2020年中考数学专题——例谈函数综合问题中二倍角的处理

1、例谈函数综合问题中二倍角的处理二次函数综合问题在中考数学压轴题中扮演着重要的角色,而二倍角的存在性问题是近年来中考数学命题的热点问题.在初中阶段,点、线、角是构成图形的根本元素,相对于对点和线的处理,学生对角的处理显得比拟陌生,往往感到束手无策.本文以一道中考数学题为例,深入剖析二倍角的转化方法,在此与各位同仁作交流探讨.一、问题呈现2题目(2021年河南中考题)如图1,抛物线yax6xc交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线yx5经过点B,C.(i)求抛物线的解析式.(2过点A的直线交直线BC于点M.当AMBC时,过抛物线上一动点P(不与点B,C重合),作直线AM的平行线交直线BC于点Q,假

2、设以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标；连结AC,当直线AM与直线BC的夹角等于ACB的2倍时,请直接写出点M的坐标.分析(1)求出直线yx5与x轴、y轴的交点,代回抛物线解析式,即可求得抛物线解析式为yx26x5.(2)利用平行四边形的性质(对边平行且相等、对角线互相平分等)构造方程,可求得点P的横坐标为4或5历或5面.需要注意的是,点P的位置没有特别限制,需要结合函数图象进行分类讨论,22防止漏解；是二倍角的存在性问题,可以用两点间距离公式、中垂线的性质、直角三角形斜边上的中线、同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍等知识构造等腰三角形,进而构造二倍角进行求解.特别地

3、,由于ACB45,所以在直线BC上有两个不同的点M满足题意,这是解题时容易漏解之处.下面,笔者重点分析如何利用核心知识和方法对二倍角进行转化处理二、解法探究解法1利用两点间距离公式求解如图2,由122,且123,可知23,MiAMiC.设M1(m,m5),由M1AM1C,可得2222(m1)(m5)(m0)(m55),口13解彳导m,6口137即Mi一,.66237、同理,由M2AMiA,利用两点间距离公式可求得M2,-.66综上所述,M的坐标为7或23,66注对于M2可以过点A作ANBC于N,过点N作NHAB于H,利用ANB和BNH为等腰直角三角形,以及N为MiM2的中点进行求解.点评两点间

4、距离公式是学生在学习了平面直角坐标系和勾股定理之后所学习的一个重要公式,也是学生在解决等腰三角形存在性问题、平行四边形存在性问题、面积最值问题等综合问题时经常用到的一个公式.由23可知M1AMQ,而点M1在一条确定的直线yx5上,此时可设点M1的坐标,利用两点间距离构造方程,求得点M1的坐标.解法2利用直角三角形斜边中线性质求解如图3,过点A作AFAC交BC于F,CF的中点M1,显然有AMB2ACB.直线AC的解析式为y5x5,又AFAC,:直线AF的解析式为yx5由11,yx13355x解得y根据中点坐标公式,可得Mi的坐标为0533,2213即F一,3一,137、即M1(,),66237同

5、上,可得M2(,-)66综上所述,M的坐标为137_237(二力或("T,66661-,点评直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成了两个等腰三角形.AM1CF是直角三角形斜边中线性质的代数表达形式,而VMAC和VMAF为等腰三角形那么是其几何表达形式,这些是学生对定理学习之后形成的代数和几何认知表现.解法3利用中垂线求解如图4,作AC的垂直平分线交BC于M1,交AC于E.M1AMQ,23,122.易得AC的解析式为y155x5,E点坐标为(一,一).22设直线EM1的解析式为y115、一xb,把E,一代入,522125:直线EM1的解析式为y112一x.55yx5解方程组1y-x51

6、2,513不76一,137、那么Mi(,).66,237、同上,可得M2,66综上所述,M的坐标为7)或(纪7)666点评中线、垂线和角平分线是初中阶段平面几何学习的根底,也是很多几何问题解题时所需要的辅助线.线段的中垂线是轴对称图形的对称轴,是对称变换思想的具体表达.合理利用中垂线,除了能进行线段的转化将军饮马问题等,也能进行角度的转化二倍角、多倍角的化归.解法4利用角平分线的性质设AM1B22.如图5,过点M1作AM1B的平分线M1G交x轴于点G,那么132,.M1GAC,M1CGAM1BGB.设点M1m,m5,M1G的解析式为y5(xm)m5即y5x4m5.当y0时,x4m554m5即G

7、(,0),(m1)2(m5)2(m5)2(m5)2解彳导m,6一,137、即M1,一.66,237、同上,可信M2,66综上所述,M的坐标为137、_237、一,一或,-.6666点评对于二倍角问题,除了可以利用等腰三角形的性质构造角的两倍角以外,还可以采用逆向思维的方式,把二倍角进行平分,利用角平分线的性质求解.进一步地,在上述解法中,M1G是AM1BM1c的角平分线,由角平分线的性质,可以得到M1BGA,角平分线、平行线和等腰三角形的有关性质往GB往可以互相转化.解法5利用同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍求解112.如图6,线段AB的中垂线x3与线段AC的中垂线y-x的交点为F3,3.55

8、FAFB,FAFC,：AB,C三点共圆,即在.F上,AFB2ACB.再彳VABF的外接圆.G,显然圆心G在AB的中垂线上,设.G的半径为r,那么AGr,AH2,GH3r.在AGH中,由勾股定理得,222AG2GH2AH22-222即r2(3r)222,13解彳导r,那么6HG3r-,6G(3,)6设M1(m,m5)为.G与BC的交点,那么AM1BAFB2ACB.由GAGMi,可得252252(31)(-0)(3m)(-m5)66解彳导m113m25舍去,一,137、即Mi(,一).6637、同上,可得M2,一66综上所述,M的坐标为13点评解法5利用同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍,在.F上,AFB2ACB