线性代数(同济六版)知识点总结

1、1.二阶行列式对角线法则：fl12=alla22a12a212.三阶行列式对角线法则按行（列）展开法则U21“22aaiiis&“一鸣科+%声3科”一科3户”户科”814,户门aaSI«3.全排列：n个不同的元素排成一列所有排列的种数用P”表示，Pn=n!逆序数：对于排列P1P2P”，如果排在元素Pi前面，且比Pi大的元素个数有G个，则Pi这个元素的逆序数为tj。整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。奇排列：逆序数为奇数的排列.偶排列：逆序数为偶数的排列。n个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即与对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.a31a a 3>3

2、3a” a33=s(-iy其中：；172；3是123的一个排列，%熄2&'%01八/3）是排列Jiiziz的逆序数5.下三角行列式:对角行列式:322an26.行列式的性质：行列式与它的转置行列式相等.互换行列式的两行（列），行列副三角跟副对角相识 0=311a224n副对角行列式:aA2n（ira.=（-1）2认A（转置：行支列，列交行）.。二DT:变号.推论：两行（列）相同的行列式值为零。互换两行：。一 rj行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k,等于用数k乘此行列式。第i行乘匕右xk 推论:行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面行列式中如果有两行（列

3、）元素成比例，则此行列式等于。若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和.如：把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变.如第j列的k倍加到第i列上：g 十九勺7 .重要性质：利用行列式的性质n+kj或q+kCj,可以把行列式化为上（下）三角行列式，从而计算n阶行列式的值。（P11页例7）8 .行列式按行（列）展开法则（*重要*）重要概念：余子式：在n阶行列式中，把元素为所在的第/行和第j列划去，剩下的（。-1）?个元素按原来的排法构成的阶行列式叫做的的余子式，记为代数余子式：记&=（-）可酎为元素%的代数余子式重

4、要性质，定理1）第i行各元素的余子式，代数余子式与第i行元素的取值无关。2）行列式按行（列）展开法则：行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,。=ailAil+a2A2+ainAxn或。=+Q2jA2j+推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即%3八十%2AJ2+aiAn=0i工j或+a2iA2J+%人,=0iHj使用该法则计算行列式的值：先选取存在最多。的行（列其从该行选取一个非。元素%,并将该行其他元素通过性质化为0,则。7219 .利用Cramer法则求解n个n元线性方程组：若非齐次线性方程组的系数行列式不等于零，

5、则方程组有唯一解。等于0,则无解其中巧（j=12.n）是把系数行列式中的第j列的元素用方程组右边的常数项代替后所得到的的n阶行列式=diag（4,4,，4）01万-14°lna2,j-lAa2nO-c«bnOQ上j-1nnn对于齐次线性方程组，如果系数行列式DH0,则该方程组只有零解，若D=0,则存在非零解。第二章1 .矩阵相关的概念：矩阵：由mXn个数为（i=l,2,m;j=l,2,n）排成的m行列的数表（是一组数）。行（列）矩阵：只有一行（列）的矩阵，又称为行（列）向量.同型矩阵：行数，列数均相等的两个矩阵A=B：矩阵A和矩阵B为同型矩阵，且对应的元素相等.零矩阵：所有

6、元素为。的矩阵，记为0,不同型的零矩阵是不相等的。对角矩阵：对角线元素为'4,其余元素为。的方阵单位矩阵：对角线元素为1,其余元素为。的方阵,AA4=2 .矩阵的运算1）加法：只有两个矩阵为同型矩阵时，才能进行加法运算.A+B等于对应元素相加起来。满足交换律和结合律2）数与矩阵相乘（Ml孙2w门（助ml助7助,(4+)A=NA+A,4(A+5)=4A+/iB3）矩阵与矩阵相乘：要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数；4mxsxBsxn乘积矩阵的行数为前一个矩阵的行数，列数为后一个矩阵的列数；Cmxn%=*+%羯-+叫=卒网即：乘积矩阵的第i行，第j列元素为前一个矩阵的第i行元素与后一

7、个矩阵的第j行元素对应相乘再相加.注意：一般情况下：AB工BA.但是满足结合律和分配律.EA=AE=A4）矩阵的塞：若A是阶方阵，则：kt屋=AA2心=A屋一】显然：AA=A*，（4）=A（AB）k=AkBk"（A+B）2=A2+2AB+B2.a、b可交换时才成立（A+B）（A-B）=A2-B23.矩阵的转置：把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，记作川.如:2 2、ttM： (1) (Ar)r = A;(3) (AA)r = AAr;14)A1=25;J8,(2) (A+B)r=A7+8;(4)(abY=btat.设A为n阶方阵，如果满足庆=47，即4了=%丁，则A为对称阵如果满

8、足A=-屐，即=-%，则A为反对称阵4 .方阵的行列式：由n阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵A的行列式，记作13或detA性质，|4"=|A|,|/A|=/T|A|,®AB=AB.Ai42注意：元素%的代数余子式A"是位于5,伴随矩阵：其中A。是勾的代数余子式，A,称为A的伴随矩阵。（特别注意符号）4*的第j行第i列（类似于转置）性质：44"=A*A=AE6.逆矩阵：对于。阶方阵4如果有n阶方阵8,使得AB=BA=E,则称A可逆,B为A的逆矩阵，记为且A的逆矩阵是唯一的.判断方阵A是否可逆：|*0=A可逆，且逆矩阵尸=Qr推论：若|用丰0,则|4一1

9、|=看。此时称A为非奇异矩阵.若=0,则称A为奇异矩阵.二阶矩阵的逆矩阵：主对角线两数对调，副对角线两数反号八二（二：）一>=士d*）c«/adbea/单位矩阵E是可逆的E=E-L零矩阵是不可逆的。对角矩阵的逆矩阵：对角线上每个元素取倒数.推论：如果n阶方阵46可逆，那么A一1、At、AA（人/0）、AB也可逆且，（4-1厂】=4,（4,尸=（4-1）7,（5）|父】|=-】（AA）-1=-A-（AB）-1=用逆矩阵求解线性方程组：已知AXB=C,若AB可逆，则X=ACB-1（A在X左边，贝!）4-1必须在C左边，B也如此）7 .矩阵分块法：用一些横线和竖线将矩阵分成若干个小块

10、，这种操作称为对矩阵进行分块,每一个小块称为矩阵的子块；矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.分块矩阵的运算：（其运算与矩阵运算基本一致）1）加法：要求矩阵A和B是同型矩阵，且采用相同的分块法（即相对应的两个子块也是同型的）2）分块矩阵A的转置屋：除了A整体上需转置外，每一个子块也必须得转置。8 .分块对角矩阵：（4、设4是。阶矩阵，若：AA的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，4=,其余子块都为零矩阵J对角线上的子块都是方阵IAJ则称A为分块对角矩阵。/A.ittM：IAI=141141I4|1若IAIQ,则MI*0,并且r=4分块副对角矩阵：.J）"人=。的充分必要条

11、件：AtA第三章1.初等行变换：（运算符号：注意与行列式的运算加以区分互换两行，记做J第i行乘以非0常数k,记做xk第j行的k倍加到第i行上，记做心+k-2,若矩阵A经过有限次初等变换成矩阵B,则称A与B等价，记做的充要条件是存在m阶可逆矩阵P及"阶可逆矩阵Q，使"Q=83 .矩阵之间等价关系的性质：反身性：AA对称性：若48,则BA卷港递性：若43,BC,贝必C4 .行阶梯形矩阵：1）可画出一条阶梯线，线的下方全为零；2）每个台阶只有一行；3）阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.行最简形矩阵：4）非零行的首非零元为1；5）首非零元所在的列的其它元素都为零.5 .初等

12、矩阵：由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵。（是可逆的）1）单位矩阵对换Lj行，记作Em（iJ）E,n（iJ）T=Em（iJ）2）以常数20乘单位矩阵第i行（列），记作/（i（A）Em（i（A）T=Em（ig）3）以乘单位矩阵第j行加到第i行，记作J小,姑）小（订（外尸=号式"（一九）性质1：左行右列设A是一个mXn矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在，的右边乘以相应的n阶初等矩阵.性质2：方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵PlPl,即使A=%P2,P,.推论：方阵A可逆的充要条件是4二E如果,则存在可逆矩阵P

13、,使PA=B00(A,E)(B,P)：即当A变换成B是时，E变为P(求P)求方阵A的逆矩阵方法总结:方法1：判断A可不可逆：若R0oA可逆一书中P41页力T=京a”:注意伴陵矩阵里每个代数余子式对应的符号方法2：本身蕴含了判断A可不可逆的条件，即A£E=A可逆一书中P64页例2(A,E)£(E)T)：即对矩阵(A,E)进行初等行变换，当A变成E时，E就变成了所求的A-1求>1一1处该方法用来求方程组AX=BcX=AB一若XA=B,可先化为ATXT=BT方法：(48)工(E,4-5)：即对矩阵(AB)进行初等行变换，当A变成E时，B就变成了所求的AB二、矩阵的秩lk阶子

14、式：在mXn矩阵A中，任取k行k列(kSm,k<n)f位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式,称为矩阵A的k阶子式.mXn矩阵A的k阶子式共有琮个2.矩阵的秩：设矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D,且所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于零，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A).零矩阵的秩等于0常用：1)对于n阶方阵A,R(A)=n(称A满秩)=A#0oA可逆求秩方法：将矩阵化为行阶梯形矩阵2)若AB,则R(A)=R(B)3)对于行阶梯形矩阵，它的秩等于三总行的行数4)R(At)=R(A)5)若P、Q可逆，则R(PAQ

15、)=R(A)(VA-B=PAQ=B)即：可逆矩阵与任何矩阵A相乘，都不会改变所乘矩阵A的秩6)maxR(A),R(B)<R(A,B)<R(A)+R(B)当B=b为非零列向量时，R(A)<R(A,B)<R(A)+17) R(A*B)<R(A)*R(B)8) R(AB)<vninR(A),K(B)3.线性方程组的解一 P75页例13 P79页17题n元非齐次线性方程组Ax=b1)无解=R(A) vR(4b)2)有解=R(A)=R(A,b)有唯一解Q R=R(A,b) = zi有无限解。RG4) = R(4b) < nn元齐次线性方程组Ax=b有非零解o匹4

16、)va第四章一、向量组及线性组合1 .n维向量：，个有次序的数如，,%所组成的数组。这n个数称为该向量的。个分量,第/个数内称为第i个分量.2 .向量组：若干个同维数的列向量(行向量)所组成的集合3 .给定向量组A-，对于任何一组实数的,鱼，Am,表达式+.+kmam称为向量组，的一个线性组合.心称为这个线性组合的系数.4 .给定向量组4打牝,心和向量b,如果存在一组实数,使得b=八。1+/如+.+/,am则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量b能由向量组4的线性表示.向量b能由向量组A的线性表示=R(A)=R(A,b)Q方程组勺。1+通+%,=方有解5 .设有向量组A：生,的,%及B：瓦也

17、，瓦,若向量组B中的每个向量都能由向量组4线性表示，则称向量组8能由向量组A线性表示.若向量组A与向量组B能互相线性表示，则称这两个向量组等价.两个向信组等价oR(A)=R(B)=R(A,B)6 .向量组B能由向量组A线性表示"存在矩阵K,使8=掰0矩阵方程AX=B有解=R(A)=R(AB)=>R(B)<R(A)(这是必要条件)二、向量组的线性相关性1 .给定向量组4.,明,如果存在不全为零的实数Ai,后,，使得+2+.+kma,=O(零向量)则称向量组,是线性相关的，否则称它是线性无关的.2 .只含一个向量。的向量组A,当=0时，A线性相关；a工0时，A线性无关只含两个

18、向量初例的向量组A,线性相关=】,死的分量对应成比例.向量组4a1,如,%(也2)线性相关=向量组A中至少存在一个向量能由其余ml个向量线性表示。3 .向量组，线性相关0m元齐次线性方程组Ar=0有非零解R(A)<m向量组4线性无关om元齐次线性方程组4x=。只有零解oR(A)=m4n维单位坐标向量组E：e】,。,，金，是线性无关的，且是最大的线性无关组之一.维单位坐标向量组E：灯,e”能由向量组A：»线A(A)=5 .定理1)若向量组A：S,%线性相关，则向量组8：，0m,-1也线性相关.其逆否命题也成立，即若向量组B线性无关，则向量组A也线性无关.2)m个外维向量组成的向量

19、组，当维数n小于向量个数m时，一定线性相关.特别地，+1个"维向量一定线性相关.3)设向量组a：%金,线性无关，而向量组B：aDaltam,b线性相关，则向量b必能由向量组A线性表示，且表示式是唯一的三、向量组的秩1 .设有向量组A,如果在A中能选出r个向量为%.,叫满足向量组4：ah02,ar线性无关；向量组A中任意r+1个向量(如果A中有r+1个向量的话)都线性相关；那么称向量组4是向量组A的一个最大线性无关向量组，简称最大无关组.最大无关组所含向量个数r称为向量组A的秩，记作心.以0向量组A中向量的个数只含导向量的向量组没有最大无关组，秩二。.2 .向量组A和它自己的最大无关组4是等价的.推论：向量组4线性无关；向量组4中任意一个向量都能由向量组4线性表示；那么称向量组4是向量组4的一个最大无关组.3 .全体n维向量构成的向量组记作不，向量组E是肥的一个最大无关组，且/T的秩等于n4 .矩阵的秩等于它的列(行)向量组的秩,5 .矩阵初等变换后保持列向量组之间的线性关系。4 一6 2-236-9743=B30如:向量组4:cti,Oi,a3,a