实际问题与二次函数

1、 个性化辅导教案学科数学年级初三教材版本人教版课题名称实际问题与二次函数课时计划（全程或具体时间）授课时间教学目标同步教学知识内容初步让学生学会用二次函数知识解决实际问题。在问题转化，建摸的过程中，发展合情推理，体会数形结合的思想。通过实际问题，体验数学在生活实际的广泛运用，发展数学思维，激发学生学习热情。个性化学习问题解决培养学生的逻辑思维能力教学重点用二次函数的知识解决实际问题教学难点建立二次函数数学模型教学过程课前检查作业完成情况：优 良 中 差 建议_。例1:我们班小红家开了一个商店，某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映:如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖

2、出10件;每降价1元，每星期可多卖出20件，已知该商品的进价为每件40元，如何定价才能使小红的爸爸获得利润最大？分析：1、如何确定函数关系式？ 2、每件的利润=售价进价 总利润=每件的利润×卖出的总件数 3、变量x有范围要求吗？解:调整价格包括涨价和降价两种情况(1)设每件涨价x元，则每件的利润为(60+x-40)元，可卖的商品的件数为(300-10x)，此时每星期商品的利润为y元，于是有 y=(60+x-40)(300-10x) =-10x2+100x+6000 =-10(x-5)2+6250 (其中0x30)当x=5时，y最大=6250元所以在涨价的情况下，每件涨5元即定价为65

3、元/件时利润最大是6250元。(2)设每件降价x元，则每件的利润为(60-x-40)元，可卖的商品件数为(300+20x)，此时每星期商品的利润为y元，于是有 y=(60-x-40)(300+20x) =-20x2+100x+6000 =-20(x-2.5)2+6125 (其中0x20) 当x=2.5时， y最大=6125元 所以在降价的情况下，每件降价2.5元即定价为57.5元时，利润最大是6125元。综合(1) (2)可知，商品的定价为65元时才能使小红的爸爸获得利润最大。由此题可知，做生意也是有很大的学问。只靠“勤劳”未必能挣更多的钱，还是应多学习科学文化知识，因此在座的各位都是聪明，明

4、智的，要珍惜咱们学习的大好时机，将来挣更多的钱，过上更美好的生活。记住：“不好好学习就是一个最大的浪费者。”等卖了货之后，清点了靠自己合法经营赚来最多的钱高高兴兴的锁上门正准备回家时，突然变天要下大雨，小红的爸爸在回家的路上要路过一座危险的拱桥。例2、如图是一个抛物线形的拱桥，正常时拱顶离水面2米，水面宽4米，当下大雨时水面以每小时0.5米的速度上涨，当桥下的水面宽为2米时，桥就有被冲垮的可能，小红的爸爸下午3点从商店出发，此时天正在下大雨,问他最迟在下午几点之前要通过这座拱桥？ 分析：用转化的思想引导学生分析怎样去解决问题。要求时间，有速度转化为求距离；要求距离转化为建立二次函数数学模型，解

5、决正常水位与警戒线水位纵坐标的差。解:以抛物线的顶点为原点建立如图所示的坐标系- 3D11A(-2，-2)B(2，-2)xyCONM由题意可知:A(-2，-2) B(2，-2)设抛物线的解析式为:y=ax2 -2=a×22 a=这个二次函数的解析式为： y=x2当x1时，y，OD则CDOCOD2所以水面宽由4米上涨到水面宽2米时水面上涨的高度为1.5米此时需时间为1.5÷0.53小时故小红的爸爸务必在下午6点之前经过这座拱桥。例3：小红的爸爸为了赶路，到家之后已经累得精疲力竭，正好此时小红已经放学回到家中，慌忙去为爸爸做点饭吃。此时正在上九年级的小红发现自己家的铁锅的轴截面

6、也成抛物线形这时锅中r=20h=10的水最深处是5cm，已知锅口的半径是20cm，锅的高度是10cm，请同学们帮正在做饭的小红算一算锅中水面的面积是多少？利用上题的经验来解决本体起到一个巩固的作用。解：如图以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系.可知A(20,10)，B（20,10）A (20,10)B (20,10)Oxy5设抛物线的解析式为y=ax2于是有10400a a抛物线的解析式为y= x2当y=5时，5 x2x±此时水面的半径为cm锅中水面的面积是× 200cm21对于二次函数，我们把使函数值等于的实数叫做这个函数的零点，则二次函数（为实数）的零点的个数是（ ）

7、A1 B2 C0 D不能确定2已知一次函数y = ax + b的图象过点（2，1），则关于抛物线y = ax2bx + 3的三条叙述： 过定点（2，1）， 对称轴可以是x = 1， 当a0时，其顶点的纵坐标的最小值为3其中所有正确叙述的个数是( )A0 B1 C2 D33抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是( )A. B. C. 或 D.或4如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园，设边长为米，则菜园的面积（单位：米）与（单位：米）的函数关系式为 （不要求写出自变量的取值范围）5 写出等边三角形的面积S与其边长之间的函数关系式为 .1B 2C 3B 4 5

8、 6.蔬菜基地种植某种蔬菜，由市场行情分析知，1月份至6月份这种蔬菜的上市时间（月份）与市场售价（元/千克）的关系如下表：上市时间（月份）123456市场售价（元千克）10.597.564.53这种蔬菜每千克的种植成本（元/千克）与上市时间（月份）满足一个函数关系，这个函数的图象是抛物线的一段（如图）（1）写出上表中表示的市场售价（元/千克）关于上市时间（月份）的函数关系式；（2）若图中抛物线过点，写出抛物线对应的函数关系式；112233445566（3）由以上信息分析，哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？最大值为多少？（收益市场售价种植成本）6（1） （2）（3）设收益为，则，时，即月上

9、市出售这种蔬菜每千克收益最大，最大受益为元7明珠大剧场座落在聊城东昌湖西岸，其上部为能够旋转的拱形钢结构，并且具有开启、闭合功能，全国独一无二，如图1舞台顶部横剖面拱形可近似看作抛物线的一部分，其中舞台高度米，台口高度米，台口宽度米，如图2以所在直线为轴，过拱顶点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系（1）求拱形抛物线的函数关系式；（2）舞台大幕悬挂在长度为米的横梁上，其下沿恰与舞台面接触，求大幕的高度（精确到米）yANCDxO29米1.15米13.5米BM图2E图17（1）由题设可知，设拱形抛物线的关系式为，则解得所以，所求函数的关系式为（2）由米，设点的坐标为，代入关系式，得即大幕的高度约

10、为7.08米一、选择题1.将进货单价为90元的某种商品按100元售出时，能卖出500个；价格每上涨1元，其销售量就减少10个，为了获得最大利润，售价应定为( )A.110元 B.120元 C.130元 D.150元2某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出，若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位的租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出，以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高( )A.4元或6元 B.4元 C.6元 D.8元3心理学家发现，学生对概念的接受能力y和提出概念所用的时间x(单位：分)之间大致满足函数关系式：(0x30

11、)，y的值越大，表示接受能力越强，那么学生的接受能力达到最强时，概念提出所用的时间是( ) A10分 B30分 C13分 D15分4某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图所示，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y-x2+4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )A4米 B3米 C2米 D1米 第4题 第6题5一小球被抛出后，距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足下列函数关系式：h-5(t-1)2+6，则小球距离地面的最大高度是( ) A1米 B5米 C6米 D7米62011年5月22日29日在美丽的青岛市举行了苏迪曼杯羽毛球混合团体锦标

12、赛，在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分(如图所示)，其中出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，那么这条抛物线的解析式是( )A B C D二、填空题7如图所示，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为_米8出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出(8-x)个，则当x_元时，一天出售该种手工艺品的总利润y最大9如图所示是抛物线形桥拱的剖面图，当水面在AB时，宽为m，当水面上升3

13、m到达CD时，水面宽为m，若水面以每小时0.25m的速度上升，再过_h，水面可达到桥顶10某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线形状如图所示，如图建立直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是.请回答下列问题：柱子OA的高度为 米；喷出的水流距水平面的最大高度是 米；若不计其它因素，水池的半径至少要 米，才能喷出的水流不至于落在池外.   11如图所示，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千拴绳

14、子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为_米 第11题 第12题12如图所示，有一条双向公路隧道，其横断面由抛物线和矩形ABCO的三边组成，隧道的最大高度为4.9m，AB10m，BC2.4m，现把隧道横断面放在平面直角坐标系中，若有一辆高为4m，宽为2m的装有集装箱的汽车要通过隧道，问：如果不考虑其他因素，汽车的右侧离隧道右壁至少 米才不至于碰到隧道顶部?(抛物线部分为隧道顶部，AO，BC为壁)三、解答题13某人定制了一种地砖，每块地砖(如图所示)是边长为0.4米的正方形ABCD，点E，F分别

15、在边BC和CD上，CFE、ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成CFE、ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按如图所示的形式铺设，则能使中间的阴影部分组成四边形EFGH (1)判断图中的四边形EFGH是何形状，并说明理由； (2)点E、F分别在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省?13.【答案与解析】(1)四边形EFGH是正方形理由：图可以看成是由图所示的地砖绕C点按顺(逆)时针方向连续3次旋转90°后得到的，故CECFCGCH，又CECF，所以四边形EFGH是正方形(2)设CEx米，则BE(0.4-x)米，设每块地砖的

16、费用为y元，根据题意得当x0.1时，y有最小值，所以当CECF0.1米时，定制这批地砖所需的材料费用最省14. 国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求。若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元已知这种设备的月产量x(套)与每套的售价y1(万元)之间满足关系式y2170-2x，月产量x(套)与生产总成本y2(万元)存在如图所示的函数关系 (1)直接写出y2与x之间的函数关系式； (2)求月产量x的范围； (3)当月产量x(套)为多少时，这种设备的利润W(万元)最大？最大利润是多少？14.【

17、答案与解析】(1)y2500+30x(2)依题意得：解之：25x40，且x为整数(3) ， ，而253540 当x35时，1 950即月产量为35套时，利润最大，最大利润是l 950万元15某镇地理位置偏僻，严重制约着经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售，乡政府对花木产品每投资x万元，所获利润为(万元)为了响应我国西部大开发的宏伟决策，乡政府在制定经济发展的10年规划时，拟定开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路，且5年修通公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售

18、的花木产品，每投资x万元可获利润(万元)(1)若不进行开发，求10年所获利润的最大值是多少? (2)若按此规划进行开发，求10年所获利润的最大值是多少? (3)根据(1)、(2)计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法15.【答案与解析】 (1)若不开发此产品，按照原来的投资方式，由知，只需从50万元专款中拿出30万元投资，每年即可获得最大利润10万元，则10年的最大利润为M110×10100(万元) (2)若对该产品进行开发，在前5年中，当x25时，每年最大利润是(万元)， 则前5年的最大利润为M29.5×547.5(万元) 设后5年中x万元是用于本地销售的投资则由知，将余下

19、的(50-x)万元全部用于外地销售的投资，才有可能获得最大利润则后5年的利润是故当x20时，M3取得最大值为3500万元所以，10年的最大利润为MM2+M33500+47.53547.5(万元)(3)因为3547.5100，故该项目有极大的开发价值【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】根据题意可列，即当x=20，售价为100+20=120元时，获得最大利润，故选B.2.【答案】C；【解析】设旅行社获利为y(元)，若每床一次提高费用2元，设提高了x次，则每床提高费用为2x元，根据题意可列，因为x为整数，且为了投资少而获利大，所以当x=3即2x=6时，函数取最大值，故选C.3.【答案】C

20、； 【解析】分时，y最大 4.【答案】A；【解析】，当时，.5.【答案】C；【解析】t1时，；6.【答案】A；【解析】将A(4，0)，B(0，1)代入解析式中求得，. 二、填空题7【答案】；【解析】以地面为轴，抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系，可求.8【答案】4；【解析】， 时W最大.9【答案】12； 【解析】由题意知A(，0)、B(，0)、C(，3)设抛物线的解析式为又 C在抛物线上， 抛物线的解析式为当时， 所需时间.10【答案】；2.5.【解析】（1）OA高度为米.（2）当时，即水流距水平面的最大高为米.（3）其中不合题意，水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在池外.1

21、1【答案】0.5； 【解析】如图，建立平面直角坐标系，则A(0，2.5)，B(0.5，1)，C(2，2.5)设抛物线解析式为则 解得 ， 顶点坐标为(1，0.5)，即绳子的最低点距地面0.5米12【答案】2m； 【解析】由已知条件分析得，抛物线的顶点坐标为(5，2.5)，C点的坐标为(10，0)， 设抛物线的解析式为ya(x-5)2+2.5 把(10，0)代入解析式得25a+2.50 ，即 当y4-2.41.6时，即， (x-5)29，解得x18，x22 又 x22不合题意，舍去 x8，OC-x10-82(m) 故汽车应离开隧道右壁至少2m才不至于碰到隧道顶部作业：2汽车刹车距离(m)与速度(

22、km/h)之间的函数关系是，一辆车速为100km/h的汽车，刹车距离是 （ ）ABCPQ图1A1m B.10m C. 100m D.200 m3如图1，ABC是直角三角形，A=90°， AB=8cm，AC=6cm，点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则三角形APQ的最大面积是（ ）A8cm2 B. 16cm2 C.24cm2 D.32cm24.小强在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数（t的单位：s，h的单位：m）可以描述他跳跃时重心高度随时间的变化关

23、系则他起跳后到重心最高时所用的时间大约是（）0.71s0.70s0.63s0.36s图2 5. 心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系：y0.1x22.6x43 （0x30）y值越大，表示接受能力越强如果学生的接受能力逐步增强，则x的取值范围是（ ）A0x13 B13x26 C0x26 D13x305m1m10m?图36图3是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，则两盏景观灯

24、之间的水平距离是（ ） A .3m B.4m C.5m D.6mBBDAC8某纸箱厂的第1年利润为50万元，如果每一年比上一年利润的增长率相同，都是x，则第3年的利润为 万元9用20cm长的铁丝围成一个圆，则圆的面积是 （结果不取近似值）10抛物线与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，则三角形AOB的面积为 11两个数的和为6，这两个数的积最大可以达到 12红光旅社有100张床位，每床每日收费10元，客床可全部租出，若每床每日收费提高2元，则租出床位减少10张，若每床每日收费再提高2元，则租出床位再减少10张，以每提高2元的这种变化方法变化下去，每床每日应提高 元 8）50（1+x）2 9) 1

25、0）6 11）9 12）4元或6元13（本小题10分）如图4所示，一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是4m，拱高是2m，当水面下降1m后，水面宽度是多少？（，结果保留0.1m）图414（本小题10分）当路况良好时，在干燥的路面上，汽车的刹车距离s与车速v之间的关系如下表所示：v/（km/h）406080100120s/m24.27.21115.6（1）在平面直角坐标系中描出每对（v，s）所对应的点，并用光滑的曲线顺次连结各点（2）利用图像验证刹车距离s（m）与车速v（km/h）是否有如下关系：（3）求当s=9m时的车速vxyOAB图515. 张强在一次投掷铅球时，刚出手时铅球离地面的m，铅球运行的水平距离为4m时，达到最高，高度为