空间中点、直线、平面之间的位置关系

1、空间中点、直线、平面之间的位置关系一、内容归纳总结1、四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。符号语言：。公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 三个推论： 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 经过两条相交直线，有且只有一个平面 经过两条平行直线，有且只有一个平面 它给出了确定一个平面的依据。公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线）。符号语言：。公理4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。符号语言：。2、空间中直线与直线之间的位置关系1.概念 异面直线及夹角：把不在

2、任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 已知两条异面直线，经过空间任意一点O作直线，我们把与所成的角（或直角）叫异面直线所成的夹角。（易知：夹角范围） 定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。（注意：会画两个角互补的图形）2.位置关系：3、空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面的位置关系有三种：4、空间中平面与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系有两种：二、直线、平面平行的判定及其性质1.内容归纳总结（1）四个定理定理定理内容符号表示分析解决问题的常用方法直线与平面平行的判定平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行在已知平面

3、内“找出”一条直线与已知直线平行就可以判定直线与平面平行。即将“空间问题”转化为“平面问题”平面与平面平行的判定一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行判定的关键：在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”直线与平面平行的性质一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行平面与平面平行的性质如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行三、直线、平面平垂直的判定及其性质1.内容归纳总结（一）基本概念1.直线与平面垂直：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面垂直，记作。直线

4、叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面。直线与平面的公共点叫做垂足。2. 直线与平面所成的角：角的取值范围：。3.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。二面角的记法： 二面角的取值范围： ； 两个平面垂直：直二面角。（二）四个定理定理定理内容符号表示分析解决问题的常用方法直线与平面垂直的判定一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。在已知平面内“找出”两条相交直线与已知直线垂直就可以判定直线与平面垂直。即将“线面垂直”转化为“线线垂直”平面与平面垂直的判定一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面垂直。（满足条

5、件与垂直的平面有无数个）判定的关键：在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”直线与平面垂直的性质同垂直与一个平面的两条直线平行。平面与平面垂直的性质两个平面垂直，则一个平面内垂直与交线的直线与另一个平面垂直。解决问题时，常添加的辅助线是在一个平面内作两平面交线的垂线四、考点分析考点一：平面的基本性质及应用点、线共面问题的证明方法：（1）纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内。 （2）辅助平面法：先证有关点、线确定平面，再证其余点、线确定平面，最后证明平面、重合。证明多线共点问题的常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第

6、三条直线上。例1平面l，点A，点B，且Cl，C，又ABlR，如图所示，过A、B、C三点确定的平面为，则是()A直线ACB直线BCC直线CRD直线AR解析：由已知条件可知，C，ABlR，AB，R.又C，R，故CR.答案：C例2如图所示，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()AA、M、O三点共线BA、M、O、A1不共面CA、M、C、O不共面DB、B1、O、M共面解析：连接A1C1，AC，则A1C1AC，A1、C1、C、A四点共面A1C平面ACC1A1.MA1C，M平面ACC1A1.又M平面AB1D1，M为平面ACC1A1与AB

7、1D1的公共点同理OA为平面ACC1A1与平面AB1D1的公共点A、M、O三点共线. 答案：A练习：设P表示一个点，a、b表示两条直线，、表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是()Pa，Pa；abP，ba；ab，a，Pb，Pb；b，P，PPbA B CD解析：当aP时，Pa，P，但a，错；aP时，错；如图，ab，Pb，Pa，由直线a与点P确定唯一平面，又ab，由a与b确定唯一平面，但经过直线a与点P，与重合，b，故正确；两个平面的公共点必在其交线上，故正确答案：D考点二：空间两条直线的位置关系空间中，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形（梯形）中位线的性质、

8、线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质。例1正方体AC1中，E、F分别是线段BC、CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()A相交B异面C平行D垂直解析：如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交. 答案：A练习：1.若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是AA. l至少与l1，l2中的一条相交B. l与l1，l2都相交C. l至多与l1，l2中的一条相交D. l与l1，l2都不相交2.右图是正四面体凡人平面展开图，G、H、M、N分别

9、为DE、BE、EF、EC的中点在这个正四面体中：(1) GH与EF平行；(2) BD与MN为异面直线；(3) GH与MN成60角；(4) DE与MN垂直以上四个命题，正确的命题序号是：(2)(3)(4)考点三：平行关系的判断与性质证明直线与平面平行的方法：（1） 若用定义直接判断，一般用反证法。（2） 用判定定理来证明，关键是在平面内找（或作）一条直线与已知直线平行。（3） 应用两平面平行的性质，即两平面平行时，其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面。判断平面与平面平行的方法：（1） 利用定义。（2） 利用面面平行的判定定理。（3） 利用面面平行的判定定理的推论。 （4） 利用面面平行的传

10、递性 （， ，则）。（5） 利用线面垂直的性质（l丄，l丄，则）例1：若m，n为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是()A若m，n都平行于平面，则m，n一定不是相交直线B若m，n都垂直于平面，则m，n一定是平行直线C已知，互相平行，m，n互相平行，若m，则nD若m，n在平面内的射影互相平行，则m，n互相平行解析：A中，m，n可为相交直线；B正确；C中，n可以平行，也可以在内；D中，m，n也可能异面答案：B例2、设a，b表示直线，表示不同的平面，则下列命题中正确的是()A若a且ab，则bB若且，则C若a且a，则D若且，则解析：对于A选项，若a且ab，则b或b，故A选项不正确

11、；对于B选项，若且，则或与相交，故B选项不正确；对于C选项，若a且a，则或与相交，故C选项不正确排除A、B、C三选项，故选D.答案：D练习：在空间内，设l，m，n是三条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中为假命题的是()A，l，则lBl，l，m，则lmCl，m，n，lm，则lnD，则或解析：对于A，如果两个相交平面均垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，该命题是真命题；对于B，如果一条直线平行于两个相交平面，那么该直线平行于它们的交线，该命题是真命题；对于C，如果三个平面两两相交，有三条交线，那么这三条交线交于一点或相互平行，该命题是真命题；对于D，当两个平面同时垂直于第三个

12、平面时，这两个平面可能不垂直也不平行，D不正确答案：D考点四：垂直关系的判断与性质例1：1设，为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是()A若，n，mn，则mB若m，n，mn，则nC若n，n，m，则mD若m，n，mn，则解析：与，两垂直平面的交线垂直的直线m，可与平行或相交，故A错；对B，存在n情况，故B错；对D，存在情况，故D错；由n，n，可知，又m，所以m，故C正确答案：C例2：如图，在四面体DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中点，则下列正确的是()A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BDCC平面ABC平面BDE，且平面ADC平面BDED平面ABC平面ADC，且

13、平面ADC平面BDE解析：因为ABCB，且E是AC的中点，所以BEAC，同理有DEAC，于是AC平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC平面BDE.又由于AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE，所以选C.答案：C例3、如图所示，直线PA垂直于O所在的平面，ABC内接于O，且AB为O的直径，点M为线段PB的中点现有结论：BCPC；OM平面APC；点B到平面PAC的距离等于线段BC的长其中正确的是() ABCD解析：对于，PA平面ABC，PABC.AB为O的直径，BCAC.BC平面PAC.又PC平面PAC，BCPC；对于，点M为线段PB的中点，OMPA.PA平面PAC，OM平面PAC；

14、对于，由知BC平面PAC，线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故都正确答案：B练习：如图，PA圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论：AFPBEFPBAFBCAE平面PBC.其中正确结论的序号是_解析：由题意知PA平面ABC，PABC.又ACBC，PAACA，BC平面PAC.BCAF.AFPC，BCPCC，AF平面PBC，AFPB. 又AEPB，AEAFA，PB平面AEF.PBEF.故正确答案：考点五：线面角、二面角的求法求直线与平面所成的角的一般步骤：通过找直线在平面上的投影来完成；把直线与平面所成的角转化到一 个三角形中

15、求解。作二面角的平面角可以通过垂线法得到，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的 棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角。例1 如图，在四棱锥PABCD中，ADBC，ABAD，ABPA，BC2AB2AD4BE，平面PAB平面ABCD，(1)求证：平面PED平面PAC；(2)若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，求二面角APCD的平面角的余弦值解析：(1)如图所示，取AD的中点F，连接BF，则FD綊BE，所以四边形FBED是平行四边形，所以FBED.因为RtBAF和RtCBA中，2，所以RtBAFRtCBA，易知BFAC，所以EDAC.又因为平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，ABPA，所以PA平面ABCD，ED平面ABCD，所以PAED，因为P