《数值计算方法》试题集和答案(1_6)2

1、计算方法期中复习试题、填空题:1、已知f(1)1.0,f(2)1.2,f(3)1.3,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得31f(x)dx,用三点式求得f(1)答案2、f1,f(2)2,f(3)1,则过这三点的二次插值多项式中x2的系数为拉格朗日插值多项式为。11答案：-1,L2(x)2(x2)(x3)2(x1)(x3)2(x1)(x2)3、近似值x*0.231关于真值x0.229有(2)位有效数字;4、设f(x)可微，求方程xf(x)的牛顿迭代格式是()xn1答案xnf(xn)19)5、对f(x)x3x1,差商f0,1,2,3(1),f0,1,2,3,4(o)；6、计算方法主要研究(截断)误差和

2、(舍入)误差;7、用二分法求非线性方程f(x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为2n18、已知f(1)=2,f(2)=3,f(4)=,则二次Newton插值多项式中x2系数为(11、两点式高斯型求积公式110f(x)dx=(0f(x)dx131-.31二f()f()22432鸳3)，代数精12、为了使计算346y1023x1(x1)(x1)的乘除法次数尽量地少,应将该表达式改写为y10(3(46t)t)t,t,为了减少舍入误差，应将表达式W2研vT999改写为J2501VT9990313、用二分法求方程f(x)xx10在区间0,1内的根，进行一步后根的所在区间为，1,进行两步后

3、根的所在区间为,。114、计算积分0.5'xdx，取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为,用辛卜生公式计算求得的近似值为,梯形公式的代数精度为，辛卜生公式的代数精度为/。15、设f(0)0,f(1)16,f(2)46,则l1(x)l1(x)x(x2)_,f(x)的二次牛顿插值多项式为_N2(x)16x7x(x1)_0bnf(x)dxAkf(xk)16、求积公式ak0的代数精度以(高斯型)求积公式为最高，具有(2n1)次代数精度。517、 已知f(1)=1,f(3)=5,f(5)=-3,用辛普生求积公式求1f(x)dx=(12)。18、 设f(1)=1,f(2)=2,f(3)=0,

4、用三点式求f()。19、如果用二分法求方程x3x40在区间1,2内的根精确到三位小数，需对分(10)次。x30x1S(x)1(x1)3a(x1)2b(x1)c1x320、已知2是三次样条函数，则a=(3),b=(3),c=(1)。21l0(x),l1(x),ln(x)是以整数点x0,x1,Xn为节点的Lagrange插值基函数，则nn1k(x)xklj(xk)k0(1),k0(xj),当n2时n(x4x23)lk(x)42k0(xx3)022、区间a,b上的三次样条插值函数S(x)在a,b上具有直到2阶的连续导数。24、若用二分法求方程fx23、改变函数f（x）Vx1xx（x1）的形式，使计算

5、结果较精确0在区间1,2内的根，要求精确到第3位小数，则需要对Sx25、设2x3,0x132xaxbxc，1x2是3次样条函数，则a=3,b=-3,c=1。1exdx626、若用复化梯形公式计算0,要求误差不超过10,利用余项公式估计，至少用477个求积节点427、若f(x)3x2x1,则差商f2,4,8,16,32328数值积分公式121f(x)dx-f(1)8f(0)9f(1)的代数精度为2选择题1、三点的高斯求积公式的代数精度为（B）oA.2B.5C.3D.42、舍入误差是（A）产生的误差。A.只取有限位数B.模型准确值与用数值方法求得的准确值C.观察与测量D.数学模型准确值与实际值3、

6、是冗的有（B）位有效数字的近似值。A.6B.5C.4D.74、用1+x近似表示ex所产生的误差是（C）误差。A.模型B.观测C.截断D.舍入x5、用1+3近似表示曲x所产生的误差是（D）误差。A.舍入B.观测C.模型D.截断6、-324.7500是舍入得到的近似值，它有(C)位有效数字。A.5B.6C.7D.87、设f(-1)=1,f(0)=3,f(2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为(A)。A.-0.5B.0.5C.2D.-28、三点的高斯型求积公式的代数精度为(C)。A.3B.4C.5D.29、(D)的3位有效数字是X102。(A)X103(B)X10-2(C)(D)X10-110、用

7、简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成x=(x),则f(x)=0的根是(B)。(A)y=(x)与x轴交点的横坐标(B)y=x与y=(x)交点的横坐标(C)y=x与x轴的交点的横坐标(D)y=x与y=(x)的交点11、拉格朗日插值多项式的余项是(B),牛顿插值多项式的余项是(C)。(A)f(x,x0,x1,x2,Rn(x)f(x)(B),xn)(xx1)(xx2)-(xxn1)(xxn),f(n1)()Pn(x)f(n1)!(C)f(x,x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn),(D)Rn(x)f(x)Pn(x)f(n1)()(n1)!n

8、1(x)12、用牛顿切线法解方程f(x)=0,选初始值x0满足(A),则它的解数列xnn=0,1,2,一定收敛到方程f(x)=0的根。(A)f(x0)f(x)0(B)f(x0)f(x)0(C)f(x0)f(x)0(D)f(x0)f(x)013、为求方程x3x21=0在区间口内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A)。c11x,迭代公式：xk1j(A)x1xk1(B)，迭代公式:xk1x1xk(C)x2,迭代公式：xk1(12、1/3xk)(D)x2,迭代公式：xk12xkxk14、在牛顿-柯特斯求积公式:bf(x)dx(baa)Ci(n)0f(xi)(n)

9、I-,中，当系数Ci是负值时,公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当()时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。(4)(1)n8,(2)n7,(3)n10,23、有下列数表(1)二次;(2)三次;(3)四次;(4)五次15、取向1.732计算x(石1)4卜列方法中哪种最好(A) 2816.3；(B) (4273)2.C)(416_2扬2；(D)_16_(77i)4S(x)26、已知3x_3_2(x1)a(x2)24是三次样条函数，则a,b的值为(A)6,6;(B)6,8;(C)8(D)8,8。x012f(x)-2-12所确定的插值多项式的次数是(0Xi123f(Xi)-116、由下列数表进行Newt

10、on插值，所确定的插值多项式的最高次数是(3；(A)5；(C)b(B)4；(D)20f(x)dxA#(Xi)a2f(x2)a3f(x3)的高斯(Gauss)型求积公式的代数精度为（(A) 9；(B) 7；(C) 5；(D)3。18、计算有的Newton迭代格式为xk1(A)xk3一x2丫xk12 xk；(B)xk232xk；(C)xkxk23 xk；(D)Xk1xk34 xk019、用二分法求方程4x2100在区间1,2内的实根，要求误差限为103则对分次数至少为(A)10;(B)12(C)8(D)9。20、设1i是以xkk(k9kli（k）0,1,L为节点的Lagrange插值基函数，则k0

11、(A)x；(B)k;(C)i;(D)1。33、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式，至少具有（）次代数精度(A)5;(B)4;(C)6;(D)3S（x）21、已知x30x232（X1）a（x2）b2x4是三次样条函数，则22的值为（）(A)6,6;(B)6,8;(C)8,6;(D)8,8。35、已知方程x32x50在x2附近有根，下列迭代格式中在x02不收敛的是(A)xk13/2x75.xk1(B)2x353x2222、由下列数据x01234f(x)1243-5确定的唯一插值多项式的次数为（）(A)4;(B)2;(C)1;(D)323、5个节点的Gauss型求积公式的最高代数精度为（）(A)8;(B

12、)9;(C)10(D)11。三、是非题(认为正确的在后面的括弧中打，否则打)1、已知观察值(Xi，yi)(i0,1,2，m)，用最小二乘法求n次拟合多项式Pn(x)时,pn(X)的次数n可以任意取。2、用1-2近似表示cosx产生舍入误差。(XX0)(XX2)3、(X1x0)(x1X2)表示在节点Xi的二次(拉格朗日)插值基函数。(4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。5、矩阵A=135具有严格对角占优。四、计算题:1、求A、B使求积公式11f(X)dXAf(1.11)f(1)Bf()f()的小行回产目22的代数精度尽量高，并求其代数精度；利用此公式求2

13、1dx1X(保留四位小数)。2A2A2B1B21f(x)dx求积公式为19f(1)f(1)8f(112)f(2),，、3当f(x)x时，公式显然精确成立；当f(X)1右=3。所以代数精度为3xi1345f(xi)26542、已知21t2x3ixdx1出1t3119131811391/231123971400.69286分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f(X)的三次插值多项式P3(X),并求f(2)的近似值(保留四位小数)2(x3)(x4)(x5)6(x1)(x4)(x5)L3(X)26(13)(14)(15)(31)(34)(35)(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)(x4)54(41)

14、(43)(45)(51)(53)(54)差商表为xiyi一阶均差二阶均差三阶均差1236245-1-154-101/41P3(x)Na(x)22(x1)(x1)(x3)(x1)(x3)(x4)4f(2)P3(2)5.55、已知xi-2-1012f(xi)42135求f(x)的二次拟合曲线P2(x),并求f(0)的近似值答案:解:ixiYi2xi3xi4xixiYi2xiYi0-244-816-8161-121-11-2220100000313111334254816102001510034341正规方程组为103112P2(x)xx710145a010a21510al310a034a24110

15、311ao一，a1一一71014311p2(x)-yx_3f(0)P2(0)-6、已知sinx区间,的函数表xiYi如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小并求该近似值。答案：解：应选三个节点，使误差M3|R2(x)|3|3(x)|3!尽量小，即应使|3(x)|尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点0.5,06,0.7最好，实际计算结果sin0.638910.596274,sin0.638910.5962740.6)(0.638910.7)1a(0.638910.5)(0.638919-40.55032107、构造求解方程e10x20的根的迭代格式x

16、n1(xn)，n0，1,2，讨论其收敛性，并将根求出来,1xn1xn1104o答案：解：令f(x)10x2,f(0)20,f(1)10e且f(x)ex10f(x)0在(0,1)内有唯一实根.将方程f(x)0变形为则当x(0,1)时(x)x)I(x)|xe10e10故迭代格式1x_xn1(2en)10收敛。取x00.5,计算结果列表如下:n0123xn127872424785877325n4567xn5959935173405259505250086且满足I乂7x6|0.0000009510所以x0.09052500810、已知下列实验数据xif(Xi)试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据解

17、:当0<x<1时，f(x)ex,则1f(x)e，且0e、dx有一位整数.要求近似值有5位有效数字，只须误差R(n)(f)由R(n)(ba)312n2|f()R(n)(ex)e12n2e12n2即可，解得、e10267.30877,6所以n68,因此至少需将0,168等份。12、取节点x0Q"0.5,x21,求函数xf(x)e在区间0,1上的二次插值多项式P2(x),并估计误差解:P2(x)e(x0.5)(x1)(00.5)(01)0.5(x0)(x1)(0.50)(0.51)0)(x0.5)(10)(10.5)一_05_1_2(x0.5)(x1)4e.x(x1)2ex(x

18、0.5)f(x)ex,fx.(x)e,M3m1f(x)|R2(x)|ex故截断误差1P2(x)|,|x(x0.5)(x1)|o14、给定方程f(x)(x1)ex11)分析该方程存在几个根;2)用迭代法求出这些根，精确到5位有效数字;3)说明所用的迭代格式是收敛的。解：1)将方程(x1)ex10(D改写为作函数f1(x)X1,f2(x)e的图形(略)知(2)有唯一根x(1,2)。2)将方程(2)改写为Xk11eXk构造迭代格式X01.5(k0,1,2,)3)(x)1e当x1,2时,(X)(2),(1)计算结果列表如下:k123456789Xk(X)Xex|(x)|e11所以迭代格式Xk1(Xk)

19、(k0,1,2,)对任意X01,2均收敛。15、解：43是f(x)130的正根,f(X)2X，牛顿迭代公式为Xn1Xnx232xnx3Xn1T丁(n0,1,2,)22Xnn123xn取Xo=,列表如下:16、已知f(-1)=2,f(1)=3,f(2)=-4,求拉格朗日插值多项式L2(X)及f(1,5)的近似值，取五位小数。L2(x)2解：(X1)(X2)(11)(12)(x1)(x2)(x1)(x1)34(11)(12)(21)(21)-(X1)(X32)34-(X1)(X2)-(X1)(X1)f(1.5)L2(1.5)310.0416724用牛顿(切线)法求J3的近似值。取X0=,计算三次，

20、保留五位小数。17、n=3,用复合梯形公式求ie*dx、，、，、八一,。的近似值（取四位小数），并求误差估计。解:exdxT31-0e02(e13e23)e11,7342023f(x)ex,f(x)ex,0x1时，If(x)|e|R|exe0.0250.05108至少有两位有效数字。20、（8分）用最小二乘法求形如yxi19253038*a队2的经验公式拟合以下数据:解：span1,x2AT1111_22_22192252312382yT19.032.349.073.3解方程组aTacatyATA其中4339133913529603ATy173.6179980.7项估计其误差。用n8的复化梯形

21、公式（或复化Simpson公式）计算出该积分的近似值。%f解：”()11210-e8210.0013027680.9255577Cb0.0501025解得：0.0501025所以a0.9255577,T(8)hf(a)72f(xk)f(b)k1112(0.88249690.77880080.606530660.53526140.472366550.41686207)0,367879470.6329434322、（15分）万程x0在x1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）xvx1对应迭代格式xn1Vxn1;(2)x11xn1x对应迭代格式11xn；(3)xx31对应迭代格式Xn1x3

22、10判断迭代格式在x01.5的收敛性，选一种收敛格式计算x1.5附近的根，精确到小数点后第三位。解：（1）12(x)-(x1)33，(1.50.181,故收敛;(x)(1.5)。17L故收敛;(3)(x)23x2(1.5)231.52选择(1):x。1.5x11.3572x21.3309x31.3259x41.3249x51.32476x61.3247225、数值积分公式形如10xf(x)dxS(x)Af(0)Bf(1)Cf(0)Df（1）试确定参数A，B，C，D使公式代数精1R(x)0xf(x)dxS(x),并估计误差。4一度尽量高；（2）设f（x）C0，1,推导余项公式A30701c123

23、A,B,B,D解：将f(x)1f(4)()32，x，x,x分布代入公式得：20203020力(为)f(x)构造Herm让e插值多项式H3(x)满足H3(x)f(x)i0,1其中x00,x111一、一/、f(4)()2/八2xH3(x)dxS(x)f(x)H3(x)x(x1)则有：03,4!101x34!0(4)(4)(x1)2dx7记24r27、(10分)已知数值积分公式为:f(x)dx2f(0)f(h)2-'_-'hf(0)f(h)、,试确定积分公式中的参数数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。解：f(x)1显然精确成立;f(x)x时,hxdx0h22h2万0hh211；

24、f(x)2x时,hx2dx02022一hh02hf(x)3x时,hx3dx0h24312_2hh03h;f(x)4x时,hx4dx0h5520h4h204h3126；所以,其代数精确度为3。28、(8分)已知求八0)的迭代公式为:xk1;(xkx00k0,1,2证明：对一切k1，2,xk<a,且序列xk是单调递减的,从而迭代过程收敛xk1证明：2(xk12Jxkaxk,ak0,1,2故对一切k12,xkaxk11a1又工1(1不2(11)1所以xk1xk,即序列xk是单调递减有下界，从而迭代过程收敛29、(9分)数值求积公式0f(x)dx3ff(2)一-2是否为插值型求积公式为什么其代数

25、精度是多少x2x1一p(x)f(1)f(2)解：是。因为f(x)在基点1、2处的插值多项式为1221p(x)dx2f(1)f(2)其代数精度为1。30、(6分)写出求方程4xcosx1在区间0,1的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。(6分)xn1xnCOSxn，n=0,1,2,sin对任意的初值X00，1,迭代公式都收敛。31、(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算产115的近似值，并利用余项估计误差。用Newton插值方法：差分表:10010121111441211510+(115-100)(115-100)(115-121)f'''xf'''3!135100268115100115121115144156290.0016332、（10分）用复化Simpson公式计算积分_50.5100Si6f00.94614588S2124T2f0.94608693S2115S2S10.39310-5S20.94608693sinx或利用余项:3!5!7!9!f(4)xf(4)x72!94!42880nf(4)428805n0.5105