弹塑性力学理论及其在工程上的应用

1、弹塑性力学理论及其在工程上的应用之宇文皓月创作摘要：弹塑性力学理论在工程中应用十分的广泛，是工程中分 析问题的一个重要手段，本文首先是对弹塑性力学理论进行了 论述，然后讨论了它在工程上面的应用。 关键词：弹塑性力学；工程；应用第一章 弹塑性力学的基本理论（一）应力理论1、应力和应力张量在外力作用下，物体将发生应力和变形，即物体中诸元素 之间的相对位置发生变更，由于这种变更，便发生了企图恢复 其初始状态的附加相互作用力。用以描述物体在受力后任何部 位的内力和变形的力学量是应力和应变。本章将讨论应力矢量 和某一点处的应力状态。为了说明应力的概念，假想把受一组 平衡力系作用的物体用一平面 A分成A和

2、 B两部分（图1.1）。如将B部分移去，则 B对A的作用应代之以B部分对A部分的 作用力。这种力在 B移去以前是物体内 A 与B之间在截面C的内力，且为分布力。 如从C面上点P处取出一包含P点在内的微小面积元素 S，而 S上的内力矢量为 F，则内力的平均集度为 F / S，如令S无限缩小而趋于点 P,则在内力连续分布的条件下F / S趋于一定的极限 0,即2、二维应力状态与平面问题的平衡微分方程式上节中讨论应力概念时，是从三维受力物体出发的，其中点 P是从一个三维空间中取出来约点。为简单起见，首先讨论平 面问题。掌提了平面问题以后.再讨论空间问题就比较容易 了。当受载物体所受的面力和体力以及其

3、应力都与某一个坐标轴 （例如z轴）无关。平面问题又分为平面应力问题与平面应变问 题。（1）平面应力问题巧z图如果考虑如图所示物体是一个很薄的 平板，荷载只作用在板边，且平行于板面，上 xy平面，z方向的体力分量z及面力分量 为零，则板面上（Z/2处）应力分量为2.2平面应力问题因板的厚度很小，外荷载又沿厚度均匀分布， 所以可以近似地认为应力沿厚度均匀分布。由此， 在垂直于z轴的任一微小面积上均有z 0 ,zxzy 0根据切应力互 等定理，即应力 张量的对 称性，必定有如果Z方向的尺寸为有限量，仍假设z 0 , zx zy 0 ,且认为x , y和xy( yx)为沿厚度的平均值，则这类问题称为广

4、 义平面应力问题。(2) 平面应变问题如果物体纵轴方向(0Z坐标方向)的尺寸很长，外荷载及体 力为沿z轴均匀分布地作用在垂直于 oz方向，如图1.4所示的水 坝是这类问题的典型例子。忽略端部效应，贝V因外载沿z轴方向为一常数，因而可以认为，沿纵轴方向各点的位移与所在z方向的位置无关变问题z方向各点的位移均相同。 令u、v、w分别暗示一点在x、y、z坐标方向的位移分量，则 有W为常数。等于常数的位移 W其实不陪伴发生任一 xy平面的翘 曲变形，故研究应力、应变问题时，可取 w 0。此外，由于物 体的变形只在xy平面内发生，因此w与z无关。故对于平面应变 状态有由对称条件可知，在xy平面内xz(

5、zx)和yz( zy)恒等于零，但因z方向对变形的约束，故 z一般其实不 为零，所以其应力张量为实际上z其实不是独立变量，它可通过 x和y求得，因此不管是平面应变问题还是平面应力问题，独立的应力分量仅有3个，即x、 y和xy (二yx)，对于平面应变问题的求解，可不考（3）平衡微分方程物体在外力作用下处于平衡状态时，由各点应力分量与体 力分量之间的关系所导出的方程称为平衡微分方程。如图所示 的平面应力问题，除面力外，在这个微单元体上还有体力的作 用单位体积的体力在二个坐标轴上的投影为X,Y 而固体的质量密度为 。自弹性体内任一点 P 处附近截取一单元体，a b图 1.4 平面应力状态微元体的应

6、 力它在x , y方向的尺寸分别为dx和dy。为了计算方便，在z 方向取单位长度，如图 b 所示。该单元体受有其相邻部分对它 作用的应力和单元体的体力。由于在一般情况下应力分量是位 置坐标的函数，因此在单元体左、右或上、下两对面上的应力 不相等，而具有一微小的增量。若作用于 ab 上的正应力和剪应 力分别为 x ，则作用于 cd 面上的正应力应随之变更。该变更可 根据 Taylor 级数展开，即 由于 ab,cd 线元上的应力分量均可用相应线元中点处的应力分 量暗示，以及略去二阶以上的微量后，由上式得 cd 边上的正应 力为同理，如 ab 边上的切应力为 xy， ad 边上的正应力和切应 力分

7、别为 y， yx 可得 cd 边上的切应力及 bc 边的应力分量可类推分别得微单元体在面力及体力作用下处于平衡，必须满足静力平 衡的三个方程式。如果考虑到质点运动，而依照牛顿第二定 律，方程式的右边还应包含这个微单元体的质量与加速度在该 坐标轴上的投影的乘积（即惯性力的投影）。（4）一点的应力状态所谓一点的应力状态是指受力变形物体内一点的分歧截面 上的应力变更的状况。现以平面问题为例说明一点处应力状态。在受力物体中取一个如图1.5所示的微小三角形单元，其中AC，AB与坐标轴x,y重合，而BC的外法线与zZ轴成 角已知，贝U BC面上的正应力x，和切应力'可xy取坐标x',y&#

8、39;，使BC的外法线方向与x'方向重合（如图1.5）。如果暗示。因 角的任意性，若BC面趋于点A时，则可认为求得了描绘过点4处的应力状态的表达式。” L 实际上，这里所讨论的问题是一点处分歧方向的面上的应 力的转换，即BC面无限趋于点A时，该面上的应力如何 用与原坐标相平行的面上的应力来暗示。在这种问题的分 析中，可不必引入应力增量和体力，因为它们与应力相比 属于小量。第二章 弹塑性力学在工程上的应用弹性和塑性理论是现代固体力学的分支，弹性和塑性理论的 任务，一般就是在实验所建立的关于资料变形的力学基础上， 用严谨的数学方法来研究各种形状的变形固体在外荷载作用下 的应力、应变和位移。

9、弹塑性理论研究的对象是弹性体，指的 是一种物体在每一种给定的温度下，存在着应力和应变的单值 关系，与时间无关。通需这一关系是线性的，当外力取消后， 应变即行消失，物体能够恢复原来的状态。同时物体内的应力 也完全消失。弹塑性理论在工程上有着广泛的应用，经常结合有限元软件 分析结构及杆件发生的内力、位移、变形等判断结构是否满足 平安性，耐久性等其他方面的要求。 （一）弹塑性力学在资料上的应用 1、三轴围压下砂浆弹塑性损伤变形的研究水泥砂浆可以视为无粗骨料的混凝土，在工程上有着广泛 的应用，其力学性能的研究也得到广泛的关注。砂浆资料作为一种类岩石资料，其三轴围压作用下的力学 行为作为表征其资料性质的

10、一个重要方面。大量的实验结果标 明，应力状态对脆性资料的力学性能有着重要影响。一般情况 下，对于许多脆性资料，在单轴加载或低围压下，表示出明显 的脆性特性；而随着围压的增大，试件的强度和韧性都有着显 著地提高。然而，据目前的研究现状而言，对于砂浆资料三轴 压缩状态下的力学响应的研究成果较少，在模拟方面大多数是 基于唯象模型，缺乏结构的信息，模型结构没有资料内部的结 构变更相联系。因此，利用基于微观物理机制的本构模型研究 三轴压缩状态下的砂浆资料的力学响应有着非常重要的科学意 义。砂浆的弹塑性损伤变形的研究是基于对泛函数和 Cauchy- born 准则，抽象出弹簧束构元和体积构元，组集两种构元

11、的力 学响应，给出了资料的弹性损伤的本构关系；考虑滑移作为主 要的弹塑性变形机制，提出了滑移构元，给出了资料的塑性本 构关系利用变形分解机制，得到了三种构元共同描述的弹塑性 损伤的本构关系。论述了给定应变条件下弹塑性损伤本构关系 的迭代流程。从资料细观变形角度解释了随着围压增加，资料 的承载能力增加的现象，初步验证了弹塑性理论处理非比例加 载的问题。2、基于弹塑性理论计算钢筋锈胀力 以弹塑性为基础，视钢筋混凝土为半脆性资料，取外半径为(R+r)、内径为R的厚壁圆环为研究对象，根据厚壁简原理假 定资料是体积不成压缩，外部混凝土受到钢筋的锈蚀的挤压经 过弹性阶段、弹塑性阶段、塑性阶段三种状态。由于

12、混凝土的 非均质性、在混凝土开裂之前会存在一定的塑性，故裂缝出现 在弹塑性阶段，在弹塑性阶段弹塑性区与弹性区的交界处应力x 将达到最大。(二)基于弹塑性力学理论分析工程构件的内力变形 1、钢筋混凝土壳体结构弹性理论分析壳体结构是由曲面形板与边沿构件组成的空间结构。壳体 结构有很好的空间传力性能，能以较小的构件厚度形成承载力 高、刚度大的承重结构，能覆盖或围护大跨度的空间而不需要 中间支柱，能兼承重结构和围护结构的双重作用，从而节约结 构资料。 壳体结构可做成各种形状，以适应工程造型的需要， 因而广泛的应用于工程结构中（大跨度建筑物顶盖、中小跨度 屋面板、工程结构与衬砌）。壳体结构理论的基本假定

13、：（ 1）“薄膜理论”通常应用于 整个壳体结构的绝大部分。（ 2）考虑弯曲效应的“弯曲理论” 可用于分析荷载或结构不连续处邻近的局部区域所发生的不连 续应力。壳体结构的基本方程：（ 1）几何方程 采取正交曲线坐标 系，根据壳体理论的基本假设，由弹性体在正交曲线坐标下的 集合方程，可以推导薄壳的几何方程，共三个方程（ 2）物理方 程 根据壳体理论的第三个基本假设，不考虑 z 轴方向的应力对 变形的影响，将内力用中面形变量，积分推导后可以得出薄壳 的物理方程的内力表达式，由表达式可以得到，在薄壳体中， 由薄膜力N1,N2,和S引起的应力沿壳厚均匀分布，弯矩和扭转 引起的弯矩应力沿厚度直线分布。（

14、3）平衡方程 在曲线坐标 系下，考虑壳微元，同时将外荷载折算为单位中面面积的荷载 分量X,Y和Z。2、自由杆件对简支梁的多次弹塑性撞击柔性结构的弹塑性撞击是航空、航天、船舶、和机械领域 中普遍存在的问题，对此类问题的研究分析，是工程领域的一 项长期又艰巨的重要的任务。可以通过弹塑性理论对自由杆件多次弹塑性撞击进行分 析，将单轴压结模型应用于模拟多次撞击的分离过程中接触区 的弹塑性接触行为，推导出弹性杆件和弹塑性梁的动力学方程 并采取有限差分方法加以求解，研究了弹性自由杆撞击弹塑性 简支梁的全过程。研究发现整个撞击过程实际上是一个复杂的 多次弹塑性撞击过程，存在两个以上的明显撞击区，每个撞击 区包含了形式多样的复杂撞击过程，相对于第一个撞击区，剩 余撞击区的撞击冲量不成忽略所以多个撞击区将对撞击系数发 生重要影响。撞击发生的纵向应力波在弹性杆件中的传播和反 射，直接影响多次弹塑性撞击。参考文献：1 王建军 . 从弹塑