预习导航 1.3.2利用导数研究函数的极值

1、.预习导航课程目的学习脉络1.理解极值、极值点的概念，明确极值存在的条件；2会求函数的极值；3会求函数在闭区间上的最值；4能利用导数解决与函数极值、最值相关的综合问题.1函数的极值1函数yfx，设x0是定义域a，b内任一点，假如对x0附近的所有点x，都有fxfx0，那么称函数fx在点x0处取极大值，记作y极大fx0，并把x0称为函数fx的一个极大值点假如在x0附近都有fxfx0，那么称函数fx在点x0处取极小值，记作y极小fx0，并把x0称为函数fx的一个极小值点2极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点考虑1 1极大值极小值是否就是函数在定义域内最大的值最小的值?2函数是否一

2、定存在极值？假设存在，是否是唯一的？3极大值是否一定比极小值大？4函数的极值点是否可以出如今区间的端点？提示：1极值是一个部分概念由定义知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小2在一个给定的区间上，函数可能存在假设干个极值，也可能不存在极值；函数可以只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值3极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值4不可以，函数在一个区间的端点处一定不可能获得极值，因为不符合极值点的定义2求函数yfx极值的步骤第1步：求导数fx；第2步：求方程fx0

3、的所有实数根；第3步：考察在每个根x0附近，从左到右，导函数fx的符号如何变化假如fx的符号由正变负，那么fx0是极大值；假如由负变正，那么fx0是极小值假如在fx0的根xx0的左、右侧，fx的符号不变，那么fx0不是极值考虑2 1导数为0的点一定是函数的极值点吗？2函数在极值点处的导数一定等于0吗？提示：1不一定，例如对于函数fxx3，虽有f00，但x0并不是fxx3的极值点，要使导数为0的点成为极值点，还必须满足其他条件2不一定，例如函数fx|x1|，它在x1处获得极小值，但它在x1处不可导，就更谈不上导数等于0了但对可导函数来说，极值点处的导数值一定等于0.3函数的最值函数fx的最大小值

4、是函数在指定区间上的最大小的值点拨 函数极值与最值的联络与区别：1函数的极值是表示函数在某一点附近的变化情况，是在部分上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值那么是表示函数在整个定义区间上的情况，是对整个区间上的函数值的比较，具有绝对性2函数在一个闭区间上假设存在最大值或最小值，那么最大值或最小值最多只能各有一个，具有唯一性；而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例如：常函数就没有极大值，也没有极小值3极值只能在函数的定义域内部获得，而最值可以在区间的端点处获得有极值的不一定有最值，有最值的不一定有极值，极值有可能成为最值，最值只要不是在端点处取到，那么一定是某个极值4求函数yfx在a，

5、b上的最大小值的步骤第1步：求fx在开区间a，b内所有使fx0的点第2步：计算函数fx在区间a，b内使fx0的所有点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值考虑3假如函数fx在闭区间a，b上是单调函数，如何求其最值？提示：假如函数fx在闭区间a，b上恰好是单调函数，那么函数的最值恰好在两个端点处取到当fx在闭区间a，b上递增时，fa是最小值，fb是最大值；当fx在闭区间a，b上递减时，fa是最大值，fb是最小值点拨 函数fx在开区间上最值的求法：假如要研究函数在开区间上的最值情况，那么就要与闭区间加以区别由于是开区间，所以函数的最值不能在端点处获得，而只能在极值点处获得，当函数在开区间上只有一个极值时，这个极值也