5两个重要极限

1、第五节两个重要极限教学目的：1使学生理解极限存在的两个准则；2使学生掌握利用两个重要极限求极限的方法;教学重点：利用两个重要极限求极限教学过程：一、讲授新课：准则I:如果数列*丫0，20满足下列条件：(i)对Vn,yn<Xn<Zn；(ii)limyn=limzn=an、二二n一)二二那么，数列xn的极限存在，且limxn=a。n)：:证明：因为limyn=limzn=a,所以对>0,3N1>0,当nN1时，有yn-a<s,nCn)pc即a-s<yn<a+s,对三N2,当nN2时，有Zna|<E,1Pa-s<Zn<a+s,又因为ynMX

2、n<Zn,所以当n>N=MaXNi,N2,有aW<yn<Xn<Znca十名，即有：a名<xn<a+£,即xn-a七名,所以limxn=a。n-JC准则I'如果函数f(X),g(x),h(x)满足下列条件：A(i)当xwU(X0,r)(xAM)时，有g(x)Mf(x)Mh(x)。(ii)当XTX0(XT8)时，有g(x)TA,h(x)TA。那么当XTX°(XT咐时，f(X)的极限存在，且等于A。第一个重要极限：lim止=1x0X作为准则I'的应用，下面将证明第一个重要极限：lim型2=1x-PX证明：作单位圆，如下图：

3、设x为圆心角/AOB1sin21:二-x21：tan2=1<sinx又因为所以并设<cos（因为0:二xJI<2当x改变符号时,cosx=1-(1-cosx)2x：cosx<1而limcosx0=lim1=1x0【例11limxQcsinxarcsin【例2】sinxlimxx'x-：limx【例3】limX0tan3x【例4】limx1-cos0<x<三见图不难发现:2sinx<x<tanx,sinx二cosx:二：1所以上不等式不改变方向）cosx,sinx及1的值均不变,sinx:二：:12x=1-2sin()12=limcosx=

4、12x-2二14limx0limt0sin(二limx-0=limx0sinxsint-x)sin3x3x22sinSOBSS扇形AOBSS/OD，即。故对满足0JI的一切limtpsintsintlim=-1t-二/t_0.t1一二311=3cosx(一)21lim2x0xsin一2准则R:单调有界数列必有极限如果数列Xn满足:%<X2<<Xn<,就称之为单调增加数列;若满足：X1>X2>>Xn>,就称之为单调减少数列；同理亦有严格单增或单减，以上通称为单减数列和严格单减数列。如果三M，使得：Xn«M(n=1,2,)，就称数列Xn为有

5、上界;若三M,使得：Xn之M(n=1,2,),就称Xn有下界。准则:单调上升，且有上界的数列必有极限。准则：单调下降，且有下界的数列必有极限。注1:由前已知，有界数列未必有极限，若加单调性，就有极限。2:准则H,H',可推广到函数情形中去，在此不一一陈述了1第二个重要极限：lim(1)=eX一'X作为准则II的一个应用，下面来证明极限lim(1+1)X是不存在的。XX先考虑X取正整数时的情形:1lim(1-)nn对于b>a>0,有不等式:n1n1b-an<(n+1)b)即:b-an1n1n/b-a<(n+1)b(b-a),即：an1.bn(n-1)anb

6、11(i)现令a=1+,b=1+一,显然b>a>0n1n(n+1)a-nb=n+1+1-(n+1)=1将其代入，所以(1+')n*>(1+n,所以n1n(1+1门为单调数列。n1(ii)又令a=1,b=1+一2n11=(n-1)a-nb=n-1-(n)=一22一一.11所以1.(11)nJ2n21n1=2.(1,)=4.(1-)2n2n即对-n,储4，又对"(1+.)2J(1+六厂<41c所以(1+一)n是有界的。n并使用e来表示，1_，4由准则ii或n知ii(m+-)n存在，Xf：nInlim(1)=e=2.718281828459045x-)二二关于此极限存在性的证明,书上有不同的方法，希望同学自己看!1我们可证明：lim(1-x)xX-J二二=lim(1+2)n=e,具体在此不证明了,n'n书上也有，由1证明过程知：lim(1x)xx-)二二1=lim(1+x)x=e。x.3:指数函数及自然对数y=lnx中的底就是这个常数e。【例11lim(1x)：2x-)x1=lim(1)x_：l：22122=lim(1一)2【例2】1lim(1x)xx-0=lim(1z)z-j