七年级数学培优提高讲义：相交线与平行线

1、七年级数学：相交线与平行线一、知识要点：1 .平面上两条不重合的直线,位置关系只有两种：相交和平行.2 .两条不同的直线,假设它们只有一个公共点,就说它们相交.即,两条直线相交有且只有一个交点.3 .垂直是相交的特殊情况.有关两直线垂直,有两个重要的结论：1过一点有且只有一条直线与直线垂直；2直线外一点与直线上所有点的连线中,垂线段最短.4 .两条直线被第三条直线所截,构成八个角,在那些没有公共顶点的角中,如果两个角分别在两条直线的同一方,并且都在第三条直线的同侧,具有这种关系的一对角叫做；如果两个角都在两直线之间,并且分别在第三条直线的两侧,具有这种关系的一对角叫做；如果两个角都在两直线之间

2、,但它们在第三条直线的同一旁,具有这种关系的一对角叫做.5 .平行公理：经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线.推论：如果两条直线都与第三条直线平行,那么.6 .平行线的判定：两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行简单说成：.两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简单说成：.两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简单说成：.7 .在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线.8 .平行线的性质：两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等.简单说成：.两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等.简单说成：.两

3、条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补.简单说成：.方法指导：平行线中要理解平行公理,能熟练地找出“三线八角图形中的同位角、内错角、同旁内角,并会运用与“三线八角有关的平行线的判定定理和性质定理,利用平行公理及其推论证实或求解.、例题精讲例1.如图(1),直线a与b平行,/1=(3x+70)°,/2=(5x+22)求/3的度数.解：:allb,/3=/4两直线平行,内错角相等Z1+Z3=Z2+Z4=180°平角的定义Z1=Z2等式性质那么3x+70=5x+22解得x=24即/1=14273=180°-/1=38°图1评注：建立角度之间的关系,即建立方程

4、组,是几何计算常用的方法./BED+/D=192图2例2.：如图2,AB/EF/CD,EG平分/BEF,/B+/B-/D=24°,求/GEF的度数.解：AB/EF/CD,/B=/BEF,/DEF=/D两直线平行,内错角相等/B+/BED+/D=192°即/B+/BEF+/DEF+ZD=192°.-2/B+/D=192°等量代换那么/B+/D=96°等式性质8- ZD=24°,/B=60°等式性质即/BEF=60°等量代换EG平分/BEF/GEF=1/BEF=30°角平分线定义2例3.如图3,ABIICD,

5、且/B=40°,/D=70°,求/DEB的度数.解：过E作EF/AB,那么应添出辅助线.AB/CDEF/CD平行公理/BEF=/B=40°/DEF=/D=70°两直线平行,内错角相等/DEB=/DEF-/BEF/DEB=/D-/B=30°评注：证实或解有关直线平行的问题时,如果不构成“三线八角图3而ha,hb,hc分别为对应边上的高线长,例4.锐角三角形ABC的三边长为a,b,c,求证：ha+hb+hcVa+b+c分析：对应边上的高看作垂线段,而邻边看作斜线段证实：由垂线段最短知,ha<c,hba,hc<b以上三式相加得ha+hb+

6、hcva+b+c研究垂直关系应掌握好垂线的性质.1 .以过一点有且只有一条直线垂直于直线.2 .垂线段最短.例5.如图4,直线AB与CD相交于O,EFAB于F,GHCD于H,求证EF与GH必相交.AEGHFDCOB分析：欲证EF与GH相交,直接证很困难,可考虑用反证法.证实：假设EF与GH不相交.EF、GH是两条不同的直线EF/GHEFABGHAB又因GHCD故AB/CD(垂直于同一直线的两直线平行)图(4)这与AB和CD相交矛盾.所以EF与GH不平行,即EF与GH必相交评注：此题应用结论：(1)垂直于同一条直线的两直线平行.(2)两条平行线中的一条直线垂直于第三条直线,那么另一条直线也平行于

7、第三条直线；例6.平面上n条直线两两相交且无3条或3条以上直线共点,有多少个不同交点？解：2条直线产生1个交点,第3条直线与前面2条均相交,增加2个交点,这时平面上3条直线共有1+2=3个交点；第4条直线与前面3条均相交,增加3个交点,这时平面上4条直线共有1+2+3=6个交点；那么n条直线共有交点个数：1+2+3+(n-1)=1n(n-1)2评注：此题是平面上n条直线交点个数最多的情形,需要仔细观察,由简及繁,深入思考,从中发现规律.例7.6个不同的点,其中只有3点在同一条直线上,2点确定一条直线,问能确定多少条直线？解：6条不同的直线最多确定：5+4+3+2+1=15条直线,除去共线的3点

8、中重合多算的2条直线,即能确定的直线为15-2=13条.另法：3点所在的直线外的3点间最多能确定3条直线,这3点与直线上的3点最多有3X3=9条直线,加上3点所在的直线共有：3+9+1=13条评注：一般地,平面上n个点最多可确定直线的条数为：1+2+3+(n-1)=n(n-1)2例8.10条直线两两相交,最多将平面分成多少块不同的区域?3条直线中的第3条直线与另两条直线相交,最多有两个交点,此直线被这两点分成3段,每一段将它所在的区域一分为二,那么区域增加3个,即最多分成2+2+3=7个不同区域；同理：4条直线最多分成2+2+3+4=11个不同区域；10条直线最多分成2+2+3+4+5+6+7

9、+8+9+10=56个不同区域推广：n条直线两两相交,最多将平面分成2+2+3+4+n=1+°n(n+1)=°(n2+n+2)块不同22的区域思考：平面内n个圆两两相交,最多将平面分成多少块不同的区域?例9.平面上n条直线两两相交,求证所成得的角中至少有一个角不大于0180n证实：平面上n条直线两两相交最多得对顶角n(n°X2=n(n-1)对,即2n(n-1)个角2平面上任取一点O,将这n条直线均平行移动过点O,成为交于一点O的n条直线,这n条直线将以O为顶点的圆周角分为2n个(共n对)互不重叠的角：1、2、3、2n由平行线的性质知,这2n个角中每一个都和原来n条

10、直线中的某两条直线的交角中的一个角相等,即这2n个角均是原2n(n-1)个角中的角.假设这2n个角均大于世,那么n18001+2+3+-+2n=360,产生矛盾1、2、3、2n中至少有一个小于180°n即原来的2n(n-1)中至少有一个角不小于18001+2+3+-+2n>2nX=3603条相交,因两直线相交只有评注：通过平移,可以把原来分散的直线集中交于同一点,从而解决问题.例10.(a)请你在平面上画出6条直线(没有三条共点),使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交,并简单说明画法.(b)能否在平面上画出7条直线(任意3条都不共点),使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相

11、交,如果能请画出一例,如果不能请简述理由.解：(a)在平面上任取一点Ao过A作两直线m1与n1.在n1上取两点B,C,在m1上取两点D,G.过B作m2/m1,过C作m3/m1,过D作n2/n1,过G作n3/m,这时m2、m3、n2、n3交得E、F、H、I四点,如下图.由于彼此平行的直线不相交,所以,图中每条直线都恰与另3条直线相交.(b)在平面上不能画出没有3线共点的7条直线,使得其中每条直线都恰与另外3条直线相交.理由如下：假设平面上可以画出7条直线,其中每一条都恰与其它个交点,又没有3条直线共点,所以每条直线上恰有与另3条直线交得的3个不同的交点.根据直线去计数这些交点,共有3X7=21个

12、交点,但每个交点分属两条直线,被重复27条直线是画不出来的.所以,满足题设条件的计数一次,所以这7条直线交点总数为21=10.5个,由于交点个数应为整数,矛盾.三、稳固练习1 .平面上有5个点,其中仅有3点在同一直线上,过每2点作一条直线,一共可以作直线()条A.6B.7C.8D.92 .平面上三条直线相互间的交点个数是()A.3B.1或3C.1或2或3D.不一定是1,2,33 .平面上6条直线两两相交,其中仅有3条直线过一点,那么截得不重叠线段共有()A.36条B.33条C.24条D.21条4 .平面中有n个点A,B,C三个点在一条直线上,A,D,F,E四个点也在一条直线上,除些之外,再没有

13、三点共线或四点共线,以这n个点作一条直线,那么一共可以画出38条不同的直线,这时n等于()(A)9(B)10(C)11(D)12那么共得同旁内角()5 .假设平行直线AB、CD与相交直线EF、GH相交成如图示的图形,A.4对B.8对C.12对D.16对6 .如图,FD/BE,贝U/1+/2-/3=()A.90°B,135°C.150°D,180°7 .如图,AB/CD,/1=72,那么/E与/F的大小关系8 .平面上有5个点,每两点都连一条直线,问除了原有的5点之外这些直线最多还有交点9 .平面上3条直线最多可分平面为个局部.10 .如图,AB/CD/E

14、F,PSGH于P,/FRG=110那么/PSQ=.11 .A、B是直线L外的两点,那么线段AB的垂直平分线与直线的交点个数是.12 .平面内有4条直线,无论其关系如何,它们的交点个数不会超过个.13 .：如图,DE/CB,求证：/AED=/A+/B14,：如图,AB/CD,求证：/B+/D+/F=/E+/G第13题15 .如图,CBAB,CE平分/BCD,DE平分/CDA,/EDC+/ECD=90°,求证：DAAB16 .平面上两个圆三条直线,最多有多少不同的交点？17 .平面上5个圆两两相交,最多有多少个不同的交点？最多将平面分成多少块区域？18 .一直线上少条不同直线?19 .平

15、面上有20 .平面上有到？画出图形.5点与直线外3点,每两点确定一条直线,最多确定多8条直线两两相交,试证实在所有的交角中至少有一个角小于10条直线,无任何三条交于一点,欲使它们出现答案31个交点,23.怎样安排才能办1 .5个点中任取2点,可以作4+3+2+1=10条直线,在一直线上的3个点中任取2点,可作2+1=3条,共可作10-3+1=8条应选C2 .平面上3条直线可能平行或重合.应选D3 .对于3条共点的直线,条不重叠的线段对于3条不共点的直线,每条直线上有4个交点,截彳#3条不重叠的线段,3条直线共有9每条直线上有5个交点,截彳#4条不重叠的线段,3条直线共有12条不重叠的线段.故共

16、有21条不重叠的线段.应选D4 .由n个点中每次选取两个点连直线,可以画出nn0条直线,假设ABC三点不在一条2''直线上,可以画出3条直线,假设A,D,E,F四点不在一条直线上,可以画出6条直线,n(n1)326238.整理得n2n900,(n10)(n90)0.n+9>0n10,二选Bo5.直线EF、GH分别“截平行直线AB、CD,各得2对同旁内角,共4对；直线AB、CD分别“截相交直线EF、GH,各得6对同旁内角,共12对.因此图中共有同旁内角4+6=16对6. FD/BE2=/AGF./AGC=/1-/3./1+Z2-Z3=/AGC+/AGF=180°,

17、/BAD=/CDA两直线平行,选B7,解：AB/CD内错角相等BAD+/1=/CDA+Z2等式性质即/EAD=/FDA.AE/FD/E=/F8.解：每两点可确定一条直线,这5点最多可组成10条直线,又每两条直线只有一个交点,所以共有交点个数为9+8+7+6+5+4+3+2+1=45个又因平面上这5个点与其余4个点均有4条连线,这四条直线共有3+2+1=6个交点与平面上这一点重合应去掉,共应去掉应为45-30=15个9,可分7个局部10.解ABIICDIIEF/APQ=/DQG=/FRG=110°同理/PSQ=/APS./PSQ=/APQ-/SPQ=/DQG-/SPQ5X6=30个交点

18、,所以有交点的个数=110°-90°=20°11.0个、1个或无数个1假设线段AB的垂直平分线就是L,那么公共点的个数应是无数个；2假设ABL,但L不是AB的垂直平分线,那么此时AB的垂直平分线与L是平行的关系,所以它们没有公共点,即公共点个数为0个；3假设AB与L不垂直,那么AB的垂直平分线与直线L一定相交,所以此时公共点的个数为1个12 .4条直线两两相交最多有1+2+3=6个交点13 .证实：过E作EF/BA/2=ZA两直线平行,内错角相等DE/CB,EF/BA./1=/B两个角的两边分别平行,这两个角相等1+/2=/B+/A等式性质即/AED=ZA+ZB1

19、4 .证实：分别过点E、F、G作AB的平行线EH、PF、贝UAB/EH/PF/GQ平行公理.AB/EHGQ,第15题/ABE=/BEH两直线平行,内错角相等同理：/HEF=ZEFP/PFG=/FGQ/QGD=/GDC/ABE+/EFP+/PFG+/GDC=/BEH+/HEF+/FGQ+/QGD等式性质即/B+/D+/EFG=/BEF+/GFD15.证实：DE平分/CDACE平分/BCD,/EDC=/ADE/ECD=/BCE角平分线定义/CDA+/BCD=/EDC+/ADE+/ECD+/BCE=2/EDC+/ECD=180°DA/CB又CBABDAAB16 .两个圆最多有两个交点,每条直线与两个圆最多有4个交点,三条直线最多有3个不同的交点,即最多交点个数为：2+4X3+3=1717 .(1)2个圆相交有交点2X1=1个,第3个圆与前两个圆相交最多增加2X2=4个交点,这时共有交点2+2X2=6个第4个圆与前3个圆相交最多增加2X3=6个交点,这时共有交点2+2x2+2x3=12个第5个圆与前4个圆相交最多增加2X4=8个交点5个圆两两相交最多交点个数为：2+2X2+2X3+2X4=20(2)2个圆相交将平面分成2个区域3个圆相看作第3个圆与前2个圆相交,最多有2X2=4个不同的交点,这4个点将第3个圆分成4段弧,每一段弧将它所在