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文档简介
1、第3讲 三角函数的图象与性质一、选择题1函数f(x)2sin xcos x是()A最小正周期为2 的奇函数B最小正周期为2 的偶函数C最小正周期为的奇函数D最小正周期为的偶函数解析f(x)2sin xcos xsin 2x.f(x)是最小正周期为的奇函数答案C2已知函数f(x)sin(x)cos(x)是偶函数,则的值为()A0 B. C. D.解析据已知可得f(x)2sin,若函数为偶函数,则必有k(kZ),又由于,故有,解得,经代入检验符合题意答案B3函数y2sin(0x9)的最大值与最小值之和为 ()A2 B0 C1 D1解析0x9,x,sin1,2sin2.函数y2sin(0x9)的最大
2、值与最小值之和为2.答案A4函数f(x)(1tan x)cos x的最小正周期为()A2 B. C D.解析依题意,得f(x)cos xsin x2sin.故最小正周期为2.答案A5函数ysin2xsin x1的值域为()A1,1 B.C. D.解析(数形结合法)ysin2xsin x1,令sin xt,则有yt2t1,t1,1,画出函数图像如图所示,从图像可以看出,当t及t1时,函数取最值,代入yt2t1可得y.答案C6已知>0,0<<,直线x和x是函数f(x)sin(x)图象的两条相邻的对称轴,则 ()A. B. C. D.解析由题意可知函数f(x)的周期T2×
3、2,故1,f(x)sin(x),令xk(kZ),将x代入可得k(kZ),0<<,.答案A二、填空题7定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是,且当x时,f(x)sin x,则f的值为_解析fffsin .答案8函数f(x)的最大值为M,最小值为m,则Mm_.解析(构造法)根据分子和分母同次的特点,把分子展开,得到部分分式,f(x)1,f(x)1为奇函数,则m1(M1),所以Mm2.答案29已知函数f(x)(sin xcos x)|sin xcos x|,则f(x)的值域是_解析f(x)(sin xcos x)|sin xcos x|画出函数f(x)的
4、图象,可得函数的最小值为1,最大值为,故值域为.答案10下列命题中:2k(kZ)是tan 的充分不必要条件;函数f(x)|2cos x1|的最小正周期是;在ABC中,若cos Acos B>sin Asin B,则ABC为钝角三角形;若ab0,则函数yasin xbcos x的图象的一条对称轴方程为x.其中是真命题的序号为_解析2k(kZ)tan ,而tan / 2k(kZ),正确f(x)|2cos(x)1|2cos x1|2cos x1|f(x),错误cos Acos B>sin Asin B,cos Acos Bsin Asin B>0,即cos(AB)>0,0&l
5、t;AB<,0<AB<,C为钝角,正确ab0,ba,yasin xbcos xasin xacos xasin,x是它的一条对称轴,正确答案三、解答题11. 已知函数f(x)2sinxcosx2sin2x1.(1)求函数f(x)的最小正周期及值域;(2)求f(x)的单调递增区间解 (1)f(x)sin2xcos2xsin,则函数f(x)的最小正周期是,函数f(x)的值域是.(2)依题意得2k2x2k(kZ),则kxk(kZ),即f(x)的单调递增区间是(kZ)12已知函数f(x)cos2sinsin.(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴;(2)求函数f(x)在区间上
6、的值域解(1)f(x)cos2sinsincos 2xsin 2x(sin xcos x)(sin xcos x)cos 2xsin 2xsin2xcos2xcos 2xsin 2xcos 2xsin.最小正周期T,由2xk(kZ),得x(kZ)函数图象的对称轴为x(kZ)(2)x,2x,sin1.即函数f(x)在区间上的值域为.13已知函数f(x)coscos,g(x)sin 2x.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数h(x)f(x)g(x)的最大值,并求使h(x)取得最大值的x的集合解(1)f(x)coscos·cos2xsin2xcos 2x,f(x)的最小正周期为.
7、(2)由(1)知h(x)f(x)g(x)cos 2xsin 2xcos,当2x2k(kZ),即xk(kZ)时,h(x)取得最大值.故h(x)取得最大值时,对应的x的集合为.14已知a0,函数f(x)2asin2ab,当x时,5f(x)1.(1)求常数a,b的值;(2)设g(x)f且lg g(x)0,求g(x)的单调区间解(1)x,2x.sin,又a >0,2asin2a,af(x)b,3ab,又5f(x)1,b5,3ab1,因此a2,b5.(2)由(1)得a2,b5,f(x)4sin1,g(x)f4sin14sin1,又由lg g(x)0,得g(x)1,4sin11,sin,2k2x2k,kZ,其中当2k2x
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