组合是一种重要的创造技法《孙子兵法》中的一段话,可以

1、1 组合是一种重要的创造技法。组合是一种重要的创造技法。孙子兵法中的一段话，可以说孙子兵法中的一段话，可以说是对组合的创造性最精辟的描述：是对组合的创造性最精辟的描述：“声不过五，五声之变，不可胜听声不过五，五声之变，不可胜听也；色不过五，五色之变，不可胜也；色不过五，五色之变，不可胜观也；味不过五，五味之变，不可观也；味不过五，五味之变，不可胜尝也；战事不过奇正，奇正之变，胜尝也；战事不过奇正，奇正之变，不可胜穷也不可胜穷也”。2 设有一变力设有一变力F(x) 随位移随位移x 而变，而变，求它把物体由求它把物体由 a 移动到移动到 b 所作的功。所作的功。sFW恒力作功：恒力作功： 取取 x

2、 为积分变量，它的变化区间为为积分变量，它的变化区间为a,b ,在此区间上任取在此区间上任取 小区间小区间x, x +dx,在此小区间上变力所作的功近似等于以在此小区间上变力所作的功近似等于以 x 点的点的 力为恒力所作的功，力为恒力所作的功，这个小区间功的近似值即为这个小区间功的近似值即为。即即功元素为功元素为: dxxFdW)(于是所求的于是所求的功为功为: badxxFW)(Oaxx+dxb x F(x)3 在计算电场中某点的电位时，要计算将单位正电荷从该点在计算电场中某点的电位时，要计算将单位正电荷从该点 处（处（r =a）移到无穷远处时电场力所作的功。移到无穷远处时电场力所作的功。

3、解：解：任一点任一点r处单位点电荷受到的电场力为：处单位点电荷受到的电场力为： 2rqkF 在在 b,a上任取小区间上任取小区间 ,drr , r则则功元素功元素为为: drrkqdW2所以电场力所作的所以电场力所作的功功为为： bakqrkqdrrkqWbaba1112电荷从电荷从 r =a 沿沿 r 轴移动到轴移动到 r =b 时，求电场力对它所作的功。时，求电场力对它所作的功。 把一个带把一个带 +q 电量的点电荷放在电量的点电荷放在r 轴上坐标原点轴上坐标原点 O 处，处， 有一个单位正电荷放在距离原点有一个单位正电荷放在距离原点 O 为为r 的地方，当这个单位正的地方，当这个单位正

4、例例1 1 由物理学知：由物理学知： 221rQQkF q1ORabrr+dr4例例2 在底面积为在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量气体。在等的圆柱形容器中盛有一定量气体。在等 推移到点推移到点 b 处，计算在移动过程中，气体压力所作的功。处，计算在移动过程中，气体压力所作的功。 温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞从点温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞从点 a 处处处处的的电电位位称称为为电电场场中中 aakqxkqdxxkqVaa2 先利用题设把力表示为先利用题设把力表示为 x 的函数的函数 解解 由物理学知道，由物理学知道， 一定量的气体在等温条件下，一定量的气体

5、在等温条件下， 压强压强 p 与体积与体积V 成反比，成反比， 即即VkP 因为因为 xSV 所以所以 xSkP S SOabx5pSF 当活塞离当活塞离O点点 x 处，气体处，气体 作用在活塞上的力为作用在活塞上的力为 SxSk xk 故所求的功为故所求的功为 badxxkW ablnkabxlnk 功元素为功元素为 在在 b,a上任取小区间上任取小区间 ,dxx,x dxxkdW Oadxx bxxS6的水全部吸出至少需作多少功？的水全部吸出至少需作多少功？ 例例3 3* * 一圆柱形的贮水桶高为一圆柱形的贮水桶高为 Hm，底圆底圆 半径为半径为Rm，桶内盛满了水，试问要把桶内桶内盛满了水

6、，试问要把桶内 把一个重量为把一个重量为 G的物体提高高度为的物体提高高度为 h， 最少需作的功是：最少需作的功是： GhW 分析分析: 于是所求的功为：于是所求的功为： )(105708. 1102224422JHRHR OHxx+dxR在在0，H上任取小区间上任取小区间x,x+dx 得功元素：得功元素： xdxRxdxRgdW24210 建立坐标系如图：建立坐标系如图： 水的密度水的密度 为为10103 3kg/mkg/m3 3重力加速度重力加速度g取取1010m/sm/s2 2较原例题稍有变化较原例题稍有变化HHxRxdxRW022402421010 解解 7例例4 用铁锤将一铁钉击入木

7、板，设木板对铁钉的阻力与铁钉用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉 击入木板的深度成正比，在击第一次时，将铁钉击入击入木板的深度成正比，在击第一次时，将铁钉击入 1 厘米，如厘米，如 果铁锤每次打击铁钉所做的功相等，问铁锤打击第二次时，铁钉果铁锤每次打击铁钉所做的功相等，问铁锤打击第二次时，铁钉 又击入多少？又击入多少？ 解解则功元素为则功元素为 第一次所做的功第一次所做的功 kxf （其中（其中 为比例系数）为比例系数） k在在 上任取小区间上任取小区间 1 , 0,dxxxkxdxdW xdxx .2110101kkxdxdWW建立坐标系如图建立坐标系如图:由于铁钉受到的阻力与其

8、进入木板由于铁钉受到的阻力与其进入木板 为为时，时，所受到的阻力为所受到的阻力为 x的深度成正比，当铁钉进入木板的深度的深度成正比，当铁钉进入木板的深度 1O x8则第二次所做的功为则第二次所做的功为 第二次锤击时又击入第二次锤击时又击入 ,hcm.221211112hhkkxdxdWWhh,21WW .221212hhkk解得：解得： .21h舍去负值，舍去负值， 则则 . 12 h9 y = f (x) a O b x x+dx x y 由物理学知道，一面积为由物理学知道，一面积为A 的平板的平板 水平地放置在液体深为水平地放置在液体深为h处，平板处，平板一侧一侧 所受液体的压力为：所受液

9、体的压力为： 是是液液体体的的密密度度。处处的的压压强强，是是液液体体深深为为其其中中， hpgAhpAP 如右图垂直放在液体中的薄板，如右图垂直放在液体中的薄板，取深度取深度x为积分变量，它的变化区间为积分变量，它的变化区间 为为 a,b ，在在 a,b 上取代表区间上取代表区间 x，x+dx , ,可以得到相应小窄条薄可以得到相应小窄条薄 板板一侧一侧受到的液体压力元素：受到的液体压力元素： dxxfxgdP)( badxxgxfP 10例例5 5 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛 有半桶水。设桶的底半径为有半桶水。设桶的底半径为 R ，水的比重水的比重 为为

10、, 计算桶的一个端面所受水的压力。计算桶的一个端面所受水的压力。 解解:建立如图所示的坐标系，建立如图所示的坐标系， 则圆的方程为：则圆的方程为： x 2+ y 2= R 2水桶相应于这一小区间的窄条所受水桶相应于这一小区间的窄条所受 水的压力的近似值即压力元素为水的压力的近似值即压力元素为 在在OX轴上任取小区间轴上任取小区间x,x+dx, 处处的的压压强强）为为水水深深（xgxdxxRgxdP 222OXYx x+dx R11于是所求水的压力为：于是所求水的压力为：RdxxRgxP0222 302322022212232)(32)()(gRxRgxRdxRgRR 水的密度水的密度10103

11、 3kg/mkg/m3 3在统一量纲计在统一量纲计算时，值为算时，值为1. 1.12补充例题：补充例题： 设有一长为设有一长为 l，质量为质量为M的均匀细杆，另有一质量为的均匀细杆，另有一质量为m的的质质点点与细杆在同一条直线上，它到杆的近端距离为与细杆在同一条直线上，它到杆的近端距离为a，计算细计算细杆对质点的引力。杆对质点的引力。解解: :建立坐标系如图。建立坐标系如图。 以以 x 为积分变量，在为积分变量，在0,l上上 取小区间取小区间x，x+dx,相应于这段杆长为相应于这段杆长为dx, ,dxlM质量为质量为且看作集中在且看作集中在 x 点处。由万有引力公式：点处。由万有引力公式： d

12、xaxlMGmdF2)(元元素素是是：小小段段细细杆杆对对质质点点的的引引力力mOxxx+dxal从物理学知道，质量分别为从物理学知道，质量分别为 相距为相距为 的两质点间的两质点间 的引力的大小为：的引力的大小为： (其中其中G 为引力常数）为引力常数） 21,mmr221rmmGF 13.)(1)(1)(00202alaGmMaxlGmMdxaxlGmMdxaxlMmGFlll力力为为：所所以以，细细杆杆对对质质点点的的引引 这是一种较为简单的情况，如果质点与细杆不在一条这是一种较为简单的情况，如果质点与细杆不在一条直线直线上，上，则必须将引力分解为水平和垂直两个方向分力，然后分别则必须将

13、引力分解为水平和垂直两个方向分力，然后分别相加。相加。14建立如图所示的坐标系建立如图所示的坐标系, 解解线密度为线密度为 的均匀细直棒，在其中的均匀细直棒，在其中 例例6 6 a垂线上距棒垂线上距棒 单位处有一质量为单位处有一质量为 的质点的质点 试计算该棒对质试计算该棒对质 点的引力。点的引力。 , l m,M设有一长度为设有一长度为 在区间在区间 上任取一小区间上任取一小区间 在这个小区间的一段细棒看成是质点，在这个小区间的一段细棒看成是质点， 它对于质点它对于质点 的引力（即引力元素）为：的引力（即引力元素）为： 2,2ll,dyyyM22yadymGdF 在水平方向的分力的大小为：在

14、水平方向的分力的大小为： dFdyyamaGyaadFdFx232222 yydyy dFxO2l2lMa15故细棒对质点的引力在水平方向的故细棒对质点的引力在水平方向的由于对称性，引力在铅直方向的分力为：由于对称性，引力在铅直方向的分力为： 分力的大小为分力的大小为xFyydyy dFxO2l2lMa22232222llllxxdyyamaGdFF 22412laamlG （方向由（方向由 指向原点指向原点 ） MO.0yF当细棒的长度很大时，可视为当细棒的长度很大时，可视为 l趋于无穷，此时引力大小趋于无穷，此时引力大小 amGF 2方向与细棒垂直，且由方向与细棒垂直，且由 指向细棒。指向

15、细棒。 M161 1、n 个数的算术平均值：个数的算术平均值： 设有设有n个数个数y1， y2， yn 个数的算术平均值。个数的算术平均值。为这为这称称nynynii112 2、函数、函数 y = f (x)在区间在区间a,b上的平均值的定义：上的平均值的定义： 把区间把区间 a,b 分成分成 n 等分，每个小区间的长度为等分，每个小区间的长度为在每个小区间内取一点在每个小区间内取一点xi，其相应的函数值为其相应的函数值为 f ( xi ).,1)()()(121上上平平均均值值的的近近似似值值是是函函数数在在区区间间则则：baxfnnxfxfxfniin,nab17 baniiixniinn

16、iinniinniindxxfabxxfabnabxfabxfnababxfnxfni1)(lim1 )(lim1)(1lim )(1lim)(1lim 101111 但但是是，分法越细，近似值的精确度越高分法越细，近似值的精确度越高。当分法无限变细的时候，当分法无限变细的时候，上上的的平平均均值值。在在区区间间就就是是函函数数baxfxfnniin,)()(1lim1niinxfnxf1)(1lim)( 即：即：badxxfabxf)(1)(babadxxfaby)(1,也可记作：也可记作：18 可以看出：可以看出：平均值平均值的表达式的表达式 正是定积分的中值正是定积分的中值定理中的定理中

17、的 f( ). 见右图见右图. .O x y f( ) y=f(x)ab 例例1 1 求从求从0 0到到 T 秒这段时间内，自由落体运动的平均速度。秒这段时间内，自由落体运动的平均速度。 解：解：平均速度就是速度函数的平均值。平均速度就是速度函数的平均值。 自由落体运动的速度自由落体运动的速度 v = gt gTgtTgtdtTvTT212101020所以：所以： baabfdxxfba 使使得得 ,ba ,baCxf badxxfabf1 19例例2 计算纯电阻电路中正弦交流电计算纯电阻电路中正弦交流电在一个周期上在一个周期上 的功率的平均值（简称平均功率）。的功率的平均值（简称平均功率）。

18、 tIim sin则功率在一个周期的区间则功率在一个周期的区间 上的平均值为上的平均值为 2, 0 20222022)(sin2sin021ttdRItdtRIpmm解解 设电阻为设电阻为 R，那么电路中的电压为：那么电路中的电压为： 从而功率：从而功率： tRIiUpm 22sintRIiRUm sin）（其中，（其中，RIUUIRIRIttRItdtRImmmmmmmm 2122422sin4)()2cos1(422202202 20称称。 等于取固定值等于取固定值 I 的恒定电流在的恒定电流在 R 上消耗的功率时，上消耗的功率时， 当当 i(t) 在它的一个周期在它的一个周期 T 内在负载电阻内在负载电阻 R 上消耗的平均上消耗的平均 1 1、周期性非恒定电流、周期性非恒定电流 i(t) 的有效值的定义的有效值的定义 功率，功率，212 2、周期性非恒定电流、周期性