简单的线性规划问题(用)

1、 某工厂用某工厂用A A、B B两种配件生产甲、乙两种产品两种配件生产甲、乙两种产品, ,每生产一件每生产一件甲产品使用甲产品使用4 4个个A A配件耗时配件耗时1h, 1h, 每生产一件乙产品使用每生产一件乙产品使用4 4个个B B配配件耗时件耗时2h,2h,该厂每天最多可从配件厂获得该厂每天最多可从配件厂获得1616个个A A配件和配件和1212个个B B配配件件, ,按每天工作按每天工作8 8小时计算小时计算, ,该厂所有可能的日生产安排是什么该厂所有可能的日生产安排是什么? ?把有关数据列表表示如下把有关数据列表表示如下: :821所需时间所需时间1240B种配件种配件1604A种配件

2、种配件资源限额资源限额 乙产品乙产品 (1件件)甲产品甲产品 (1件件)资资 源源消消 耗耗 量量产品产品设甲、乙两种产品分别生产设甲、乙两种产品分别生产x x、y y件件. .oxy246824280 xy 4x 3y 28,416,412,0,0.xyxyxy 设甲、乙两种产品分别生产设甲、乙两种产品分别生产x x、y y件件, ,由己知由己知条件可得二元一次不等式组：条件可得二元一次不等式组：oxy24682428,416,412,0,0.xyxyxy 设甲、乙两种产品分别生产设甲、乙两种产品分别生产x x、y y件件, ,由己知由己知条件可得二元一次不等式组：条件可得二元一次不等式组：

3、280 xy 4x 3y oxy246824280 xy 4x 3y 若生产一件甲产品获利若生产一件甲产品获利2 2万元万元, ,生产一件乙产品生产一件乙产品获利获利3 3万元万元, ,采用哪种生产安排利润最大采用哪种生产安排利润最大? ? 设生产甲产品设生产甲产品 件，乙产品件，乙产品 件时，工厂获得件时，工厂获得的利润为的利润为 ，则，则 .xyz23zxy230 xy MABN线性约线性约束条件束条件线性目线性目标函数标函数28,416,412,0,0.xyxyxy 23zxy 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题, ,统称

4、为统称为线性规划问题线性规划问题. . 不等组（不等组（1 1）是一组对变量）是一组对变量 的约束条件，这组约束条的约束条件，这组约束条件都是关于件都是关于 的一次不等式，的一次不等式，所以又称为所以又称为线性约束条件线性约束条件. .、x y、x y 函数函数 称为目标函称为目标函数数, ,又因这里的又因这里的 是是关于变量关于变量 的一次解析式的一次解析式, ,所以又称为所以又称为线性目标函数线性目标函数. .23zxy 23zxy 、x y可行域可行域可行解可行解最优解最优解oxy246824280 xy 4x 3y 230 xy M 由所有可行解组由所有可行解组成的集合叫做成的集合叫做

5、可行域可行域. . 使目标函数取得使目标函数取得最大值或最小值的可最大值或最小值的可行解叫做线性规划问行解叫做线性规划问题的题的最优解最优解. . 满足线性约束条满足线性约束条件的解件的解 叫做叫做可行解可行解. .( ,)x y解决线性规划问题的步骤解决线性规划问题的步骤：第一步：画根据约束条件画出可行域；第二步：作过原点作目标函数直线的平行直线L0第三步：移平移直线L0，找出与可行域有公共 点且纵截距最大或最小的直线，确定可行 域内最优解。第四步：求解有关方程组，求出最优解，将最 优解代入目标函数求最值。280 xy 4x 3y Moxy246824N28 ,41 6 ,41 2 ,0 ,

6、0 .xyxyxy 在线性约束条件在线性约束条件 下，下，求（求（1 1）目标函数）目标函数 的最大值；的最大值； （2 2）目标函数）目标函数 的最大值和最小值的最大值和最小值. .2zxy zxy20 xy0 xyAB 求求z=2x-yz=2x-y最大值与最小值最大值与最小值 。设设x,y满足约束条件：满足约束条件：作可行域（如图）因此z在A（2，-1）处取得最大值，即Zmax=22+1=5；在B（-1，-1）处取得最小值，即Zmin=2（-1）-（-1）=-1。由z=2x-y得y=2x-z,因此平行移动直线y=2x，若直线截距-z取得最大值，则z取得最小值；截距-z取得最小值，则z取得最

7、大值.综上,z最大值为5；z最小值为-1.举一反三举一反三x-y0 x+y-1 0y -1解：y=-1x-y=0 x+y=1(-1,-1)xy011A AB BC（2，-1）y=2x 求求z=-x-yz=-x-y最大值与最小值最大值与最小值 。设设x,y满足约束条件：满足约束条件：作可行域（如图）因此z在B（-1，-1）处截距-z取得最小值，z取得最大值即Zmax=2；在边界AC处取得截距-z最大值，z取得最小值即Zmin=-2-（-1）=-1。由z=-x-y得y=-x-z,因此平行移动直线y=-x，若直线截距-z取得最大值，则z取得最小值；截距-z取得最小值，则z取得最大值.变式演练变式演练

8、x-y0 x+y-1 0y -1解：y=-1x-y=0 x+y=1(-1,-1)xy011A AB BC（2，-1）y=-x例例1.1.营养学家指出营养学家指出, ,成人良好的日常饮食应该至少提供成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg0.075kg的碳水化合物的碳水化合物,0.06kg,0.06kg的蛋白质的蛋白质,0.06kg,0.06kg的脂肪的脂肪.1kg.1kg食物食物A A含有含有0.105kg0.105kg碳水化合物碳水化合物,0.07 kg,0.07 kg的蛋白质的蛋白质, 0.14kg, 0.14kg的脂肪的脂肪, ,花费花费2828元元; ;而而1kg1kg食物食物B

9、B含有含有0.105kg0.105kg碳水化合物碳水化合物,0.14 kg,0.14 kg的蛋白质的蛋白质, , 0.07kg0.07kg的脂肪的脂肪, ,花费花费2121元元. .为了满足营养学家指出的日常饮食要为了满足营养学家指出的日常饮食要求求, ,同时使同时使花费花费最低最低, ,需要同时食用需要同时食用食物食物A A和食物和食物B B多少多少kgkg? ?分析分析: :将已知数据列成下表将已知数据列成下表0.070.140.1050.140.070.105BA脂肪脂肪/kg蛋白质蛋白质/kg碳水化合物碳水化合物/kg食物食物/kg解解:设每天食用设每天食用xkg食物食物A, ykg食

10、物食物B, 总成本为总成本为z元元. 那么那么x,y满足的约束条件是满足的约束条件是:0 1050 1050 0750 070 140 060 140 070 06 00.x.y.,.x.y.,.x.y.,x,y.目标函数为目标函数为z=28x+21y . 0, 0 , 6714, 6147, 577yxyxyxyx二元一次不等式组二元一次不等式组等价于等价于作出二元一次不等式组作出二元一次不等式组所所表示的平面区域，即可行域表示的平面区域，即可行域. . 775xy1476xy7146xy42821321zzxyyx 可化为34 这是斜率为这是斜率为 、在、在y轴上的截距为轴上的截距为 的一

11、组平行直线的一组平行直线. .21zxyo737475761737576由图知由图知,当直线当直线经过可行域上点经过可行域上点M时时,截距截距21z最小最小, 即即z最小最小.解方程组解方程组7751476xy,xy, 得得M的坐标为的坐标为14()77,.所以所以zmin=28x+21y=16.答：每天食用食物答：每天食用食物A约为约为143g，食物，食物B约约571g，能够满足日，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元元.4321zyx 775xy1476xy7146xyxyo737475761737576M线性目标函数的最线性目标函数的最

12、大（小）值一般在大（小）值一般在可行域的顶点处取可行域的顶点处取得，也可能在边界得，也可能在边界处取得处取得.解线性规划应用问题的步骤：解线性规划应用问题的步骤： （3）移移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；或最小的直线； （4）求求：通过解方程组求出最优解；：通过解方程组求出最优解； （5）答答：作出答案。：作出答案。 （1）列列：设出未知数：设出未知数,列出约束条件列出约束条件,确定目标函数；确定目标函数；（2）画画：画出线性约束条件所表示的可

13、行域；：画出线性约束条件所表示的可行域；注：注：1.线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得。点处取得，也可能在边界处取得。2.求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义所表示的几何意义 在在 y 轴上的截距或其相反数。轴上的截距或其相反数。小结小结例例2.要将两种大小不同的钢板截成要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示321第二种钢板第二种

14、钢板112第一种钢板第一种钢板C规格规格B规格规格A规格规格钢板类型钢板类型规格类型规格类型今需今需A、B、C三种规格的成品分别三种规格的成品分别15，18，27块，则使用块，则使用钢板张数最少为多少？钢板张数最少为多少？21521832700 xyxyxyxy解：解：设需截第一种钢板设需截第一种钢板x张，第二种钢板张，第二种钢板y张，共需要张，共需要z张，张，则目标函数为：则目标函数为：z=x+y，且，且( ,)x yZ2x+y=15x+2y=18x+3y=27xyO4812162048121620242830作出可行域，如下图，作出可行域，如下图，把把z=x+y化为化为y=-x+z，这是斜

15、率为这是斜率为-1，在，在y轴上的截距为轴上的截距为z的一组平行直线，的一组平行直线，y=-xM如图可知，当直线如图可知，当直线y=-x+z经过可行域上的整点经过可行域上的整点A(4，8)，B(3，9)时，直线在时，直线在y轴上的截距轴上的截距z最小最小zmin=12答：略。答：略。B(3,9)A(4,8)在可行域内找出最优解、线性规划整数解问题的一般在可行域内找出最优解、线性规划整数解问题的一般方法是：方法是：1.若区域若区域“顶点顶点”处恰好为整点，那么它就是最优解；处恰好为整点，那么它就是最优解；（在包括边界的情况下）（在包括边界的情况下）2.若区域若区域“顶点顶点”不是整点或不包括边界

16、时，应先求出不是整点或不包括边界时，应先求出该点坐标，并计算目标函数值该点坐标，并计算目标函数值Z，然后在可行域内，然后在可行域内适适当放缩目标函数值，使它为整数，且与当放缩目标函数值，使它为整数，且与Z最接近，最接近，在在这条对应的直线中，取可行域内整点，如果没有整点这条对应的直线中，取可行域内整点，如果没有整点，继续放缩，直至取到整点为止。，继续放缩，直至取到整点为止。3.在可行域内找整数解，一般采用平移找解法，即在可行域内找整数解，一般采用平移找解法，即打网打网格、找整点、平移直线、找出整数最优解格、找整点、平移直线、找出整数最优解不等式组不等式组 表示的平面区域内的表示的平面区域内的整数点整数点共有共有（ ）个）个123400yxyx巩固练习巩