2018年河北省石家庄市高考数学一模试卷(文科)(a卷)(一)

1、2021年河北省石家庄市高考数学一模试卷文科A卷一一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.(5分)集合U=1,2,3,4,5,6,7,A=x|x>3,xCN,贝U?UA=()2.5分复数与乌,1+1A.i3.5分四个命题:B,3,4,5,6,7C.1,3,4,7D.1,4,7B.-iC.TD.3-3i2如果向量已与b共线,那么n二b或a二-b;xw3是|x|w3的必要不充分条件;4.5.命题p：?x°e0,2,2工的否认p：?xe“指数函数y=ax是增函数,而尸£区是指数函数,所以此三段论大前提错误,

2、但推理形式是正确的.以上命题正确的个数为5分假设数列an满足a1=2,aB.-3C.2(0,2),x2-2x-3>0;尸育户是增函数D.31+/、,、三,那么a2021的值为n11f5分函数fx=2Xx<0,其值域为D,在区间-D1,2上随机取一个数x,那么xCD的概率是Cl6.5分程序框图如下图,该程序运行的结果为s=25,那么判断框中可填写的关于i的条件是7.A.i<4?B.i>4?C.i<5?D.i>5?5分南宋数学家秦九韶早在?数书九章?中就独立创造了三角形三边求其面积的四约之,为实,一为从隅,开方得积.c+a-b>c,并举例“问沙田一段,有三

3、斜边,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一T公式：“以小斜哥并大斜哥,减中斜哥,余半之,自乘于上,以小斜哥乘大斜哥减之,以五里,欲知为田几何？那么该三角形田面积为A.82平方里B. 83平方里C. 84平方里D. 85平方里8.1,粗线画出的是某几何体的三视图,那么该几5分如图,网格纸上小正方形的边长为C.2兀9.5分设fx是定义在-2b,3+b上的偶函数,且在-2b,0上为增函数,那么fx-1>f3的解集为A. -3,3B. -2,4C. T,5D. 0,610. 5分抛物线C:后_*2的焦点为F,其准线l与y轴交于点A,点M在抛物线C上,当也此_折时AMF的面积为|MF|A.1B.2

4、C.2血D.411. 5分在ABC中,AB=2,C/-,那么AC+J§BC的最大值为6A.4V7B.3听C.2VrD.Vr2212. 5分F1,F2分别为双曲线b>0的左焦点和右焦点,过F2a2b2的直线l与双曲线的右支交于A,B两点,AF1F2的内切圆半径为门,435152的内切圆半径为2,假设r1=2r2,那么直线l的斜率为A.1B.加C.2D.2加二、填空题：本大题共4小题,每题5分,共20分.13. 5分设向量1=1,2加,5二近1,1,假设那么m=.yCx14. 5分x,y满足约束条件：*x+y<l,那么z=2x+y的最大值为.15. 5分甲、乙、丙三位同学,其

5、中一位是班长,一位是体育委员,一位是学习委员,丙的年龄比学委的大,甲与体委的年龄不同,体委比乙年龄小.据此推断班长是.16. 5分一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上,那么该直角三角形斜边的最小值为.三、解做题：共70分.解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤.第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.一必考题：共60分17. 12分an是公差不为零的等差数列,满足a3=7,且a2、a4、a9成等比数列.I求数列an的通项公式;n设数列bn满足bn=an?an+1,求数列的前n项和Sn.br18. 12分四棱锥S-ABCD的

6、底面ABCD为直角梯形,AB/CD,ABXBC,AB=2BC=2CD=2,ASAD为正三角形.(I)点M为棱AB上一点,假设BC/平面SDM,氤二£屈,求实数入的值;(II)假设BCXSD,求点B到平面SAD的距离.19. (12分)小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作,该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案：底薪100元,每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元,每日前55单没有奖励,超过55单的局部每单奖励12元.(I)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y(单位：元)与送货单数n的函数关系式；(n)根据该公司所有派送员100天的派送记录,发现派送员的日平均派送单数与天

7、数满足以下表格：日均派送单数5254565860频数(天)2030202010答复以下问题:根据以上数据,设每名派送员的日薪为X(单位：元),试分别求出这100天中甲、乙两种方案的日薪X平均数及方差；结合中的数据,根据统计学的思想,帮助小明分析,他选择哪种薪酬方案比拟适宜,并说明你的理由.(参考数据：0.62=0.36,1.42=1.96,2.62=6.76,3.42=11.56,3.62=12.96,4.62=21.16,15.62=243.36,20.42=416.16,44.42=1971.36)2220. (12分)椭圆C:三+三=1(&>>0)的左、右焦点分别为F

8、1,F2,且离心率a2bZ为半,M为椭圆上任意一点,当/F1MF2=90°时,F1MF2的面积为1.(I)求椭圆C的方程；(II)点A是椭圆C上异于椭圆顶点的一点,延长直线AF1,AF2分别与椭圆交于点B,D,设直线BD的斜率为ki,直线OA的斜率为k2,求证：ki?k2为定值.21. (12分)函数f(x)=(x+b)(ex-a),(b>0),在(-1,f(-1)处的切线方程为(e-1)x+ey+e-1=0.(I)求a,b;(n)假设mW0,证实：f(x)>mx2+x.(二)选考题：选彳4-4-4：坐标系与参数方程共1小题,总分值10分)22. (10分)在平面直角坐标

9、系xOy中,曲线C的参数方程为,相(r>0,()g+rKn.为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为P8二二)二1,假设直线l与曲线C相切；3(I)求曲线C的极坐标方程；(n)在曲线C上取两点M,N与原点O构成MON,且满足&0N=三,求面积6MON的最大值.选彳4-5:不等式选讲(共1小题,总分值0分)23. 函数工-3|-I箕|-TT的定义域为R;(I)求实数m的取值范围；(n)设实数t为m的最大值,假设实数a,b,c满足a2+b2+c2=t2,求Ta2+l产+2c+3的最小值.2021年河北省石家庄市高考数学一模试卷文科A卷一参考答案

10、与试题解析一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1. (5分)集合U=1,2,3,4,5,6,7,A=x|x>3,xCN,贝U?UA=()A.1,2B.3,4,5,6,7C.1,3,4,7D.1,4,7【分析】利用补集定义直接求解.【解答】解：二.集合U=1,2,3,4,5,6,7,A=x|x>3,xCN,?UA=1,2.应选：A.【点评】此题考查补集的求法,考查补集等根底知识,考查推理论证水平、运算求解能力,考查函数与方程思想,是根底题.2. (5分)复数毕=()1+1A.iB.-iC.-1-克D.3-3i【分

11、析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.解：上=包心立二！旦l+i1+D1-1-221【点评】此题考查复数代数形式的乘除运算,是根底题.3.5分四个命题:如果向量日与b共线,那么a二b或a二-b；xw3是xg3的必要不充分条件;命题p：?x0C(0,2),2工.-3<0的否认p：?xe(0,2),x2-2x-3>0;“指数函数y=ax是增函数,而产方靠是指数函数,所以y=6*是增函数此三段论大前提错误,但推理形式是正确的.以上命题正确的个数为B.1C.2D.3【分析】根据题意,对选项中的命题进行分析、判断正误即可.【解答】解：对于,如果向量1与Z共线,那么；=是,不一定有己二

12、b或a=-b,错误；对于,xW3时,|x|W3不一定成立,即充分性不成立；|x|W3时,-3<x<3,那么x<3成立,必要性成立;是必要不充分条件,正确；对于,命题p：?xoe(0,2),的否认是p：?xC0,2,x2-2x-3>0,正确;对于,“指数函数y=ax是增函数,而(=_)次是指数函数,所以y=g一片是增函数此三段论大前提错误,推理形式是正确的,.正确.综上,以上命题正确的选项是,共3个.应选：D.【点评】此题考查了命题真假的判断问题,是根底题._l+le,4.5分右数列an满足ai=2,a,那么a20i8的值为口il-anB.-3D-3【分析】a1=2,a上

13、尸工,可得l-an"Ri-a2=-3,同理可得:1-alas,a4,a5,可得：an+4=an.利用周期性即可得出.【解答】解：ai=2,a1+%1+al_-11.-a2=-3,同理可得：a3=-,a4=,a5=2,1al23可得：an+4=an.贝Ua2021=a504x4+2=a2=-3-应选：B.【点评】此题考查了数列递推关系、数列的周期性,考查了推理水平与计算水平,属于中档题.5. 5分函数fx=2Xxv0,其值域为D,在区间-1,2上随机取一个数x,那么xCD的概率是c.1【分析】由指数函数的单调性求出函数f(x)=2x,xC(-8,0)的值域为D,再由测度比为长度比得答案

14、.【解答】解：函数fx=2x,xC-oo,0的值域为0,1,即D=(0,1),那么在区间-1,2上随机取一个数x,xCD的概率P=1-02-(-1)3【点评】此题考查几何概型,考查指数函数值域的求法,是根底题.6. 5分程序框图如下图,该程序运行的结果为s=25,那么判断框中可填写的关于i的条件是A.i<4?B.i>4?C. i<5?D. i>5?s=100-5=95,i=2s=95-10=85,i=3s=85-15=70,i=4i为何值时输出,得到判【分析】根据程序框图的流程写出前几次循环的结果判断出当断框中的条件.【解答】解：模拟程序的运行,可得s=100,i=1由

15、题意,满足判断框内的条件,执行循环体,由题意,满足判断框内的条件,执行循环体,由题意,满足判断框内的条件,执行循环体,由题意,满足判断框内的条件,执行循环体,s=70-20=50,i=5由题意,满足判断框内的条件,执行循环体,s=50-25=25,i=6由题意,此时应该不满足判断框内的条件,退出循环,输出s的值为25.可得判断框中可填写的关于i的条件是iW5?.应选：C.【点评】此题考查解决程序框图中的循环结构时,常采用写出前几次循环的结果,找规律,属于根底题.7. 5分南宋数学家秦九韶早在?数书九章?中就独立创造了三角形三边求其面积的公式：“以小斜哥并大斜哥,减中斜哥,余半之,自乘于上,以小

16、斜哥乘大斜哥减之,以|2222四约之,为实,一为从隅,开方得积.即：可；cYCf,a>b>c,并举例“问沙田一段,有三斜边,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,欲知为田几何？那么该三角形田面积为A.82平方里B.83平方里C.84平方里D.85平方里【分析】根据题意代值计算即可.【解答】解：由题意：不妨设c=13,b=14,a=15,tj：乙vrq应选：C.【点评】此题考查数三角形的面积的求法,考查计算水平.8. 5分如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,那么该几何体的体积为333【分析】判断几何体的形状,然后求解几何体的体积即可.【解答】解：由题

17、意可知几何体是一个半圆柱,挖去一个半球的几何体,几何体的体积为：x12x兀x4-l-xXTTXl=3应选：B.【点评】此题考查几何体的三视图与直观图的关系,几何体的体积的求法,考查计算能力.9. (5分)设f(x)是定义在-2b,3+b上的偶函数,且在-2b,0上为增函数,那么f(x-1)>f(3)的解集为()A.-3,3B,-2,4C,-1,5D.0,6【分析】根据f(x)为定义在-2b,3+b上的偶函数,即可求出b=3,从而得出偶函数f(x)的定义域为-6,6,在0,6上单调递减,而f(x-1)>f(3)等价于f(|x-1|)>f(3),从而得到解该不等式组即可得出原不等

18、式的解集.I/-1K3【解答】解：根据题意,-2b+3+b=0;b=3; .f(x)的定义域为-6,6,在-6,0上为增函数； f(x)在0,6上为减函数； .由f(x1)>f(3)得,f(|x-1|)>f(3);Llx-1|<3解得-2&x&4;,原不等式的解集为-2,4.应选：B.【点评】考查偶函数的定义,偶函数定义域的特点,偶函数在对称区间上的单调性特点.10. (5分)抛物线C:后J的焦点为F,其准线l与y轴交于点A,点M在抛物线C上,MF鹏时,AMF的面积为(C.一D.4【分析】由题意可知,当当些时,那么/MAF=45求出三角形的边长,然后求解4AM

19、F的面积.【解答】解：过M做MP与准线垂足,垂足为P,那么当叫=炳=股=1=1,那么/MAF=45°,x=1时,y=±2,IMF|MPcos/AHPcosZMAF此时|AF|=|MF|,AMF是等腰直角三角形,三角形的面积为工X2X2=2.2应选：B.【点评】此题考查抛物线的性质,直线与抛物线的位置关系,考查数形结合思想,属于中档题.11. 5分在ABC中,AB=2,C/L,那么AC+J§BC的最大值为6A.4中B.3祈C.2V?D.V?【分析】直接利用三角函数关系式的变换和正弦定理求出结果.【解答】解：ABC中,AB=2,6贝U:2R=_d,sinC那么：-=/

20、:二一：.:上,=：,：.二1-,一b=2cosA+6：；.-'=1.'：.-1,由于：.：,0/7.62所以：三.,所以最大值为4-R.应选：A.【点评】此题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换,正弦定理的应用.2212. 5分F1,F2分别为双曲线三一号1殳>0,b>0的左焦点和右焦点,过F2a2b2的直线l与双曲线的右支交于A,B两点,AF1F2的内切圆半径为门,435152的内切圆半径为2,假设1=22,那么直线l的斜率为A.1B.爽C.2D.2加【分析】充分利用平面几何图形的性质解题.因从同一点出发的切线长相等,得|AM|=|AN|,|F1M|=|F1

21、E|,|F2N|=|F2E|,再结合双曲线的定义得|F1E|-|F2E|=2a,从而即可求得AF1F2的内心的横坐标a,即有CDx轴,在CEF2,ADEF2中,运用解直角三角形知识,运用正切函数的定义和二倍角公式化简即可得到直线的斜率.【解答】解：记AF1F2的内切圆圆心为C,边AF1、AF2、F1F2上的切点分别为M、N、E,易见C、E横坐标相等,那么|AM|=|AN|,|F1M|=|F1E|,|F2N|=|F2E|,由|AF1|一|AF2|=2a,即|AM|+|MFi|一(|AN|+|NF2|)=2a,得|MF1|一|NF2|=2a,即|FiE|-|F2E|=2a,记C的横坐标为x0,那么

22、E(X0,0),于是X0+c-(c-xo)=2a,得X0=a,同样内心D的横坐标也为a,那么有CDx轴,R设直线的倾斜角为0,那么/OF2D=,/CF2O=90°2Ari在CEF2中,tanZCF2O=tan(90°)=-：-,I：在ADEF2中,tan/DF2O=tad-=m-,2|EF|=cot里,2AA由r1=2r2,可得2tan-=tan(90°-)22那么直线的斜率为etan0=不一2H1-tanT应选：D.【点评】此题考查双曲线的定义、方程和性质,考查三角形的内心的概念,考查三角函数的化简和求值,考查直线斜率的求法,属于中档题.二、填空题：本大题共4小

23、题,每题5分,共20分.13. 5分设向量a-1>21ro,b二加'1,1,假设a_Lb,那么m=士【分析】利用向量垂直的性质直接求解.【解答】解：响量£(i,2m),器OL1),；二,-t3b=m+1+2m=0,解得m=-3故答案为：Jl.3【点评】此题考查实数值的求法,考查向量垂直等根底知识,考查推运算求解水平,考查函数与方程思想,是根底题.14. (5分)x,y满足约束条件：*x+y<l,那么z=2x+y的最大值为3.ky>-l【分析】画出满足条件的平面区域,求出角点的坐标,结合函数图象求出z的最大值即可.【解答】解：画出x,y满足约束条件：,K+y&

24、lt;l平面区域,如图示：,(K+Vlr由,解得A(2,-1),I尸T由z=2x+y得：y=-2x+z,平移直线y=-2x,显然直线过A(2,-1)时,z最大,z的最大值是3,故答案为：3.【点评】此题考查了简单的线性规划问题,考查数形结合思想,是一道中档题.15. 5分甲、乙、丙三位同学,其中一位是班长,一位是体育委员,一位是学习委员,丙的年龄比学委的大,甲与体委的年龄不同,体委比乙年龄小.据此推断班长是乙.【分析】推导出丙是体委,年龄从大到小是乙丙学委,由此得到乙不是学委,故乙是班长.【解答】解：根据甲与体委的年龄不同,体委比乙年龄小,得到丙是体委,丙的年龄比学委的大,甲与体委的年龄不同,

25、体委比乙年龄小,得到年龄从大到小是乙丙学委,由此得到乙不是学委,故乙是班长.故答案为：乙.【点评】此题考查简单推理的应用,考查合情推理等根底知识,考查运算求解水平,考查函数与方程思想,是根底题.16. 5分一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上,那么该直角三角形斜边的最小值为_至1_.【分析】根据正三棱柱的结构特征,结合题意知：该三角形的斜边EF上的中线DG的长为底面三角形的高时,RtADEF的斜边最短.【解答】解：【方法一】不妨设RtADEF的一锐角顶点E在B处,且AF=h,CD=m,第15页共25页贝U有FB2=h2+4,BD2=m2+4,DF2=(h-m)2+4,又

26、fb2=bd2+df2,整理得m2-hm+2=0,那么有=h2-8A0,解得h2>8,FB=VA26【方法二】直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,不妨设/EDF=90°,正三棱柱的底面边长为AB=2,且4EDF的斜边EF上的中线为DG,如下图;由图形知,当DG的长为底面三角形的高时,DG取得最小值为加,此时斜边EF的长为2DG=2禽.故答案为：2日1721题为必考题,一必考题：共60【点评】此题主要考查了正三棱柱的结构特征与应用问题,是中档题.三、解做题：共70分.解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤.第每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根

27、据要求作答.第16页共25页17. 12分an是公差不为零的等差数列,满足a3=7,且a2、a4、a9成等比数列.I求数列an的通项公式;n设数列bn满足bn=an?an+1,求数列的前n项和Sn.%【分析】I设数列an的公差为d,且dw0,由等比数列中项的性质和等差数列的通项公式,解方程可得公差d,首项,即可得到所求通项公式;3n+l(n)由(1)得bn=an?an+1=(3n-2)(3n+1),求和方法：裂项相消求和,计算即可得到所求和.【解答】解：I设数列an的公差为d,且dw0,为二七的%+2*7L1所以数列an的通项公式an=3n-2;(n)由(1)得bn=an?an+i=(3n2)

28、(3n+1),bn33n-23n+l,11那么.n="3、3n+l：,11八1,11,仁于F33n+l3n-23n+l【点评】此题考查等差数列的通项公式和等比数列中项性质的运用,考查数列的求和方法：裂项相消求和,考查化简整理的运算水平,属于中档题.18.(12分)四棱锥S-ABCD的底面ABCD为直角梯形,AB/CD,ABXBC,AB=2BC=2CD=2,SAD为正三角形.M为棱AB上一点,假设BC/平面SDM,a二£亚,求实数入的值;(H)假设BCXSD,求点B到平面SAD的距离.【分析】I证实BC/DM,推出AB=2CD,利用条件求出入.II证实平面SCD,平面ABCD

29、,在平面SCD内过点S作SEL直线CD于点巳说明SEL平面ABCD,推出AE=ED=SE=1,连接BD,求出三棱锥S-AED的体积,求出底面面积,利用V三棱锥B-ASD=V三棱锥S-ABD,求解B到平面SAD的距离.【解答】解：I由于BC/平面SDM,BC?平面ABCD,平面SDMn平面ABCD=DM,所以BC/DM,由于AB/DC,所以四边形BCDM为平行四边形,又AB=2CD,所以M为AB的中点.由于,(n)由于BCXSD,BCXCD,所以BCL平面SCD,又由于BC?平面ABCD,所以平面SCDL平面ABCD,平面SCDA平面ABCD=CD,在平面SCD内过点S作SEL直线CD于点E,那

30、么SEL平面ABCD,在RtSEA和RtASED中,由于SA=SD,所以AE=7SA2-SE2=VsD2-SE2,又由题知/EDA=45°,所以AEXED,由求得AD=V2,所以AE=ED=SE=1,连接BD,那么V三棱锥S-ABD=X1X1=-,33又求得VSAD的面积为立,2所以由V三棱锥b-ASD=V三棱锥s-ABD点B到平面SAD的距离为：2v3S【点评】此题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用,几何体的体积的求法,考查空间想象水平以及计算水平.19. 12分小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作,该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案：底薪100元,每派

31、送一单奖励1元；乙方案：底薪140元,每日前55单没有奖励,超过55单的局部每单奖励12元.I请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y单位：元与送货单数n的函数关系式；n根据该公司所有派送员100天的派送记录,发现派送员的日平均派送单数与天数满足以下表格：日均派送单数5254565860频数天2030202010答复以下问题:根据以上数据,设每名派送员的日薪为X单位：元,试分别求出这100天中甲、乙两种方案的日薪X平均数及方差；结合中的数据,根据统计学的思想,帮助小明分析,他选择哪种薪酬方案比拟适宜,并说明你的理由.参考数据：0.62=0.36,1.42=1.96,2.62=6.76,3.42=1

32、1.56,3.62=12.96,4.62=21.16,15.62=243.36,20.42=416.16,44.42=1971.36【分析】I甲方案：底薪100元,每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元,每日前55单没有奖励,超过55单的局部每单奖励12元.由此能分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y单位：元与送货单数n的函数关系式；n由,在这100天中,根据派送记录表能求出这100天中甲、乙两种方案的S甲2远小于s乙2,甲方案日工资日薪X平均数及方差.答案一：EX甲vEX乙,但两者相差不大,且收入波动相对较小,所以小明应选择甲方案.答案二：,EX甲VEX乙,即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期

33、望,所以小明应选择乙方案.【解答】解：I甲方案中派送员日薪y单位：元与送货单数n的函数关系式为：y=100+n,nCN,乙方案中派送员日薪y单位：元与送单数n的函数关系式为：140,nENy=3.、_一12n-520,n>55,nfNn、由表格可知,甲方案中,日薪为152元的有20天,日薪为154元的有30天,日薪为156元的有20天,日薪为158元的有20天,日薪为160元的有10天,1 152X20+154X30+156X20+158X20+160X10=155.4,X甲100S甲2=T20X152-155.42+30X154-155.42+20X156-155.42+20X158-

34、155.42+10X160-155.42=6.44,乙方案中,日薪为140元的有50天,日薪为152元的有20天,日薪为176元的有20天,日薪为200元的有10天,50(140-155.6)100(140X50+152X20+176X20+200X10)=155.6,2+20(152-155.6)2+20(176-155.6)2+10(200-155.6)2,八-=404.64.答案一:由以上的计算可知,虽然EX甲VEX乙,但两者相差不大,且£甲2远小于S乙2,即甲方案日工资收入波动相对较小,所以小明应选择甲方案.答案二：由以上的计算结果可以看出,EX甲VEX乙,即甲方案日工资期望

35、小于乙方案日工资期望,所以小明应选择乙方案.【点评】此题考查函数解析式的求法,考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差第20页共25页的求法,考查古典概型、统计表等根底知识,考查运算求解水平,考查函数与方程思想,是中档题.2220. 12分椭圆C:三+三=1殳>>0的左、右焦点分别为Fi,F2,且离心率为返,M为椭圆上任意一点,当/FiMF2=90°时,FiMF2的面积为1.2I求椭圆C的方程；n点A是椭圆C上异于椭圆顶点的一点,延长直线AFi,AF2分别与椭圆交于点B,D,设直线BD的斜率为ki,直线OA的斜率为k2,求证：ki?k2为定值.【分析】I根据勾股定理和三

36、角形面积公式列方程组求出a,b得出椭圆方程；II先计算有一条直线无斜率对应的斜率之积的值,再讨论一般情况,求出A,B,D三点坐标,化简斜率得出结论.【解答】解：(I)设|MFi|=m,那么|MF2|=2am,./FiMF2=90°,|FiF2|=2c,+)2=4c2,解得a=V2,c=i,b=i.V2.二椭圆C的方程为+y2=1.2(2)设A(xo,yo),B(xi,yi),D(X2,y2),当直线AFi的斜率不存在时,设A-i,),那么B(-1,-返)2直线AF2的方程为y=(x-i),代入2+y2=i可得5x2-2x-7=0,-x2=fy2=-#即D工,-5直线BD的斜率为ki=

37、-,直线OA的斜率为k2=-,/62ki?k2=一6当直线AF2的斜率不存在时,同理可得ki?k2=6当直线AFi、AF2的斜率存在时,直线AF/勺方程为y=V°(x+1),那么由,M+i消去x可得：(xo+i)2+2y02x2+4y02x+2y022(xo+i)2又+yo2=1,那么2y.2=2-xo?,代入上述方程可得2(3+2xq)x2+2(2x02)x-3xq2-4xq=0,2-d=-l,3+2x(J3+2工口-3x0-以口-3工口-4y0xi?xo=,xi=,yi=-3+2x03+2xq直线AF2的方程为y=y0(x-i),同理可得：x2=3K口4y2=2,Xq-12Xq-

38、32x0-3y<>-yi4jnypixnyn直线BD的斜率为ki='_L=了一=一一町12k0-243x0-6又直线OA的斜率为k2=,x02Kn2i_xoyo?y0412kik2？3国0-6町-63叼-6直线BD与OA的斜率之积为定值-工,即kik2=-.66【点评】此题考查了椭圆的性质,直线与椭圆的位置关系,属于中档题.21(i2分)函数f(x)=(x+b)(ex-a),(b>0),在(-i,f(-i)处的切线方程为(ei)x+ey+ei=0.(I)求a,b;(n)假设mW0,证实：f(x)>mx2+x.【分析】(I)求得切点坐标,求出f(x)的导数,可得切

39、线的斜率,即可得到所求a,b的值；(n)可得x>mx2+x,令g(x)=(x+i)(ex-i)-x,根据函数的单调性证实即可.【解答】解：(I)在(-1,f(T)处的切线方程为(e-1)x+ey+e-1=0,可得f(1)=0,即f(1)=(1+b)(ea)=0,又函数f(x)=(x+b)(exa),(b>0),可得导数为f(x)=(x+b+1)e'-a,所以f(-1)=-a=-1+,ee假设a=_L,那么b=2e<0,与b>0矛盾,e故a=b=1;(n)由(I)可知f(x)=(x+1)(ex1),f(0)=0,f(1)=0,由m<0,可得x>mx2+

40、x,令g(x)=(x+1)(ex-1)-x,gz(x)=(x+2)ex-2,当x<2时,g(x)=(x+2)ex2v2V0,当x>-2时,设h(x)=g'(x)=(x+2)ex-2,hz(x)=(x+3)ex>0,故函数g'(x)在(-2,+8)上单调递增,又g,(0)=0,所以当xC(8,0)时,g'(x)<0,当xC(0,+8)时,g,(x)>0,所以函数g(x)在区间(-8,0)上单调递减,在区间(0,+OO)上单调递增,故g(x)>g(0)=0?(x+1)(ex1)>x>mx2+x,故f(x)>mx2+x.【

41、点评】此题考查函数的导数的运用：求切线的斜率和单调性,考查不等式的证实,注意运用方程和函数的转化思想和构造函数法,考查分类讨论思想方法,以及运算水平.(二)选考题：选彳44-4:坐标系与参数方程共1小题,总分值10分)x=V3+rcos$22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为*(r>0,()g+rEnQ为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为Psin(8一)二1,假设直线l与曲线C相切；(I)求曲线C的极坐标方程；(n)在曲线C上取两点M,N与原点O构成MON,且满足求面积6MON的最大值.【分析】(I)求出直线l的直角坐标方程为y=Vsx+2,曲线C是圆心为(加,1),半径为r的圆,