仿射几何在解析几何中的一些应用

1、仿射几何在研究圆锥曲线中的一些应用 仁化县仁化中学 谢祖福摘要：本文主要结合实例，运用仿射几何的性质在解决圆锥曲线的问题作了一些尝试，以期达到对圆锥曲线问题的解法的化繁为简，化难为易，并且开阔数学视野，培养唯物辨证观点的目的。关键词：仿射几何 仿射性质 仿射变换 圆锥曲线高等几何是从古典几何过渡到近世几何的桥梁，它对中学初等几何和解析几何的教学有重大的指导意义，其中仿射几何是高等几何的重要组成部分，是联结高等几何与初等几何的纽带，是应用高等几何解决初等几何的一条重要通道。在这里，笔者试图利用仿射几何的一些基本性质，在仿射变换下，通过特殊的图形去研究复杂的图形，从而解决一些高中解析几何中圆锥曲线

2、一类的问题。我们知道，椭圆、双曲线、抛物线经过仿射变换，它们对应的图形分别是圆、特殊的双曲线即等轴双曲线x2y2=±1和特殊的抛物线y2=2x。所以我们只要研究圆、双曲线x2y2=±1和抛物线y2=2x的相应性质，利用其平行性、结合性、简比、面积比等仿射性质，其对应的椭圆、双曲线、抛物线的性质就相应知道了，从而能取得事半功倍的效果。一、利用仿射性质解决一些圆锥曲线的最值问题。 例：求椭圆的内接三角形面积的最大值。解：如图，设此椭圆可以由一圆经过仿射变换T后得到的。设圆的半径为r，椭圆的长、短半轴分别为a、b，则椭圆的面积为ab，且圆内接三角形面积最大的为圆内接正三角形，面积

3、为r2。根据仿射变换的性质 =常量即=，则=ab为所求的最大值。同理，此结论可以推广到求椭圆的内接矩形的最大值。例：求证椭圆的最大内接矩形的面积为2ab 。（此题留给读者自己证明）二、利用仿射几何的基本性质证明一些定值问题。例：C为双曲线的实轴AB所在直线上的一定点，直线CTOY轴，P是双曲线上不同于A、B任一点，直线AP、BP与CT分别交于M、N两点，求证CM·CN为定值。证明：由仿射性质可知，此题只要对等轴双曲线x2y2=1进行证明即可。如图，等轴双曲线x2y2=1中，设P（sec， tan），A（-1，0）y M O T P B Ox C A N 直线PA的方程：y=(x+1)

4、直线CT的方程：x=d由、得：y=(d+1)故CM=(d+1)同理：CN=(d-1)所以CM·CN=( d2-12) = d2- 1 (定值)由仿射性质，可知对于一般双曲线有CM·CN=定值再如：若C为抛物线y2=2px(p0)的对称轴所在直线上的一定点，直线CTOY轴，P为抛物线上不同于顶点O的任意一点，直线OP与CT交于M点，直线PNOx轴与CT交于N点。试证CM·CN为一定值。（图如下）本题证明由读者自行完成。三、利用仿射几何的基本性质证明一些平行问题。例：已知A、B分别为椭圆在横轴、纵轴上的顶点，C为线段AB的中点，求证过直线OC与椭圆的交点的切线平行于AB。证明： 如图，设此椭圆可以由一圆经过仿射变换T后得到，显然，在圆O中，OCAB，ODL1,OEL2所以ABL1L2因为平行性为仿射不变性，故ABL1L2即过直线OC与椭圆的交点的切线平行于AB。四、利用仿射的性质求一些轨迹的问题。例：椭圆的内接ABC，它的边BC与长轴重合，A在椭圆上运动，求ABC的重心的轨迹。解：设此椭圆可以由一圆经仿射变换T后得到，显然，在圆中，满足此条件的点的轨迹是以O为圆心，以 OA为半径所画的圆。因此，在椭圆中是以O为中心，其长、短半轴分别为原椭圆长、短半轴的的椭圆。参考文献： 仿射几何及其在初等几