线性代数总复习教案

1、2008-2009-2线性代数A总复习试卷题型及分数分配大致：选择题20分，填空题20分，计算题54分，证明题6分II重要例题、习题：第一章例题：P3例2;P5例4;P12例7;P13例9;P18例7(另解)；P21例J13;+,P22例14;习_第二章例题：目35例4、例5;P39例7;P40例8;P41例9;P44例10、11、12、习1"第三章例题：P64(|2；>653;P68tJ6;P73lj10;375南(行彳2.习P79:1(3,4),4(1),5(1),6.10(3),13(2),14,17第四章例题：P84例1;P85例2;P88例5;P88例6;P93例11

2、;P97例12;P10116；P103例18-21；P106例;习题：P106:1,2,4,9,12(2),(1),26(2),27,28,34,第五章例题：P114例2;P115例3;P118-120例5、例6、例7、例8、例9;P125例12;P126例13;P130例14;P131例15;例16;P133例17.习题：P134:2(1),3(1),6(1),12,13,19(1),20,21,22,28，31(1),33.Ill.基本内容第一章行列式1例：计算下列各题：N(41253)；确定行歹IJ式中项84282183483的符旦(3)计算(=-7), (4)计算 D101213010

3、134211(D=31)22行列式的性质及按第i行(列)注展开:ai2A23inAn意：anAjiai2Aj2ainAjn0(ij)3.克莱姆法则：AX=b当DAO时,XjDj/D(j1,2,n)AX=O有非零解DO。例：当k为何值时，方程组xk)xyz(k)yzy(k)z00有非零解。:D(2k)(k1)2二k=2或第二章矩阵及其运算521矩阵的简单运算及性质：例：设A34,B，求AB,BA注意(1)一舟殳地'ABBA,(2)AC=BC不一定有A=B(3)(AB)T(4)A为对称矩阵(7)|ab|AB2逆矩阵4A为可逆|A|。且A1|A|*A.例:求A2的逆矩阵1例：解方程：AX=B

4、,A,B0(A111-12第三章矩阵的初等变换与线性方程组1行阶梯形矩阵、行最简形矩阵、标准形2123例:化矩阵A4135为行最简形20122初等矩阵：单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵3解矩阵方程AXB)(E,A1B)特别地，当B=E时(A,E)(E,A1)02例设A2,B，试求解方程00.Xr1解：由(代B)o04求矩阵的秩若AB,则R(A)R(B)例:求矩阵AI221523151114的秩28第四章向量组的线性相关性1向量的线性组合b是ai,a2,am的线性表示bk?a2gamXiaiX2a2XmQmb有华R(a'32,am)R(8(82,3m,b)2向量组的线性表示(A,a2

5、,am)及B(db,bj)B能由A线性表示（B中每个向量都能由A组向量线性表示）B=AKR(A)=R(AB)即R(am,am)只佝玄,"®3A、B两向量组等价A,B能相互线性表示R(A)=R(B)=R(A,B)(只有零解)R(ai,a2, ,am)注意：a,a2, ,am线性相关4向量组朗例,枷线性相关(线性无关)方程组xiaix2a2XmamO有非零解mR(ai,a2,am)m其中至少有一向量是其余向量的线性组合例：已知b=(k,3,2)T，i(2,-1,3)T，2(321V，问k为和值时b,12线性向关,并用2线性表示b。解：由行列式为0得k=5，令2xi 3X25&#

6、171;2 2 卜得 X1 2x233xi20 1/7由 Ab1 11/700例：设己声的线性无关证：令，证 明：xibiX2b2 xsbs。，贝lj : 保X1 2X3匕，a2,a3线性无关 m qx2 3x3得 X1(1/7)CX2(11/7 )cbi ai a2,b292a3,b32ai 3a3也线性无关2X3 )ai (xi X2)a20xj00- X2 00*30(2x23X3 )a3 Q»,b2,b3也线性无关向量组B 002, ,am,am 1线性相关;反(2)当 r(A)有无穷多组解(自由变量数为n-r)， 其通解为结论(定理5)向量组A:朗声,am线性相关之向量组B

7、线性无关向量组A线性无关(2)当向量维数n<m时，向量组一定线性相关；特别地：n+1个n维向量线性相关(3)若Aa,a2,am线性无关，而Ba,a,am,b线性相关，则b可由向量组A线性表示，且表示法唯一5 向量组A的最大线性无关组Ao:向量组Ao：a,a2,线性无关，(2)A中而任意r1个向量都线性相关注意：A的最大线性无关组有多个，但每个最大线性无关组所含向量个数相等例：i(i,i,2,4)T,2(0,3,i,2)T,3(i,i,2,0)T,4(i,7Q8)T,求该组向量的一个最大无关组，并用该最大无关组表示其余向量1001解(I,2,3,4)0102I,2,3是一个最大无关组，且0

8、01200006 -齐次线性方程组：AX=O当r(A)n时，有唯一解：零解；Xki1k22knrnr淇中S。：1,2,nr一个基础解系7 .线性方程组Axb有解R(Ab)R(A)当R(Ab)R(A)n时有唯一解；当R(Ab)R(A)rn时有无穷多组解。(自由变量个数为n-r)其通解为：X*C11+C22+-+nrnr(X一个特解)例：用基础解系表示如下非齐次线性方程组的通解：X2" 内积、范数及正交的有关概念。1.施密特正交化 TT例：试用施密特正父化将ai0,1,1 821,1,0 83,1,0,1规范正父化(bO,1,1T,b2 I 2,1, 1 f 1 1，I,可然后单位化即可

9、) . A为正交矩阵ATAE(即AAT),二方阵的特征值与特征向量1、AXX(AE)X0,则称 为A的特征值，X为A的特征向量2 .特征值的性质：(1)12 n an a 22 ann，(2) 1 2 n A ,特征向量的求法：(1)| 0(2)由(A iE)x 0得非零解X P，则P就是A的与i对应的特征向量4.有关性质：(1)设是A的特征值，则2是A2的特征值，1/是A1的特征值(2 )若“，m 互不相等，则对应的特征向量Pl,P2, Pm线性无关三相似1、B、A 相似 PAP B，2、若A与B相似，则A与B有相同的特征多项式和特征值3、若A与 g9(*2,小)相似，贝”2一是人的11个特

10、征值X4TTT3X1X23X34X44(5/4,1/4,0,0G3/2,3/2,1,0C23/4,7/4,0,1)x-i5X29X38X408向量空间的有关概念(1)向量集构成向量空间的条件，会判断给出的向量集是否为向量空间(2)会判断给出的向量组是否为一个基，并能由基来表示给出的向量101例：设A佝包凤)112,验证ai,a2,a3是R3的一个基122第五章相似矩伸和二次型4、A与对角阵相似的充要条件为A有n个线性无关的特征向量5、若A有n个不相等的特征值，则A与对角阵相似四.对称矩阵的对角化1'对称阵的特征值为实数2、12是对称阵A的特征值，贝U对应的特征向量Pl与P2正交3、设A

11、对称阵，则有正交阵P,使P1APPTAPdiag(1,2,L,n)4、设人是对称阵A的k重特征根，而入恰有k个线性无关的特征向量5、对称阵对角化的一般步骤：m求出A的全部特征值i及重数k(2) 求出与i对应的K个线性无关的特征向量，并将特征向量正交化单位化(3) 将这n个两两正交的单位向量构成正交矩阵P,则有P1APpTAP1例：0的特征值与特征向量，0解：3)(1)2=0得I3,2解方程(A3E)x3E得基础解系：.与应的所有特征向量为1解方程(AE)x1对应的所有特征向量为PC22c3五.二次型：f&,X2,Xn)AX如：写出与f（x,y,z）2y23z26xy2xzyz对应的矩阵

12、（A201/201/2)31 .标准形：f皿xPy（正交）2 .二次型fk2Y22knYn2例：已知二次型f（X1,X2,11,1,12解:将T1,150,3正交化得:22y22(nvn12”n是A的特征值）xTAx的特征值为11.0.1T，试求TF布群检23QIJ2ioiTJL1,0,125,231，特征向量为py将二次型化为标准形1,33,1,212然后单位化得p131Jp21T2no，p33.1.2令P(RR,p3)1/,31/,21/,31/-21/,303/,141/,14，贝U：P1APPTAP2/.1450001000122y2 ys例:化二次型 f2x1X2 2x1X32x2X

13、3为标准形,并求所用的变换矩阵作正交变换xPy得fxTAx6用配方法化二次型为标准形7正定二次型A为正定f（x）xTAx0，(x0）正惯性指数为n特征值全为正顺序主子式全为正历年试卷一.填空题（每小题4分，共20分）32E必有特征侑1 两个矩阵既可相加，又可相乘的充要条件是_2 .设A是n阶可逆矩阵，为A的一个特征值，则A（A是A的伴随矩阵）3 .设齐次线性方程组AX=O（其中A（aj）mn）有惟一解，则时，对任意m维列向量b,非齐次线性方程组AX=b都有惟解145Xi4.设 f X1X2X3X1X2X3 0 12 X2 ，写出二次型的矩阵15.设向量a2,b3103X332,矩阵AabT，则

14、篁1二选择题（每小题4分，共20分）1.设VXX!,X2,X3X(X2X30,且Xl,X2,X3R，贝U（A）V是1维向量空间；（C）V是3维向量空间；(B)(D)V是2维向量空间;V不是向量空间2.设A，B为n阶方阵，满足AB=O,则(B) A+B=O;(A)A=B=O;3（C） A o；4.（10分）求解非齐次线性方程绢3.设3阶矩阵AX1X2X30）A40/3X1X22X3X4§X52X&娥*6x5均为3维2晌量，且A3,B5,则5X13X24X33X4x51235（1。条）忌知R中的两个基为31及b©3,10/2,1,1T034,a3到基八也力3的过渡矩阵P

15、.（C）54.设A是3阶矩阵，且AE（14分）求一个正交图（A）3;（B）4;5.设有向量组A2E十22s，则1，2,Jm及（n）1,2,（A）若（I）线性相关，则（B）若（口）线性相关，则©若（i）雕知则）（n）线性无关，三.解答题（在3会）线性相关；线性相关；线性无关；也未必线性无关1.（8分）0。，求AI及2.（8分）设n阶方阵A满足A22A3E0,证明A及A+4E均可逆，并分别求出其逆矩阵3.（6分）1已知A四、（4分）证明题无关.x=Py,设21e22324线性无关，令0a1a2.b233,bsa3a4R4，贝ybnb2,b3,b4线性历年试卷（参考答、填空题（每小题共20

16、分）1 .同阶方阵.2.3/A-23. R ( / =R (A, b) = m1 24.213 15.3212 6 410 °。963二、选择题（每小题4分，共20分）4分6分1旦2._D3.C三、解答题（共56分）1. (8分)Ai解：设A0A200，A3解得Ai1AsA?所以A12. (8分)2解：由A2A3E0A(A2E)3E所以A - A 2Eo3由 A2 2A 3E 0，得(A 4E)(A 2E) 5E9所以A4E3.（6分）解：A|A|A1得A1-A2Es111A|A|解得A14分IA|所以（A*）16分4.（10分）解（Ab）111131210212534310173二

17、a初等等016230011200121202r213232与原方程组同解的方程组为X12X5X2X3X43X5292（X3,X3Xs是自由未知量）23令X3X4Xs。彳导%10，X21,与导出方程组同解的方程组为923（金一,0,0,0）16分22Xx 2x5(Xx,X4,XX4 3X55是自由未知量）xi21X2-Xx201X，220,X22,X2令X1,X40,X5。得X13令X30,X41,X5°，得X1令x0,X40,X5L得X故原方程组的通解为11(1,-A,1,0,0)T222，I,2(0,10,1,0)T,3(2,-3,0,0,1)T9分*ki92232ki0005.(10分)解：A=(1.2k22k33120112k201100023kx05(ki5k2,kx01R)10分B=(1,2,x)=P=A-iB(A,B)(E,A"B),求得P=A-21-1130 1-14分B12151141分