天津市学大教育2016届高三上学期期中数学模拟试卷【解析版】(理科)

1、2015-2016学年天津市学大教育高三（上）期中数学模拟试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共40分）1设全集为R，集合A=x|x|3，B=x|1x5，则A（RB）=( )A（3，0）B（3，1C（3，1）D（3，3）2“”是“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+）的图象重合”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3设、为平面，m、n、l为直线，则m的一个充分条件是( )A，=l，mlB=m，C，mDn，n，m4已知函数f（x）=sin（x+）（0，|）的最小正周期是，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y=f（x）的图象(

2、)A关于点（，0）对称B关于直线x=对称C关于点（，0）对称D关于直线x=对称5已知x=，y=log52，z=ln3，则( )AxyzBzxyCyzxDyxz6如图，在ABC中，若，则的值为( )A3B3C2D27已知双曲线=1（a0，b0）与抛物线y2=2px（p0）有相同的焦点，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点，则双曲线的离心率为( )ABCD8定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x）2，当x（0，2时，f（x）=，若x（0，4时，t2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是( )A1，2B2，C1，D2，+）二、填空题（本小题共6道小题，每题5分，共30分）9i是虚数单位

3、，计算的结果为_10一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_11已知函数f（x）=axlnx，x（0，+），其中a为实数，f（x）为f（x）的导函数，若f（1）=3，则a的值为_12如图，在ABC中，ACB=90°，AB=2AC=8，作ABC外接圆O的切线CD，作BDCD于D，交圆O于点E，给出下列四个结论：BCD=60°；DE=2；BC2=BDBA；CEAB；则其中正确的序号是_13在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB=2，BC=1，ABC=60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且=，=，则的值为_14已知函数f（x）=，若存在实数a，b，c，d，

4、满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中0abcd，则abcd的取值范围_三、解答题（本大题共6道小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程以及演算步骤）15（13分）已知函数（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值及取得最值时x的值16（13分）某银行招聘，设置了A、B、C三组测试题供竞聘人员选择现有五人参加招聘，经抽签决定甲、乙两人各自独立参加A组测试，丙独自参加B组测试，丁、戊两人各自独立参加C组测试若甲、乙两人各自通过A组测试的概率均为；丙通过B组测试的概率为；而C组共设6道测试题，每个人必须且只能从中任选4题作答，至少答对3题者就竞聘成功假设丁

5、、戊都只能答对这6道测试题中4道题来源:21世纪教育网（）求丁、戊都竞聘成功的概率（）记A、B两组通过测试的总人数为，求的分布列和期望17（13分）正ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将ABC沿CD翻折成直二面角ADCB（）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（）求二面角EDFC的余弦值；（）在线段BC上是否存在一点P，使APDE？证明你的结论18（13分）已知椭圆+=1（ab0）的离心率为，以椭圆上任一点与左，右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4（+1）（）求椭圆的标准方程；（）若直线l1过原点O，直线l2与直线l1相交于点Q，|=1，

6、且l2l1，直线l2与椭圆交于A，B两点，问是否存在这样的直线l2，使=1成立若存在，求出直线l2的方程；若不存在，请说明理由19（14分）已知Sn为数列an的前n项和，Sn=nan3n（n1）（nN*），且a2=11（1）求a1的值；21世纪教育网（2）求数列an的前n项和Sn；（3）设数列bn满足bn=，求证：b1+b2+bn20（14分）已知函数 f（x）=x2（3a+1）x+2a（a+1）lnx（a0）（）若函数f（x）在x=1处的切线与直线3xy+2=0平行，求a的值：（）求函数f（x）的单调区间；（）在（I）的条什下，若对职x1，e，f（x）k2+6k恒成立，求实数k的取值范围20

7、15-2016学年天津市学大教育高三（上）期中数学模拟试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共40分）1设全集为R，集合A=x|x|3，B=x|1x5，则A（RB）=( )A（3，0）B（3，1C（3，1）D（3，3）【考点】交、并、补集的混合运算 【专题】集合【分析】求出集合B的补集，然后求解交集即可【解答】解：全集为R，集合A=x|x|3=x|3x3，B=x|1x5，RB=x|x1或x5则A（RB）=x|3x1故选：B【点评】本题考查集合的基本运算，考查计算能力2“”是“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+）的图象重合”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既

8、不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】计算题【分析】当时，由诱导公式化简可得图象充分；而当图象重合时可得，kZ，由充要条件的定义可得【解答】解：当时，可得函数g（x）=sin（x+）=cosx，故图象重合；当“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+）的图象重合”时，可取，kZ即可，故“”是“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+）的图象重合”的充分不必要条件故选A【点评】本题考查充要条件的判断，涉及三角函数的性质，属基础题3设、为平面，m、n、l为直线，则m的一个充分条件是( )A，=l，mlB=m，C，mDn，n，m【考点】直线与平面垂

9、直的判定 【专题】证明题；转化思想【分析】根据面面垂直的判定定理可知选项A是否正确，根据平面与平面的位置关系进行判定可知选项B和C是否正确，根据垂直于同一直线的两平面平行，以及与两平行平面中一个垂直则垂直于另一个平面，可知选项D正确【解答】解：，=l，ml，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m，故不正确；=m，而与可能平行，也可能相交，则m与不一定垂直，故不正确；，m，而与可能平行，也可能相交，则m与不一定垂直，故不正确；n，n，而m，则m，故正确故选D【点评】本小题主要考查空间线面关系、面面关系以及充分条件的判定等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力，属于基础

10、题4已知函数f（x）=sin（x+）（0，|）的最小正周期是，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y=f（x）的图象( )21*cnjy*comA关于点（，0）对称B关于直线x=对称C关于点（，0）对称D关于直线x=对称【考点】正弦函数的图象 【专题】三角函数的图像与性质【分析】由周期求出=2，故函数f（x）=sin（2x+），再根据图象向右平移个单位后得到的函数 y=sin（2x+是奇函数，可得=，从而得到函数的解析式，从而求得它的对称性【解答】解：由题意可得=，解得=2，故函数f（x）=sin（2x+），其图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数为y=sin2（x）+=sin

11、（2x+是奇函数，又|，故=，故函数f（x）=sin（2x），故当x=时，函数f（x）=sin=1，故函数f（x）=sin（2x） 关于直线x=对称，故选：D【点评】本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题21世纪教育网5已知x=，y=log52，z=ln3，则( )AxyzBzxyCyzxDyxz21世纪教育网【考点】对数值大小的比较 【专题】函数的性质及应用【分析】利用指数函数和对数函数的单调性即可得出【解答】解：，=，z=ln3lne=1zxy故选：D【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，属于基础题6如图，在ABC中，若，

12、则的值为( )A3B3C2D2【考点】向量的线性运算性质及几何意义 【专题】数形结合；向量法；平面向量及应用【分析】根据平面向量的基本定理，结合向量加法与减法的三角形法则，进行化简运算即可【解答】解：=+，=（）=×=，=+（）=+；又=+，=，=；=×=3故选：B【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用问题，解题时应根据向量的加法与减法运算将向量进行分解，是基础题目【来源：21·世纪·教育·网】7已知双曲线=1（a0，b0）与抛物线y2=2px（p0）有相同的焦点，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点，则双曲线的离心率为( )ABCD【考

13、点】双曲线的简单性质 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据题意，点在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p=10，进而可得抛物线的焦点坐标，可得c的值由点（2，1）在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，由双曲线的性质，可得a，b，进而可得答案【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，即点在抛物线的准线上，则p=10，则抛物线的焦点为（5，0）；因为双曲线=1（a0，b0）与抛物线y2=2px（p0）有相同的焦点，所以c=5，因为点在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=±x，所以a=4，b=3所以e=故选B【点评】本题考查双

14、曲线与抛物线的性质，注意题目“双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为”这一条件的运用是关键21教育网8定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x）2，当x（0，2时，f（x）=，若x（0，4时，t2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是( )A1，2B2，C1，D2，+）来源:21世纪教育网【考点】分段函数的应用；函数恒成立问题 【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】由f（x+2）=2f（x）2，求出x（2，3），以及x3，4，的函数的解析式，分别求出（0，4内的四段的最小值，注意运用二次函数的最值和函数的单调性，再由t2f（x）恒成立即为由t2f（x）min，解不等

15、式即可得到所求范围【解答】解：当x（2，3），则x2（0，1），则f（x）=2f（x2）2=2（x2）22（x2）2，即为f（x）=2x210x+10，当x3，4，则x21，2，则f（x）=2f（x2）2=2当x（0，1）时，当x=时，f（x）取得最小值，且为；当x1，2时，当x=2时，f（x）取得最小值，且为；当x（2，3）时，当x=时，f（x）取得最小值，且为；当x3，4时，当x=4时，f（x）取得最小值，且为1综上可得，f（x）在（0，4的最小值为若x（0，4时，t2f（x）恒成立，则有t2解得1t故选：C【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查分段函数的最小值，运用不等式的恒成立思想转

16、化为求函数的最值是解题的关键www.21-cn-二、填空题（本小题共6道小题，每题5分，共30分）21世纪教育网9i是虚数单位，计算的结果为i【考点】复数代数形式的乘除运算 【专题】数系的扩充和复数【分析】直接利用复数的除法运算法则化简求解即可【解答】解：i是虚数单位，=i故答案为：i【点评】本题考查复数的乘除运算，基本知识的考查10一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是【考点】由三视图求面积、体积 【专题】数形结合；分割补形法；立体几何【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是三棱柱与四棱锥的组合体，结合图中数据，求出它的体积【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是三棱柱ABF

17、DCE与四棱锥PABCD的组合体，如图所示；则该几何体的体积为V=×22×2+×2×2×2=故答案为：【点评】本题考查了几何体三视图的应用问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目11已知函数f（x）=axlnx，x（0，+），其中a为实数，f（x）为f（x）的导函数，若f（1）=3，则a的值为32·1·c·n·j·y【考点】导数的运算 【专题】导数的概念及应用【分析】根据导数的运算法则求导，再代入值计算即可【解答】解：f（x）=a（1+lnx），f（1）=3，a（1+ln1）=3，解得a

18、=3，故答案为：3【点评】本题考查了导数的运算法则，属于基础题12如图，在ABC中，ACB=90°，AB=2AC=8，作ABC外接圆O的切线CD，作BDCD于D，交圆O于点E，给出下列四个结论：BCD=60°；DE=2；BC2=BDBA；CEAB；则其中正确的序号是2-1-c-n-j-y【考点】与圆有关的比例线段 【专题】选作题；转化思想；推理和证明【分析】利用直角ABC的边角关系即可得出BC，利用弦切角定理可得BCD=A=60°利用直角BCD的边角关系即可得出CD，BD再利用切割线定理可得CD2=DEDB，即可得出DE利用ACBCDB，可得BC2=BDBA；证明

19、BCE=ABC，可得CEAB【解答】解：在ABC中，C=90°，A=60°，AB=8，BC=ABsin60°=421世纪教育网【来源：21cnj*y.co*m】CD是此圆的切线，BCD=A=60°，即正确在RtBCD中，CD=BCcos60°=2，BD=BCsin60°=6由切割线定理可得CD2=DEDB，12=6DE，解得DE=2，即正确BCD=A，D=ACB，ACBCDB，CB：DB=AB：CB，BC2=BDBA，即正确；ECD=ABC=30°，BCD=60°，BCE=30°=ABC，CEAB，即正确

20、；故答案为：【点评】熟练掌握直角三角形的边角关系、弦切角定理、切割线定理是解题的关键13在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB=2，BC=1，ABC=60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且=，=，则的值为【考点】平面向量数量积的运算 【专题】平面向量及应用【分析】根据向量数量积的公式和应用，进行运算求解即可【解答】解：AB=2，BC=1，ABC=60°，BG=，CD=21=1，BCD=120°，=，=，=（+）（+）=（+）（+）=+=2×1×cos60°+×2×1×cos0°+×

21、;1×1×cos60°+××1×1×cos120°=1+=，故答案为：【点评】本题主要考查向量数量积的应用，根据条件确定向量的长度和夹角是解决本题的关键14已知函数f（x）=，若存在实数a，b，c，d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中0abcd，则abcd的取值范围（16，24）【考点】分段函数的应用 【专题】函数的性质及应用【分析】先画出函数f（x）=的图象，再根据条件数形结合，即可求出其范围【解答】解：函数f（x）=的图象如下图所示：若a、b、c、d互不相同，且f（a）=f（b）=f（c）=f（

22、d），不妨令abcd，则log2a=log2b，c（2，4），d（6，8），故ab=1，cd（16，24），故abcd（16，24），故答案为：（16，24）【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，由题意正确画出图象和熟练掌握对数函数的图象是解题的关键21世纪教育网三、解答题（本大题共6道小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程以及演算步骤）15（13分）已知函数（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值及取得最值时x的值【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域 【专题】三角函数的图像与性质【分析】（1）由三角函数的公式化

23、简可得f（x）=，由周期公式可得答案；（2）由x的范围可得的范围，进而可得的范围，可得f（x）的范围，结合三角函数在该区间的单调性，可得最值及对应的x值【解答】解：（1）化简可得=所以（2）因为，所以所以，所以1f（x）2，当，即时，f（x）min=1，当，即时，f（x）max=2，（14分）【点评】本题考查两角和与差的正弦函数，涉及三角函数的周期性和值域，属中档题16（13分）某银行招聘，设置了A、B、C三组测试题供竞聘人员选择现有五人参加招聘，经抽签决定甲、乙两人各自独立参加A组测试，丙独自参加B组测试，丁、戊两人各自独立参加C组测试若甲、乙两人各自通过A组测试的概率均为；丙通过B组测试的

24、概率为；而C组共设6道测试题，每个人必须且只能从中任选4题作答，至少答对3题者就竞聘成功假设丁、戊都只能答对这6道测试题中4道题21·世纪*教育网（）求丁、戊都竞聘成功的概率（）记A、B两组通过测试的总人数为，求的分布列和期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【专题】概率与统计【分析】（I） 设丁竞聘成功为M事件，戊竞聘成功为N事件，则事件的总数，而事件M竞聘成功分为两种情况：一种是戊会其中4题都选上，另一种是选上会其中4题的其中3道题和另一道题，再利用概率计算公式即可得出www-2-1-cnjy-com（）可取0，1，2，3=0表示甲乙丙三人都没有通过；

25、=1表示三人中只有一人通过；=3表示由3人都通过，利用分类讨论和独立事件的概率计算公式及其互斥事件的概率计算公式及其对立事件的概率，列出分布列，求出期望【解答】解：（I） 设“丁竞聘成功”为M事件，戊竞聘成功为N事件，而事件M竞聘成功分为两种情况：一种是戊会其中4题都选上，另一种是选上会其中4题的其中3道题和另一道题，基本事件的总数为P（M）=P（N）=丁、戊都竞聘成功的概率：P（MN）=P（M）P（N）=（）可取0，1，2，3可得P（=0）=（1）2（1）2=，P（=1）=，P（=2）=，P（=3）=21·cn·jy·com列表如下： 0 1 2 3 PE=0&

26、#215;+1×+2×+3×=【点评】本题中考查了超几何分布、互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望、分类讨论等基础知识与基本方法，属于中档题21世纪教育网版权所有17（13分）正ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将ABC沿CD翻折成直二面角ADCB（）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（）求二面角EDFC的余弦值；（）在线段BC上是否存在一点P，使APDE？证明你的结论【考点】直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题 【专题】计算题；证明题【分析】法一（1）要证明线面平行，关键是在平面

27、内找到一条可能与已知直线平行的直线，观察到平面BEF中三条已知直线中，EF可能与AB平行，故可以以此为切入点进行证明（2）要求二面角的余弦，要先构造出二面角的平面角，然后利用解三角形的方法，求出这个平面角的余弦值，进而给出二面角的余弦值【版权所有：21教育】（3）线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来法二，根据题意，构造空间直角坐标系，求出各点的坐标，进

28、行求出相应直线的方向向量和平面的法向量，利用向量法进行求解（1）利用直线的方向向量与平面的法向量之间的关系，判断线面关系，（2）通过求两个平面法向量的夹角求二面角【解答】解：法一：（I）如图：在ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EFAB，又AB平面DEF，EF平面DEFAB平面DEF（II）ADCD，BDCDADB是二面角ACDB的平面角ADBDAD平面BCD取CD的中点M，这时EMADEM平面BCD过M作MNDF于点N，连接EN，则ENDFMNE是二面角EDFC的平面角在RtEMN中，EM=1，MN=tanMNE=，cosMNE=（）在线段BC上存在点P，使APDE证明如下：在线段B

29、C上取点P使，过P作PQCD与点Q，PQ平面ACD在等边ADE中，DAQ=30°AQDEAPDE法二：（）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量为则即所以二面角EDFC的余弦值为（）在平面坐标系xDy中，直线BC的方程为设所以在线段BC上存在点P，使APDE另解：设又21世纪教育网把代入上式得，所以在线段BC上存在点P使APDE【点评】判断或证明线面平行的常用方法有：利用线面平行的定义（无公共点）；利用线面平行的判定定理（a，b，aba）；利用面面平行的性质定理（，aa）；利

30、用面面平行的性质（，a，a，aa）线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来本题也可以用空间向量来解决，其步骤是：建立空间直角坐标系明确相关点的坐标明确相关向量的坐标通过空间向量的坐标运算求解18（13分）已知椭圆+=1（ab0）的离心率为，以椭圆上任一点与左，右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4（+1）【出处：21教育名师】（）求椭圆的标准方程；（）若

31、直线l1过原点O，直线l2与直线l1相交于点Q，|=1，且l2l1，直线l2与椭圆交于A，B两点，问是否存在这样的直线l2，使=1成立若存在，求出直线l2的方程；若不存在，请说明理由21教育名师原创作品【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程 【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）由题意，得2a+2c=4（+1），=，求出a，b，c，即可求椭圆的标准方程；（2）分类讨论，根据=1，|=1进行转化，将直线l2的方程为mx+ny=1代入椭圆方程，利用x1x2+y1y2=0，即可得出结论21*cnjy*com【解答】解：（）由题意，得2a+2c=4（+1），=，a=2c=2，

32、b=2椭圆的标准方程为 （）假设存在直线l2，使=1成立设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），Q（m，n），且m2+n2=1，则直线l1的方程为nxmy=0，直线l2的方程为mx+ny=1（1）当n=0时，此时直线l2的方程为x=±1，可得A（1，），B（1，），代入=1，不符题意； （2）当n0时，将直线l2的方程为mx+ny=1与椭圆方程联立，又m2+n2=1，得 （1+m2）x24mx+28n2=0 x1+x2=，x1x2= 又=1，x1x2+y1y2+2=m（x1+x2）+n（y1+y2）21世纪教育网又 mx1+ny1=1，mx2+ny2=1m（x1+x2

33、）+n（y1+y2）=2x1x2+y1y2=0 n2x1x2+1+m2x1x2m（x1+x2）=0x1x2+1m（x1+x2）=0 5n2=0n=0这与n0矛盾 综上可知，不存在这样的直线l2，使=1成立 （13分）【点评】本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题19（14分）已知Sn为数列an的前n项和，Sn=nan3n（n1）（nN*），且a2=11（1）求a1的值；（2）求数列an的前n项和Sn；（3）设数列bn满足bn=，求证：b1+b2+bn【考点】数列的求和；数列递推式 【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）由已知得S2=a1+a2=2a23×2（21），a2=11，由此能求出a1（2）当n2时，由an=SnSn1，得an=nan3n（n1）（n1）an13（n1）（n2），从而得到数列an是首项a1=5，公差为6的等差数列，由此能求出数列an的前n项和Sn（3）由=（），由此能证明b1+b2+bn【解答】解：（1）Sn=nan3n（n1）（nN*），且a2=11S2=a1+a2=2a23×2（21），a2=11，解得a1=5（2）当n2时，由an=SnSn1，得an=nan3n（n1）（n1）an13（n1）（n2），（n1）an（n1）an1=6（n1），anan1=6，