04-1连续性的概念

1、第四章函数的连续性§1连续性的概念(一)教学目的：掌握函数连续性概念.(二)教学内容：深刻理解函数连续,函数左右连续,区间上函数连续,间断点及其分类等概念.对一般的函数特别是初等函数可以讨论其间断点并且分类根本要求：1)掌握函数连续性概念,可去间断点,跳跃间断点,第二类间断点,区间上的连续函数的定义.2)较高要求：讨论黎曼函数的连续性.(三)教学建议：(1) 函数连续性概念是本节的重点.对学生要求懂得函数在一点和在区间上连续的定义,间断点的分类.(2)本节的难点是用较高的分析方法、技巧证实函数的连续性,对较好学生布置有关习题.一函数在一点X0的连续先回忆一下函数在x0点的极限limf

2、(x)=AxJx0设函数f(x)在xo的某个空心邻域内有定义,A是一个确定的数,假设对Vs>0,三6>0,当0c|xx0|<6时,都有|f(x)A|<名,那么称f(x)在xTx0时,以A为极限.这里f(x0)可以有三种情况sin(x-x0)1) f(x0)无定义,比方上章讲过的特殊极限lim-=1xx-x0x,x#x02)f(x0)第A,比方f(x)=,limf(x)=x0#f(x0)、x+1,x=沏f0*对1,2两种情况,曲线在X0处都出现了间断；第3种情况与前两种情况不同,曲线在Xo处连绵不断,我们称这种情况为,f(X)在Xo处连续.定义1设函数f(x)在X0的某邻

3、域内有定义,假设limf(X)=f(Xo)xXo那么称函数f(X)在X0点连续.例如函数f(x)=2x+1在点X=2连续,由于!嗯f(x)-lim(2X2)-5-f(2)又如,函数f(x)=xsin-,x=0_一.x在x=0处连续.由于0,x=01呵f(x)=limxsin=0=f(0)可等价的表达为假设记Ax=x-x0,Ay=f(x)-f(x0)那么limf(x)=f(x0)X>X0股Ay=0,于是函数f(x)在X0点连续的定义又可以表达为定义1设函数f(x)在x0的某邻域内有定义,假设limlv=0.*07那么称f(x)在X0点连续.另外,由于函数f(x)在X0点连续是用极限形式表述

4、的,假设将limf(x)=f(Xo)改X死用8-每语言表达,那么f(x)在X0点连续又可以定义为：定义1设函数f(x)在X0的某邻域内有定义,假设对V8>0,36>0,使得当|x-X0|<6时,都有If(x)-f(X0)|<5,(2)那么称f(X)在X0点连续.注意函数f(X)在X0点连续,不仅要求f(x)在X0点有定义,而且要求XTX0时,f(x)的极限等于f(X0),因此这里在极限的“语言表达中把“0<|xX0|<6"换成了“|xx0|<6".最后,(1)式又可表示为limf(x)=f(limx),XX0X的可见“f在x=0连续

5、意味着极限运算lim对应法那么f的可交换性.X)X0例1证实函数f(x)=xD(x)在点x=0连续,其中D(x)为狄利克雷函数.证实由f(0)=0及|D(x)|E1,对于任意的EA0,为使|f(x)-f(0)|=|xD(x)|x|<s只要取6即可按定义推得在连续.相应于在的左、右极限的概念,我们给出左右连续的定一如下：定义2设函数f(x)在X0的某左(右)邻域内有定义,假设limf(x)=f(x0)(limf(x)=f(x0)XXq-XX0-那么称f(x)在X0点左(右)连续.由极限与单侧极限的关系不难得出：定理4.1函数f(x)在X0点连续的充分必要条件为：f(X)在X0点既左连续又右

6、连续.一,“一'x+2,x20例2讨论函数f(X)=在X=0的连续性.x-2,x<0解由于limf(x)=lim(x2)=2=f(0)limf(x)=lim(x-2)=-2=f(0)x_0x_0所以f(x)在x=0右连续,但不左连续,从而f(x)在x=0不连续.间断点及其分类定义3设函数f在某Uo(x0)内有定义.假设ff的间断点或不连续点.在点x0无定义,或在点x0有定义但不连续,那么称点x0为函数1)limf(x)=A,而f在点xo无定义,或有定义但limx-rx0f(x)=A=f(xo)由连续的定义知,函数f(x)在x0点不连续必出现如下情形limf(x)|为跳跃度x>

7、;x)-2)左、右极限都存在,但不相等,称a=|limf(x)-X及.3)左、右极限至少一个不存在据此,函数f的间断点可作如下分类:1.可去间断点情况1)x0称为可去间断点(或可去不连续点)；例f(x)=«limf(x)=1:-1=f(0)x)0-1,x-0x=0是f(x)的可去间断点.例f(x)=|sgn仅a)|,limf(x)=1,f(a)=0,x=a是f(x)的可去间断点.xa2.跳跃间断点情况2)X0称为可跳跃间断点;情况1),2)统称第一类间断点.例y=x由于limf(x)=n,lim=n1,所以y=x的整数点为跳跃间断x)n-x/一点,跳跃度等1.例f(x)=sgnx由于

8、limsgnx=1,limsgnx=1x_0x)0所以f(x)=sgnx在x=0处为跳跃间断点,跳跃度等2.3.情况3)x0称为可第二类间断点；-1例f(x)=-,limf(x)不存在,所以x=0是f(x)的第二类不连续点.xx0为了增强理解和记忆,我们画出两类不连续点的图象(c41)subplot(2,2,1)ezplot('sin(x)/x',-0.5,0.5)holdonplot(0,1,'r*')subplot(2,2,2)ezplot('sin(x)+sign(x)',-pi/3,pi/3)holdonplot(0,0,'r*&

9、#39;),subplot(2,2,3)ezplot('sin(1./x)',-0.5,0.5)holdonplot(0,0,'r*')subplot(2,2,4)ezplot('abs(1./(x+eps)',-0.5,0.5),holdonplot(0,28,'r*')sin(x)/xsin(x)+sign(x)abs(1/(x+eps)10.50-0.5-1-0.500.5xx三区间上的连续函数定义假设函数f(x)在区间I上每一点都连续,那么称f(x)为I上的连续函数,对于区间端点上的连续性那么按左、右连续来确定.例如y=c

10、,y=x,y=sinx,y=cosx是(-«,+r)内的连续函数,y=Ji_x2在(-1,1)的每一点都连续,在x=1左连续性,在x=-1右连续性,因而是-1,1上的连续函数(参见上章§1的例题).定义如果f(x)在区间a,b上仅有有限个第一类不连续点,那么称函数f(x)在间a,b上按段连续.例如y=x,y=sgnx是按段连续函数.例3讨论黎曼函数v_P,(p,q)为正整数,p/q为既约真分数_,、,xR(x)=<qq0,x=o,1及(0,1)内的无理数的连续性证实设七w(0,1)为无理数,任给s>0(不妨设&<J/),满足2之正数显然只有有限个2qq(但至少有有一个,如q=2),从而使R(x)之6的有理数x(0,1)只有有限个(至少有有一个,1.、如一),设为x1,xn,取25=min(k-E|,|xn可占1七),(显然3>0)那么对任何xwU(之6)(u(0,1),当x为有理数时有R(x)<名,当x为无理数时R(x)=0.于是,对任何xWU(£为,总有R(x)-Rd)|=R(x)<g这就证实了R(x)