2020高考数学100个必考知识点详解22恒成立问题——参变分离法

1、第22成立问题一一参变别离法一、根底知识：1、参变别离：顾名思义,就是在不等式中含有两个字母时(一个视为变量,另一个视为参数),可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧,即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式.然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围2、如何确定变量与参数：一般情况下,那个字母的范围,就将其视为变量,构造关于它的函数,另一个字母(一般为所求)视为参数.3、参变别离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变别离法,可遵循以下两点原那么：(1)不等式中两个字母是否便于进行别离,如果仅通过几步简单变换即可到达别离目的,那么参变别离法可行.但有些不等式中由于两个字母

2、的关系过于“紧密,会出现无法分21X离的情形,此时要考虑其他方法.例如：(x-1)logax,eJXAl等1-x(2)要看参变别离后,变量的函数解析式是否便于求出最值(或临界值),假设解析式过于复杂而无法求出最值(或临界值),那么也无法用参变别离法解决问题.(可参见恒成立问题一一最值分析法“中的相关题目)4、参变别离后会出现的情况及处理方法：(假设X为自变量,其范围设为D,f(x)为函数;a为参数,g(a)为其表达式)(1)假设f(x)的值域为Im,M寸xwD,g(a尸f(x),那么只需要g(a卢f(x)min=mVxWD,g(x)f(x),那么只需要g(a)f(x),那么只需要g(a)f(x

3、)max=M改乏D,g(a产f(x),那么只需要g(a产f(x需=M5x-D,g(a)f(x),那么只需要g(a)f(x),那么只需要g(a)f(xmin=m(2)假设f(x)的值域为(m,M) VxwD,g(a产f(x),那么只需要g(a)mVxwD,g(a)f(x),那么只需要g(a)f(x),那么只需要g(a心M(注意与(1)中对应情况进行比照)3x=D,g(a)f(x),那么只需要g(a)M(注意与(1)中对应情况进行比照)女wD,g(af(x那么只需要g(a)f(x),那么只需要g(a)m(注意与(1)中对应情况进行比照)3xdD,g(a)f(x),那么只需要g(a)m5、多变量恒成

4、立问题：对于含两个以上字母(通常为3个)的恒成立不等式,先观察好哪些字母的范围(作为变量),那个是所求的参数,然后通常有两种方式处理(1)选择一个变量,与所求参数放在一起与另一变量进行别离.那么不含参数的一侧可以解出最值(同时消去一元),进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了.(2)将参数与变量进行别离,即不等号一侧只含有参数,另一侧是双变量的表达式,然后按所需求得双变量表达式的最值即可.二、典型例题：例1：函数f(x)=ex-ae,假设f(x)至23恒成立,那么实数a的取值范围是思路：首先转化不等式,f(x)=ex+ae：即ex十1至2J3恒成立,观察不等式a与exe一一2一便于别离

5、,考虑利用参变别离法,使a,x分居不等式两侧,a-(e)+2)3e,假设不等式恒成立,只需a(-(ex)+273ex),令g(x)=-ex)+2Gx=-e电勺3(解max析式可看做关于ex的二次函数,故配方求最值)g(xL=3,所以a3答案：a-3a2.例2：函数f(x)=lnx-,假设f(x)x在(1,-hc止恒成立,那么a的取值范围是x思路：恒成立的不等式为lnx-ax2,便于参数别离,所以考虑尝试参变别离法xa233斛：lnxxxlnx-a二x：=axlnx-x,其中x二11,二x33二只需要aA(xlnxxax,令g(x)=xlnxx,21g(x)=1+lnx-3x(导函数无法直接确定

6、单调区间,但再求一次导即可将lnx变为一,所以一阶x一一、,一、一,一、,一一一一.、.导函数的单调性可分析,为了便于确定g(x)的符号,不妨先验边界值).八1-1-6x2一g(1)=2,g(x)=6x=0,(判断单调性时一定要先看定义域,有可能会xx简化判断的过程),.,_,、.,.,g(x)在(1,代)单倜递减,:g(x)0时,2aM3x_1+43由,而4xmin3333x-1=3x-1-2,3x14x4x4x=2,2aM2na1;当x=0时,不等式恒4H33,而3x1=1-3x-4x.4x-2,3成立；当x0时,2a之3x+l+-4xmax2a之2=a之T综上所述：TMaw1答案：-1a

7、1小有话说：(1)不等式含有绝对值时,可对绝对值内部的符号进行分类讨论,进而去掉绝对值,在此题中对x进行符号讨论一举两得：一是去掉了绝对值,二是参变别离时确定不等号的是否变号.(2)在求x解析式最值时根据式子特点巧妙使用均值不等式,替代了原有的构造函数求导出最值的方法,简化了运算.(3)注意最后确定a的范围时是三局部取交集,由于是对x的取值范围进行的讨论,而无论x取何值,a的值都要保证不等式恒成立,即a要保证三段范围下不等式同时成立,所以取交集.,fix-4m2f(x)f(x-1)4f(m)m2.3例4:设函数f(x)=x-1,对任意的xu|一,-,2恒成立,那么实数m的取值范围是思路：先将不

8、等式进行化简可得:2x)一ImJ_1-4m2(x2-1)W(x-ll+4(m2-1),即口-4m2x2m203解得:-二一U二二2一2答案:1-斗母,一2小有话说：此题不等式看似复杂,化简后参变别离还是比拟容易的,从另一个角度看此题所由于用不等式为二次不等式,那么能否用二次函数图像来解决呢？并不是一个很好的方法,二次项系数为关于m的表达式且过于复杂,而对称轴的形式也不利于下一步的计算.所以在解题时要注意观察式子的结构,能够预想到某种方法所带来的运算量,进而做出选择例5：假设不等式x2+2+x3-2x至ax对xw(0,4)恒成立,那么实数a的取值范围是思路:2-3x+2+x-2xax=naix2

9、+2+|x3-2xxmin,令fx二x2+2+|x3-2xx22对值内部进行符号讨论,即一22cfx=x+-+x-2xxx-2,2：x：4x_x2-x2,0：x-2xy=x+2+x2-2在J2,4单调递增,y=x+2+2x2在0,J2单调递减,;可求xx出fxmin=f2=25.a2,2答案：a2,2e2x21e2x-例6：设正数f(x尸,g(x)=,对任意为名(0,f),不等式xegwflJ恒成立,那么正数k的取值范围是()kk1kfxckfxc_思路：先将k放置不等号一侧,可得g(x1了了才,所以个；彳之|_g(x1)max,先求出g(x)的最大值,g(x)=e2(1-x)e可得g(x加(

10、0,1)单调递增,在(1,依)单调递减.故g(x.ax=g(1)=e,所以假设原不等式恒成立,只需kf2%e,不等式中只含k1kfx2)k1k,x1,可以考虑再进行一次参变别离,2之e=efx2,那么只需k1k22e-2Je2x-=2e,-f(x2)min=2ekxxxk1_所以e,W2e解得：k1k例7：函数fx=ax2一2a1xInx,aR,gx=ex答案：k-1-x-1,假设对于任意的XiW(0,X2WR,不等式f(x1产g(X2)恒成立,求实数a的取值范围思路：f(x)含有参数a,而g(x)为常系数函数,且能求出最值,所以以g(x)为入手点:假设f(x1)0解得：x0二g(x通(,0)

11、单调递减,在(0,此)单调递增gxmin=g0=0一2a+1凶+1nxi0时,令x=2aantt2a12a11那么f.=ln.=ln.2+0,与f(x产0矛盾,a.a.a.-,一_.当a0时,2ax10解得乂0时估计f(x)函数值的变化,可发现当XT+g时,ax2(2a+1)x0(平方比一次函数增长的快)在选取特殊值时,由于发现x1时,lnx已然为正数,所以只2a11需刖面两项相消即可,所以解万程ax2(2a+1)x=0=x=2+-0,刚好符aa合反例的要求.例8：假设不等式x+2J2xyWa(x+y)对任意正数x,y恒成立,那么正数a的最小值是()A.1B.2C.21D,2.212思路：此题

12、无论别离x还是别离y都相对困难,所以考虑将x,y归至不等号的一侧,致力于.ix+22xv.一去求x,y表达式的取值：x+2J2xyWa(x+yAa|,从2J2xy入手IX+y人ax考虑使用均值不等式：2j2xy=2jx_2；Wx+2y=x+272Wx+(x+2y)=2xyxy所以a_2答案：B小有话说：(1)在多变量不等式恒成立问题上处理方式要根据不等式特点灵活选择适宜的方法,此题别离a与x,y很方便,只是在求二元表达式最值上需要一定的技巧.(2)此题在求x+2J2xy的最大值时,还可以从表达式分子分母齐次的特点入手,同时除xyx22xy以x或y：xy1+2表y_厂,在通过换元t=2转化为一元

13、表达式,再求最x值即可.1lnxk例9：函数f(x)=,如果当x至1时,不等式f(x)至恒成立,求头数kxx1的取值范围.一一1lnxk一一-一一一r思路：恒成立不等式为1k-,只需不等号两侧同时乘以x+1即可进行参变别离,xx1一一x11lnx且由于x1,x+10,也不存在不等号变号问题.那么可得：klnx,只需x11Inxmin解：x-13_上=kMx111nxxx1x即只需要kh(1)=10,一,、,一j.g(x)0,g(x)在(1,+笛肉倜递增二g(xmin=g(1)=2.k2答案：k2fx例10：函数f(x)=x+x1nx,右卜亡2,且卜1恒成立,那么k的取x-1大值为.fxxx1n

14、x,xx1nx人xx1nx思路：恒成立不等式k,二k0h(x)x-1xx在(1,2)单调递增.尽管不能够确定零点,但可以通过零点存在性定理大致确实定零点所在的位置.；h(3)=11n30a3b(3,4),使得h(b)=0.,xj1,b)h(x)0=g(x)0,所以g(x)在(1,b)单调递减,在(b,依)单调递增.g(xminnglbjnbbnb,由于h(b)=0即bbb-2,blnb2=0=lnb=b-2,二g(b)=;=b(3,4)kbkmax=3b-1答案：3小有话说：(1)此题的一个重要技巧在于对h(x)零点的“设而不求,在求得h(x)单调增的前提下,判断h(x)的符号零点必不可少,但方程x-lnx-2=0无法求出解.那么卡在这一步是否要放弃重来？不然.可暂用一个变量来表