1)=f(i)+1.总之f(i+1) f(i) <1,结合知必存在 产1,2丄，3n+1>使f(j) = 2 n,即存在一条线段恰好包含S中Aj，Aj 1,L，4衍这3n个点，其中2n个点为蓝色，n个点染成绿色。【此题得分需要合理证明，明显错误的不给分】特别说明：第3、4、5、& 7严格按照评分标准进行阅卷，有些同学可能做了完整的题 目，以为自己正确，实那么不然。第四题实为本试卷最简单的一道题，又由于题目 的分值较大，可能有人质疑sinB=V3/2即可得出n /3的答复，扣5分比重较大。 然而，规那么就是如此，全体参赛者都是