2019浙江中考数学专题复习4.几何综合题

1、几何综合题类型一与函数结合的证实与计算1.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AB=2,ZABC=120°,动点P在线段BD上从点B向点D运动,PELAB于点E,四边形PEBF关于BD对称,四边形QGDH与四边形PEBF关于AC对称.设菱形ABCD被这两个四边形盖住局部的面积为Si,BP=x:(1)对角线AC的长为S菱形ABCD=；(2)用含x的代数式表示Si;1假设点P在移动过程中满足&=2S菱形ABCD时,求X的值.第1题图解：(1)24；23;【解法提示】菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AB=2,/ABC=120,.zAOB=90,/ABO=60,

2、/.AO=ABsin60=V3,BO=ABcos60T,.AC=2A0=23,BD=2BO=2,S菱形ABCD(2)由题意可得ZABO=60,BP=x,/PEB=90,.BE=BPcos60PE=BPsin60=T,1J3x_2、2V32.当0<XW1时,s=2X4=2",当1<xW2时,2(x-1)2度(x-1)343x_2；333,2综上所述,&=封+色空6+330cx<11<x<2(3).菱形的面积是2小,3c-名3x2=加,解得x1=<2>1(舍去),x2=V2(舍去),-rx2+433x-2-3=V3,解得刈=4+,6>

3、;2(舍去),x2=4-V6,1即假设点P在移动过程中满足S1=S菱形ABCD时,x的值是4,6.2.如图,在4ABC中,AC=BC,4CB=90°,点P是线段BC延长线上任意一点,以AP为直角边作等腰直角zAPD,且/APD=90°,连接BD.ACAB求证.APAD,(2)在点P运动过程中,试问/PBD的度数是否会变化？假设不变,请求出它的度数,假设变化,请说明它的变化趋势;(3)AB=,2,设CP=x,SBD=S试求S关于x的函数表达式;一3.当S=4时,求4BPD的外接圆半径.8(1)证实：如解图,设AD与PB交于点K.CA=BC,/ACB=90,./ABC=45,.

4、PA=PD,/APD=90,zPDK=/PAD=/ABK=45,<zAKB=/DKP, zAKBs/PKD,AKBK,PKDK,AKPK.叱口=ciz,.ZAKP=/BKD,KBDK zAKPs/BKD, .zBDK=/APK,/PAK=/DBK=45, .zABD=/ABK+/DBK=90: .zABD=/ACP,VzADB=ZAPC,zABDs/ACP,ACAB,AP=AD；(2)解：/PBD的度数是定值,恒为45.理由：由(1)可知AAKPABKD, .zPAK=/DBK=45, 在点P运动过程中,/PBD的度数是定值,且/PBD=45(3)解：在RtAABC中,vAB=V2, B

5、C=AC=1,在RtACP中,PA=AC2+PC2=1+x2, .zABDs/ACP,ACPCABBD'/JA/2bd,.BD=x,s=saabd+s以pds抽bp=2V2V2x+21i+x2Y1+x25(1+x)1=5x2+2x如解图,取AD的中点O,连接OB、OP.第2题解图VzABD=/APD=90,.OB=OA=OP=OD,点O是APBD的外接圆的圆心,c3S=8,1213./+2x=8.一1.3.解得x=2或一2舍去,1.pc=2.由(2)可知BD=V2x,2- BD=2,在RtAABD中,AD=,AB2+BD2=柩zAPB=1802%;+学2=节,- OD=1AD=,.-.

6、/PBD的外接圆的半径为手.3.如图,点P在/MON的平分线上,且OP=2,以P为顶点作/APB,与/MON的两边分别交于点A、B,其中/APB绕点P旋转时,始终满足OAOB=OP2.1/MON=%求/APB的度数用含0c的代数式表示；2如图,假设/MON=90°,求出四边形OAPB面积的最小值.解：(1)OAOB=OP2,OAOP,OPOB,.OP平分/MON, .zAOP=/POB,.zAOPs/POB, .zFAO=/BPO, .zAPB=ZAPO+/BPO=ZAPO+/FAO,在AAPO中,由三角形内角和定理得：/APO+/PAO=180l/AOP,1-zMON=%-zAOP

7、=2%,(2) ,.*(a/AO-VbO)2=AO-2aJaOBO+BO>Q.AO+BOA2.AOBO=2OP2=4,第3题解图如解图,过点P作PGOM、PHXON,垂足分别为G、H, .zMON=90,OP平分/MON,.PG=PH,/POH=45, S四边形apbo=Spo+Sob=2oAPG+2oBPH=2(OA+OB)PH,-J、, S四边形apbo2X4PH=2PH,.OP平分/MON,/MON=90,又/PHO=90,PO=2,.PH=OH=也, S四边形apboA2也,即四边形APBO面积的最小值为2啦.4.如图,正方形ABCD的边长为1,P是对角线AC上任意一点,E为AD

8、上的点,且/EPB=90,PMXAD,PNXAB.(1)求证：四边形PMAN是正方形；(2)求证：EM=BN;(3)假设点P在线段AC上移动,其他不变,设PC=x,AE=y,求y关于x的解析式,并写出自变量x的取值范围.(1)证实：.四边形ABCD是正方形,.zBAD=90,AC平分/BAD,.PMXAD,PNXAB,.PM=PN,/PMA=/PNA=90,四边形PMAN是矩形,.PM=PN,四边形PMAN是正方形；(2)证实：:四边形PMAN是正方形,.PM=PN,/MPN=90,VzEPB=90,.zMIPE=/NPB,在AEPM和ABPN中,/PME=/PNB?PM=PN,M/MPE=/

9、NPB/.zEPMBPN(ASA),.EM=BN;(3)解：如解图,过P作PFLBC于F,第4题解图四边形ABCD是正方形,./ABC=90,AB=BC=1,/PCF=45,AC="l2+12=也,注CF是等腰直角三角形,c2.AP=AC-PC=2x,BN=PF=»x,2.EM=BN=2x>./FAM=45,/PMA=90,/APM是等腰直角三角形,AP=V2AM=向AE+EM),2即也一x=啦(y+2x),解得y=1-V2x,.x的取值范围为0.考,.y=1-2x(0x5c22).5.在AABC中,/BAC=90,AB=AC=10吸,直线MN过点A且MN/BC,以点

10、B为一锐角顶点作Rt2DE,/BDE=90；且点D在直线MN上(不与点A重合),如图,DE与AC交于点P,设BD=x,DP+BC=y,cos9DP=z.(1)小强同学通过几何画板画图及测量得到以下近似数据：x25303540y45505560z0.40.330.290.25猜测y关于x的函数表达式,z关于x的函数表达式,并给出证实；(2)如图,DE与CA的延长线交于点P,以上y关于x的函数表达式仍成立吗？请证实；(3)如图,DE与AC的延长线交于点P,BD与AP交于点Q,假设此时x=BD=2即,求S丛bq的值.MAN第5题图图图£第5题图10解：1y关于x的函数表达式为y=x+20,

11、z关于x的函数表达式为z=q,x证实：如解图,过点D作DFLAD交AB于点F,交BC于点G,.AD/BC,/ABC=45, .zBAD=/AFD=45, /ADF是等腰直角三角形,.AD=DF,/DAP=45°+90=135；/DFB=18045=135, zBDP=/ADF=90, .zADP=/FDB,在AADP和AFDB中,ZADP=ZFDBAAD=FDI/DAP=/DFB zADPyDB,.DP=BD=x,.AB=AC=10亚,/BAC=90,.BC=AB2+AC2=20,.y=x+20,.AD/BC,.DG=¥aB=喙X1电=10,DG10在Rt/IBDG中,co

12、s/BDG=db=x,.zADP=/BDG,10.z=cosZADP=cosZBDG=TT;xMD4第5题解图(2)y关于x的函数表达式仍然成立,第5题解图如解图,过点D作DFLMN,交AB延长线于点F,.由(1)知/BAD=45,.zAFD=45,.DA=DF,zFDB+/BDA=90,/BDA+/ADP=90,.zFDB=/ADP,zDAP=90/BAD=45,在AADP和AFDB中,1/DAP=/DFBDDA=DFA/ADP=/FDBzADPyDB,.DP=BD=x,.BC=20,-y=x+20成立;第5题解图(3)如解图,过点B作BT±MN于点T,.MN/BC,/ABC=45

13、,.zTAB=ZABC=45,.AB=10业.AT=BT=10,.BD=20也,在Rt空TD中,DT=bD2BT2=10g,.MN/BC,./AQDsJCQB,AQAD,QCBC,AQDT-AT.=AC-AQBC,aq10V7T0.10y2-AQ20'402-1014解得AQ=3,11S四bq=2Abaq=2X10V2402-1014400-100.7类型二几何图形中的证实与计算1.如图,在矩形ABCD中,AD=6,DC=8,菱形EFGH的三个顶点E,G,H分别在矩形ABCD的边AB,CD,DA上,AH=2,连接CF.(1)假设DG=2,求证：四边形EFGH为正方形；(2)假设DG=6

14、,求4FCG的面积.第1题图(1)证实：.四边形EFGH为菱形,.HG=EH,.AH=2,DG=2,.DG=AH,在Rt/DHG和RtAAEH中,fHG=EH?,DG=AH.Rt/DHG小tAAEH, .zDHG=/AEH, zAEH+/AHE=90, zDHG+/AHE=90, SHE=90,四边形EFGH为正方形；(2)解：如解图,过点F作FQLCD交DC的延长线于Q,连接GE,第1题解图 四边形ABCD为矩形,.AB/CD, .zAEG=/QGE,即/AEH+/HEG=/QGF+/FGE, 四边形EFGH为菱形,.HE=GF,HE/GF, .zHEG=/FGE, ./AEH=/QGF,在

15、AAEH和AQGF中,A=/QA/AEH=/QGF,IHE=FG .zAEHyGF, AH=QF=2, DG=6,CD=8, CG=2,-1-1- S4cg=20GFQ=2-2X2=2.2.如图,AABC中,AB=AC,CD平分/ACB交AB于D,延长AC至UE,使得CE=BD,连接DE交BC于F.(1)求证：CE=2CF;(2)当/A=60°,AB=6,将ACEF绕点C逆时针旋转角o(0°层360°,得到CE'F',当点F恰好落在直线AC上,连接BE；求此时BE'的长.(1)证实：如解图,过D作DG/BC交AC于G,.CD平分/ACB,/

16、.zACD=ZBCD,.DG/BC,.zGDC=/BCD, ./GDC=/GCD,B第2题解图 .DG=GC.AB=AC,.a/ACB,.DG/BC, .zADG=/B,/AGD=/ACB, .zADG=/AGD,.AD=AG,/.BD=CG,vCE=BD,/.CG=CE, .DG/BC,CF是AEDG的中位线,.DG=2CF,.CE=CG=DG=2CF;(2)解：当点F旋转到线段AC上点F处时,如解图所示, .zF'CE'"FCE=120；/ACD=30, zDCE'=90=/CDB,.AB/CE； .BD=CE=CE',.四边形BDCE是矩形,.B

17、E'=CD=*AB=岑X6=3/3;RB图图第2题解图当点F旋转到线段AC的延长线上的点F处时,如解图,连接AE；易得四边形ADCE是矩形,.AE'=DC=3V3,/EAC=30,/BAE'在RtMBE'中,由勾股定理得BE=/aB2+AE=62+(3/3)2=37.3.如图,在？ABCD中,ACLCD,点E在射线CB上,点F在射线DC上,且/EAF=/B.当/BAD=135°时,假设点E在线段CB上,点F在线段DC上,求证:be+t22df=ad；当/BAD=120°时,假设点E在线段CB上,点F在线段DC上,求AD、BE、DF之间有怎样的

18、数量关系？并证实你的结论;当/BAD=120°时,连接EF,直线AF与直线BC交于点Q,当AB=3,第3题图BE=2时,请分别求出(1)证实：./BAD=135,且/BAC=90,.zCAD=45；即AABC、ADC都是等腰直角三角形;.AD=AC,且/D=/ACB=45;又/EAC=/DAF=45/FAC,zAECs/AFD,.AEECAC12、.AF=FD=AD=M即EC=2FD.BC=BE+gDF,即BE+孝DF=AD;(2)解:2BE+DF=AD;理由如下:如解图,取BC的中点G,连接AG;第3题解图易知：/DAC=/BCA=30,/B=/D=60;在RtAABC中,G是斜边

19、BC的中点,那么：ZAGE=60,AD=BC=2AG;zGAD=/AGE=60=/EAF,.zEAG=/FAD=60-ZGAF;又.zAGE=/D=60,AGEG1.zAGEs/ADF,得：=ADFD2即FD=2EG;.BC=2BG=2(BE+EG)=2BE+2EG=2BE+DF,即AD=2BE+DF;(3)解：在RtAABC中,/ACB=30,AB=3,那么BC=AD=6,EC=4.当点E、F分别在线段BC、CD上时,如解图,过F作FHXBQ于H;同(2)可知：DF=2EG=2,CF=CD-DF=1;,一一1_3在Rt3FH中,/FCH=60,CH=2,FH=1_易知：ADFsZqcF,由D

20、F=2CF,可得CQ=/AD=3;.EQ=EC+CQ=4+3=7;人上-93在Rt任FH中,EH=EC+CH=2,FH="；由勾股定理可求得：EF=21;当点E、F分别在CB、DC的延长线上时,如解图；分别过点A、F作BC的垂线,垂足分别为M、N,VzEAF=ZGAD=60,.zEAG=/FAD=60+/FAG,又/EGA=/D=60:EGAG1.zeags/fad,得：市=而=2；即FD=2EG=10,FC=10-CD=7;在Rt/TCN中,/FCN=60,7,3“71易求得FN=2,NC=2,GN=2；333在等边AABG中,AMXBG,易求得AM=2>MG=2,MN=MG

21、-GN=1;由AMQsfNQ,得:AMMQ372FNNQ7,即310,MQ10,一一一一3319EQ=EB+BM+MQ=2+2+10=5；由勾股定理得EF=标；19综上可知：EQ=7或占,EF=妙或寸57.5图图第3题解图4.如图,4ACB和4DCE为等边三角形,点A,D,E在同一条直线上,连接BE.(1)求证：AD=BE;(2)求/AEB的度数；(3)如图,假设4ACB和4DCE为等腰三角形,且/ACB=/DCE=90°,点A,D,E在同一条直线上,CMLDE于点M,连接BE.计算/AEB的度数；写出线段CM,AE,BE之间的数量关系,并说明理由.图图第4题图(1)证实：:ACB和

22、DCE均为等边三角形,.CA=CB,CD=CE,/ACB=/DCE=60：.zACD=/BCE,在AACD和BCE中,AC=BCA/ACD=/BCE.zACDWBCE(SAS),.AD=BE.(2)vAACDABCE .zADC=/BEC. .RCE为等边三角形, .zCDE=/CED=60: 点A,D,E在同一条直线上, .zADC=120: .zBEC=120；.zAEB=/BEC/CED=60:(3)如解图,zACB和DCE均为等腰直角三角形,且/ACB=/DCE=90,.CA=CB,CD=CE,/ACD=/ACB/DCB=/DCE/DCB=/BCE,在AACD和BCE中,CA=CBA/ACD=/BCE,ICD=CE/.zACDBCE(SAS),.AD=BE,/ADC=/BEC. RCE为等腰直角三角形, .zCDE=/CED=45: 点A,D,E在同一直线上, .zADC=135；.zBEC=135；azAEB=/BEC-/CED=90,第4题解图VCD=CE,CMDE于M,.DM=ME,VzDCE=90,