二次函数综合题

1、第13讲二次函数综合题1(2019·烟台)如图1，抛物线yax22xc与x轴交于A(4，0)，B(1，0)两点，过点B的直线ykx分别与y轴及抛物线交于点C，D.(1)求直线和抛物线的表达式；(2)动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；(3)如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DMMN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由图1 图2解：(1

2、)把A(4，0)，B(1，0)代入yax22xc，得解得抛物线的解析式为yx22x.直线ykx过点B，将B(1，0)代入ykx，得k，直线BD的解析式为yx.(2)t的值为或或.(3)存在由题意知，直线EF的解析式为yx，抛物线的对称轴为直线x.在抛物线上取点D的对称点D，过点D作DNEF于点N，交抛物线的对称轴于点M，图2过点N作NHDD于点H，此时，DMMNDN最小，此时，EOFNHD.设点N的坐标为(a，a)，即，解得a2，则N点坐标为(2，2)由D(2，4)，N(2，2)可求得直线ND的解析式为yx1.当x时，y，M点坐标为(，)，此时，DMMN的最小值为2.2(2019·衡

3、阳)如图，已知直线y2x4分别交x轴，y轴于点A，B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PCx轴于点C，交抛物线于点D.(1)若抛物线的解析式为y2x22x4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N.求点M，N的坐标；是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；(2)当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B，P，D为顶点的三角形与AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由解：(1)如解图1.图1y2x22x42(x)2，顶点M的坐标为(，)当x时，y2×43，则点N的坐标为(，3)；不存在理由如下：MN3，设P点的坐标为(m

4、，2m4)，则D(m，2m22m4)，PD2m22m4(2m4)2m24m.PDMN，当PDMN时，四边形MNPD为平行四边形，即2m24m，解得m1(舍去)，m2，此时P点的坐标为(，1)PN，PNMN，平行四边形MNPD不为菱形，不存在点P，使四边形MNPD为菱形(2)存在如解图2，OB4，OA2，则AB2，图2当x1时，y2x42，则P(1，2)，PB.设抛物线的解析式为yax2bx4，把A(2，0)代入，得4a2b40，解得b2a2，抛物线的解析式为yax22(a1)x4.当x1时，yax22(a1)x4a2a242a，则D(1，2a)，PD2a2a.DCOB，DPBOBA.当AOBB

5、DP90°时，PDBBOA，即，解得a2，此时抛物线的解析式为y2x22x4；当AOBDBP90°时，PDBBAO，即，解得a，此时抛物线的解析式为yx23x4.综上所述，满足条件的抛物线的解析式为y2x22x4或yx23x4.3(2019·怀化)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax22xc与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式；(2)请在y轴上找一点M，使BDM的周长最小，求出点M的坐标；(3)试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形

6、？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由 备用图解：(1)设抛物线的解析式为ya(x1)(x3)，即yax22ax3a，2a2，解得a1，抛物线的解析式为yx22x3.当x0时，yx22x33，则C(0，3)设直线AC的解析式为ypxq，把A(1，0)，C(0，3)代入，得解得直线AC的解析式为y3x3.(2)yx22x3(x1)24，顶点D的坐标为(1，4)作B点关于y轴的对称点B，连接DB交y轴于点M，如解图1，则B(3，0)图1 图2MBMB，MBMDMBMDDB，此时MBMD的值最小，而BD的值不变，此时BDM的周长最小由D(1，4)，B(3，0)易得直线DB的解析式

7、为yx3.当x0时，yx33，点M的坐标为(0，3)(3)存在过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如解图2.直线AC的解析式为y3x3，直线PC的解析式可设为yxb.把C(0，3)代入，得b3，直线PC的解析式为yx3.联立解得或则此时P点坐标为(，)过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为yxb，把A(1，0)代入，得b0，解得b，直线PC的解析式为yx.联立解得或则此时P点坐标为(，)综上所述，符合条件的点P的坐标为(，)或(，)4(2019·扬州)如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，6)点P从点O出发，沿OA以每秒1个单

8、位长度的速度向点A运动，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止设运动时间为t秒图1 图2(1)当t2时，线段PQ的中点坐标为_；(2)当CBQ与PAQ相似时，求t的值；(3)当t1时，抛物线yx2bxc经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示则该抛物线上是否存在点D，使MQDMKQ？若存在，求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)(，2)(2)当点P与点A重合时运动停止，且此时以点P，A，Q为顶点的图形不能构成三角形，0t3.四边形OABC是矩形，BPAQ90°.当CBQ与PAQ相似时，存在两种

9、情况：当PAQQBC时，整理得4t215t90，解得t13(舍去)，t2.当PAQCBQ时，整理得t29t90，解得t.7，t不符合题意，舍去，t.综上所述，当CBQ与PAQ相似时，t的值是或.(3)当t1时，P(1，0)，Q(3，2)，把P(1，0)，Q(3，)代入抛物线yx2bxc中，得解得抛物线的解析式为yx23x2(x)2，顶点K(，)Q(3，2)，M(0，2)，MQx轴当点D在点M的上方时，作抛物线的对称轴，交MQ于点E，如解图1，KMKQ，KEMQ，MKEQKEMKQ，MQDMKQQKE.设DQ交y轴于点H，HMQQEK90°，KEQQMH，即，MH2，H(0，4)由H(0，4)，Q(3，2)，易得直线HQ的解析式为yx4.联立即x23