绝对值和绝对值不等式的解法

1、13第1讲绝对值和绝对值不等式的解法5.1 绝对值的概念定义：我们把数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值.定义中很容易例如，N到原点的距离等于2,所以-2=2.这一定义说明了绝对值的几何定义，从这得到绝对值的求法:a，a=0,-a5.1.1 绝对值的性质【例1到数轴原点的距离是2的点表示的数是()A.2B.2C.-2D.4解：A【例2】已知|x|二5,|y|=2,且xy0,贝Ux-y的值等于()A.7或-7B.7或3C.3或-3D.-7或-3解：C【例3】已知：abcwQ且M=!a十忖十忖，当a,b,c取不同值时，M有种不同可能.abc当a、b、c都是正数时，M=;当a、b、c

2、中有一个负数时，则M=;当a、b、c中有2个负数时，则M=;当a、b、c都是负数时，M=.解：3;1,1,-3.练习1:已知a,b,c是非零整数，且a+b+c=0,求昌+2+7c+空的值abcabc解：由于a+b+c=0,且a,b,c是非零整数，则a,b,c一正二负或一负二正，(1)当a,b,c一正二负时，不妨设a0,b0,c0,原式=1一1一1+1=0；(2)当a,b,c一负二正时，不妨设a0,c0,原式=-1+1+1-1=0.原式=0.【例4】若a-4=b+2,则a+b=.解：a-4|=b+23a-4+b+2=0=a=4,b=-2,所以a+b=2.结论：绝对值具有非负性，即若|a+|b+c

3、=0,则必有a=0,b=0,c=0.练习1：(a+12+b2=0,a=;b=解：a=-1,b=2.练习2：若m+3+n一7+22p-1=0,贝Up+2n+3m=.711_3解：由题忌，m=-3,n=，p=，所以p+2n+3m=m=十7一9二一一.22225.1.2 零点分段法去绝对值对于绝对值，我们经常用到的一种方法是去绝对值，一般采用零点分段法，零点分段法的一般步骤：找零点一分区间一定符号一去绝对值符号.【例5阅读下列材料并解决相关问题：xx0我们知道x=!o(x=0)，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1+|x2-x(x0)时，可令x+1=0和x_2=0,分

4、别求得x=_1,x=2(称1,2分别为|x+1与x-2的零点值)，在有理数范围内，零点值x=1和x=2可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3种情况：当xW时，原式=_(x+1)_(x_2)=_2x+1当x2时，原式=x+1+x_2=2x_1-2x1x-1综上讨论，原式二3-1：:x：:22x-1(x之2)通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：(1)别求出|x+2和x4的零点值解：令x+2=0,解得x=一2,所以x=-2是x+2的零点；令x4=0,解得x=4,所以x=4是x-4的令点.(2)化简代数式x+21+x-4解：当xM-2时，原式=(x+2)(x4)=2x+2;当-24时，原式=x

5、+2+x-4=2x-2.-2x2x-2综上讨论，原式=W6(-2Mx4)(3)化简代数式y=x1|+2x2解：当xW1时，y=53x;当1x2时，y=3x;当x22时，y=3x5.5-3x(x1)综上讨论，原式=J3_x(1x1时，y=x-1.(3)图像如右图说明：此题还可以考虑该图像可由y=|x|的图象向右平移一个单位后得到练习1.(1)画出y=|x2的图像;(2)画出y=2x的图像【例7】画出y=x1+2x-2的图象解：(1)关键点是x=1和x=2(2)去绝对值当xM1时，y=53x;当1x2时，y=3x;当x之2时，y=3x5.(3)图象如右图所示.【例8】画出函数y=e2+2x+3的图

6、像解：(1)关键点是x=0(2)去绝对值：当x之0时，y=_x2+2x+3;当x0时，y=T2-2x+3(3)可作出图像如右图【例9】画出函数y=x23x+2的图像解：(1)关键点是x=1和x=2(2)去绝对值：当xE1或x之2时，y=x2-3x+2;当1xx,那么x是数.5 .如图，化简a*b_b_2_c_a一2c=6 .已知（x2）2+2y-1=0,则x+2y=.7 .化简x+1+x+2,并画出y=x+1+|x+2的图象8 .化简x+5+2x-3.9.画出y=|2x+3的图像10.画出y=x2+2x+3的图像答案:13;n3;n3.14152.2或13.C4.负55.-46.3匚2x-3,

7、x-27.y=?1,-2x-1,图象如下2x3,x-14x-2,x-5一3.一8.y=8-x,-5x-9.如图所不233x+2,x之一210.如图所示5.2绝对值不等式到了高中，绝对值不等式需要强调的有两点：一是由定义引出的绝对值的几何意义的应用；二是代数意义上的分类讨论，其中几何意义的应用主要涉及到有关绝对值不等式的解法，而分类讨论的思想就体现为去绝对值、画绝对值函数图象、解绝对值不等式.【例1】解方程：|x2=1.解：原方程变为x2=1,x=3或x=1.【例2】解不等式X1.解：X对应数轴上的一个点，由题意，X到原点的距离小于1,很容易知道到原点距离等于1的点有两个:-1和1,自然只有在-

8、1和1之间的点，到原点的距离才小于1,所以X的解集是x|-1x1.练习1.解不等式：(1)x3(3)XM解：(1)x|-3x3(2)x|x3(3)x|-2x0)的解集是x|axa(a0)的解集是x|xa,如图2.-a 00i【例3】解不等式x-21.解：由题意，1x-21,解得1x3,所以原不等式的解集为x1x3.结论：(1)ax+bc(CA0)之一cax+b0)uax+bc或ax+b-c练习1：解不等式：(1)x102;(3)3-2x5;解：(1)由题意，3x103,解得7cx13,所以原不等式的解集为x7x13.737.3(3)由题忌，2x5a2或2x52,斛仔xA或x或x_.2222(3

9、)由题意，532xM5,解得1WxM4,所以原不等式的解集为x|1MxM4.练习2：解不等式组2-x -405-1 3x 2解：由2x4W0,得-42-x2,得1+3x3,即一31+3x3,解得一4x2,334242由得，一一X一，所以原不等式的解集为x|-x一.3333练习3：解不等式12x15.解：方法一：由2x15,解得Ax3；由1w|2x1得，xW0或xA1,联立得-2x0或1Wx3,所以原不等式的解集为x|2x0或1Wx3.方法二：1M2x1c5u1E2x_15或52x1M1,解得2x0或1Wx3,所以原不等式的解集为x|2x0或1Mx2x+1解：方法一：(零点分段法)311(1)当

10、x时，原不等式变为：(4x-3)2x+1,解得x-,所以x2x+1,解得x2,所以x2；41.综上所述，原不等式的解集为x|x2.3、，一一一一一一一一一.、一1-万法一：4x3|2x+1u4x32x+1或4x3(2x+1),斛得x2,所以原不等式的解31集为x|x2.结论：(1)ax+b|f(x)uf(x)ax+bf(x).(2) ax+baf(x)uax+baf(x)或ax+bf(x).练习4：解不等式：4x-3x+1.2424解：由4x-3Ex+1得-(x+1)4x-3x+1,解得2MxM4,原不等式的解集为x|MxM=.5353【例5】解方程：(1)，x+2+|x1.=3(2)x+2+

11、x1=5(3) |x+3-x-1|=4(4)|x+3-x-2=4【初中知识链接】在三角形中，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，这个结论反映在数轴上是这样的：若a和b是数轴上的两个数，那么当axb时，数x到a和b的距离之和等于a与b的距离；当xa或xb时，数x到a和b的距离之差的绝对值，等于a与b的距离.以上所有问题都可以用此方法解决.解：(1)等式左边式子x+2+|x-1的几何意义是，实数x到一2和1的距离之和，而一2和1的距离之和也刚好是3,容易知道，当x位于-2和1之间时，x到-2和1的距离之和就刚好为3,所以x的取值范围是-2x1.(2)等式左边式子的几何意义是，实数x到2

12、和1的距离之和，由于_2和1的距离是3,所以x一定在2和1的两边，经过计算，可知当x位于与和2时，满足条件.(3)等式左边式子的几何意义是，实数x到4和1的距离之差，由于3和1的距离刚好是4,所以当x位于-3到1的两边时，x到-3和1的距离之差刚好为4,x的取值范围是xw3或x之1.(4)等式左边式子的几何意义是，实数x到-3和2的距离之差，由于-3和1的距离刚好是5,所以x53定位于4到2之间，可知当x位于？和3时，满足条件.22【例6】解不等式：x+2|+|x-15方法1：利用零点分区间法(推荐)分析：由x1=0,x+2=0,得x=1和x=2.2和1把实数集合分成三个区间，即x2,-2x1

13、,按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间讨论.x-2解：当x父一2时，得W,解得：一3x2；-(x-1)-(x2)：52_x_1-,当2WxW1时，得1时，得,解得：1xM2.(x-1)(x2)：5综上，原不等式的解集为-3x2上说明：(1)原不等式的解集应为各种情况的并集；(2)这种解法又叫“零点分区间法”，即通过令每一个绝对值为零求得零点，求解应注意边界值.方法2:利用绝对值的几何意义解：x+2+x-1|5的几何意义是数轴上的点x到1和-2的距离之和小于5的点所对应的取值范围，由数轴可知，1(2)=35,易知当x=3或x=2时，|x+2+x1=5,所以x位于3和2之间(不含端点)，所以3

14、x2,所以原不等式的解集为x-3x2.说明：选择题和填空题中，利用绝对值的几何意义解含有两个绝对值不等式优势明显练习1.x+2+x17解：x：x；3练习2.解不等式：x+3-x-24-3斛：x|x-2练习3.2x+3+|2x-2x+3解：当xx+3,解得：xx+3,无解当x2时，得x-1+x-2x+3,解得：x6.综上，原不等式的解集为汽|乂6.【例8】解关于x的不等式2x+3-1a解：原不等式变为2x+3a+1(1)当aw1时，a+1E0,原不等式无解；(2)当aa1时，Ta+1)2x+3a+1,解得a2x1时，原不等式的解集为*|一9一2*月一1.22M课时作业1 .已知a-6,化简6八得()A.6-aB.-a-6C.a6D.a