3目标规划模型

1、5.3目标规划模型1.目标规划模型概述1）引例目标规划模型是有别于线性规划模型的一类多目标决策问题模型，通过下面的例子，我们可看出这两者的区别。例1某工厂的日生产能力为每天500小时，该厂生产A、B两种产品，每生产一件A产品或B产品均需一小时，由于市场需求有限，每天只有300件A产品或400件B产品可卖出去，每出售一件A产品可获利10元，每出售一件B产品可获利5元，厂长按重要性大小的顺序列出了下列目标，并要求按这样的目标进行相应的生产。（1）尽量避免生产能力闲置；（2）尽可能多地卖出产品，但对于能否多卖出A产品更感兴趣；（3）尽量减少加班时间。显然，这样的多目标决策问题，是单目标决策的线性规划

2、模型所难胜任的，对这类问题，须采用新的方法和手段来建立对应的模型。2）相关的几个概念（1）正、负偏差变量d、d正偏差变量d7示决策值Xi（i=12"，n）超过目标值的部分；负偏差变量d表示决策值Xi（i=12，n）未达到目标值的部分；一般而言，正负偏差变量d+d的相互关系如下：当决策值Xi（i=12，n）超过规定的目标值时，d>0,d=0；当决策值Xi（i=1，2,，n）未超过规定的目标值时，d=0，d0；当决策值Xi（i=12，n）正好等于规定的目标值时，d=0，d=0。（2）绝对约束和目标约束绝对约束是必须严格满足的等式约束或不等式约束，前述线性规划中的约束条件一般都是绝对

3、约束；而目标约束是目标规划所特有的，在约束条件中允许目标值发生一定的正偏差或负偏差的一类约束，它通过在约束条件中引入正、负偏差变量d+d-来实现。（3）优先因子（优先级）与权系数目标规划问题常要求许多目标，在这些诸多目标中，凡决策者要求第一位达到的目标赋予优先因子P1,要求第二位达到的目标赋予优先因子P2,，并规定Pk»Pk由，即Pk+级目标的讨论是在Pk级目标得以实现后才进行的（这里k=1,2,，n）。若要考虑两个优先因子相同的目标的区别，则可通过赋予它们不同的权系数Wj来完成。3）目标规划模型的目标函数目标规划的目标函数是根据各目标约束的正、负偏差变量d+、d和其优先因子来构造的

4、，一般而言，当每一目标值确定后，我们总要求尽可能地缩小与目标值的偏差，故目标规划的目标函数只能是minz=f(d+,d-)的形式。我们可将其分为以下三种情形：(D当决策值Xi(i=1,2,，n)要求恰好等于规定的目标值时，这时正、负偏差变量d+d"都要尽可能小，即对应的目标函数为：minz=f(d+d-)；(2)当决策值Xi(i=1,2,1n)要求不超过规定的目标值时，这时正偏差变量d要尽可能小，即对应的目标函数为：minz=f(d+)；(3)当决策值Xi(i=1,2,，n)要求超过规定的目标值时，这时负偏差变量d一要尽可能小，即对应的目标函数为：minz=f(d1。目标规划数学模型

5、的一般形式为：LKminz-工Piwldjwkdk）l1kTncCkjXj十dkd：=gk,（k=1,2,，k,gk为相应的目标值.）jVn0ajXjE（=,之）bi,（i=1,2,，m）jvXj至0,（j=1,2，n）且满足：,dk-d：之0,（k=1,2，K）有了以上的讨论，在例1中，设x1,X2分别表示产品A、B的生产数量，d表示生产能力闲置的时间，d1+表示加班时间，d表示产品A没能达到销售目标的数目，d表示产品B没能达到销售目标的数目。因要求尽量避免生产能力闲置及尽量减少加班时间，故有目标约束条件为：X1+X2+dd1=500(d-、d1要尽可能小),又要求尽可能多地卖出产品，故有目

6、标约束条件为：X1+5=300,x2+d3=400(d2、d3要尽可能小)，多卖出A产品的要求可体现在目标函数的权系数中，于是可得到例1的目标规划模型为：minz=P1dl_2P2d2-P2d3-P3dlXi+X2+dT-d：=500Xi+d2-=300X2+d3-=400且满足目标约束：x1,X2,dr,d2-,d3-，d/>02.应用实例例1.职工的调资方案问题1)问题的提出某单位领导在考虑本单位职工的升级调资方案时，要求相关部门遵守以下的规定：(1) 年工资总额不超过60000元；(2) 每级的人数不超过定编规定的人数；(3) n、山级的升级面尽可能达到现有人数的20%(4) 山级

7、不足编制的人数可录用新职工，又I级的职工中有10%勺人要退休相关资料汇总于下表中，试为单位领导拟定一个满足要求的调资方案。等级工资额(元/年)现有人数编制人数I20001012n15001215m100015'5合计37422)模型分析与变量假设显然这是一个多目标规划的决策问题，适于用目标规划模型求解，故需要确定该问题与之对应的决策变量、目标值、优先等级及权系数等。设x1、x2、x3分别表示提升到I、n级和录用到山级的新职工人数,由题设要求可确定各目标的优先因子为：P1年工资总额不超过60000元；P2每级的人数不超过定编规定的人数;P3n、山级的升级面尽可能达到现有人数的20%=60

8、000下面再确定目标约束，因要求年工资总额不超过60000元，所以有:20000(10-10X10%+x1)+1500(12-X1+X2)+1000(15-x2+x3)+d1-d1且正偏差变量d1要尽可能小，又第二目标要求每级的人数不超过定编规定的人数，所以，对I级有：10(1一0)+X1+d12+=12,且正偏差变量d：要尽可能小;对n级有：12-X1+x2+d3-d3=15,且正偏差变量d3要尽可能小；对山级有：15一X2+刈+d"-武/5,且正偏差变量d4Z尽可能小;对第三目标一一n、山级的升级面尽可能达到现有人数的20%我们有：小+必一-*=12乂2。,且负偏差变量d5-要尽

9、可能小；X2-九+=15*20%,且负偏差变量d6-要尽可能小；3）模型的建立由此，我们可得到该问题的目标规划模型为：minz=PidiP2（d2d3d4）P3（d5"d6"）且满足:2000(9X1)1500(12-x1x2)1000(15-x2x3)dj-d；x1d2-d2-x1x2d3-d3-x2x3d4-d4xd5-d5x2d6-d6xi,d-,dj_0(i=1,2,3;j=123,4,5,6)=60000-2.4=3求解后可得到该问题的一个多重解，并将这些解汇总于下表中，以供领导根据具体情况进行决策:变量含义解1解2解3解4x1晋升到I级的人数2.42.433x2

10、晋升到n级的人数3335*3晋升到山级的人数0335d工资总额的节余数6300330030000d2一I级缺编人数0.60.600d3一n级缺编人数2.42.431d4一山级缺编人数300.60d5十n级超编人数0000.6d6+山级超编人数0002例2.物资的调运安排问题1）问题的提出有一供需不平衡（供应量需求量）的物资调运问题如下表所示：请为其制订物资调运方案，使之满足以下的目标要求：P1尽量保证满足重点客户B3的需求指标;P2要求总运费不超过预算指标66M104元;P3至少满足客户B1，B2，B3需求指标的80%P4由A3至B1的运输量按合同规定不少于1万吨;P5A至B3的道路危险，运量

11、要减少到最低点。口运彳补仓库B1B2B3供应量（万吨）A1C11C2C35A2C218A3C31C32Ce37需求量（万吨）86102）模型分析与变量假设这仍然是一个多目标决策规划问题，虽然未给出给出仓库到客户之间的单位运价，但这并不影响我们的分析与建模。设从仓库故从仓库A（i因此，di0,d1之0(i=1,2,3),于是有:Xii'X21-X31di=8X12X22X32d2=6又目标A为:X13尽量保证满足重点客户X23X33d3r10B3的需求指标，故有:A（i=1,2,3）调拨到客户Bj（j=1,2,3）的货运量为Xij,因该问题的供应量小于需求量,二1,2,3）调拨到客户Bj

12、的货运量刈+X2j+X3j（j=1,2,3）不可能超过所要求的需求X13+X23+X33+d4一d4=10且d4,d4都要尽可能小;对目标P2：因要求总运费不超过预算指标66M104元，故有：334cijxijd5-d5-6610.一世，且d5应尽可能小；对目标P3:因要求至少满足客户Bl，B2，B3需求指标的80%故有：x11x21x31d6d6=880%x12x22x32d7f-d7=680%X13+x23+x33+d8-d8+=10M80%且d1（i=6,7,8）应尽可能小；对目标P4因要求由A3至B1的运输量按合同规定不少于1万吨，故有：x31+九一一媪=1,且d9应尽可能小；对目标P5因A1至B3的道路危险，而要求运量要减少到最低点，故有：x13-或，=0,且d10应尽可能小；另外，从仓库Ai调拨到客户B1，B2，B3的货运量xi1*为2+为3（1=123）不可能超过该仓库的供应量，所以有：x11x21x31Xi2-Xi3<5x22F23三8x32-x33<73）模型的建立与求解至此，我们得到该“物资调运安排问题”的目标规划模型为:minz=R(d4d4)P2d52