《向量在几何中的应用》习题

1、一、选择题A.C.2.?向量在几何中的应用?习题平面向量a=(1,2),b=(2,m),且a/b,那么2a+3b=(2,4)2021潍坊五校联考向量B.D.(3,-6)(-5,-10)a=(3,4),b=(x,-3),c=(0,1),假设(a+b)(bc)=0,那么x=A.1或一4B.C.2或一3D.2或3.2021济南针对性练习平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且(ab),a,与b的夹角为c兀B/C27t4.(2021浙江五校联考)|a|=|b|=|a-2b|=1,那么|a+2b|=A.B.3D.25.2021南昌模拟设a,b为平面向量,那么“|ab|=|a|b|"是“a/

2、b的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.O是ABC所在平面内一点,D为BC边中点,且2.七OB+OC=0,那么有A.AO=2ODB.A*ODC.AO=3ODD.2AO=OD7.平面上有四个互异点A,A.直角三角形C.等腰直角三角形8.两点A1,0),B(1,-2OA+入OB(入CR),B,C,D,(DB+DC-2DA)(AB-AC)=0,那么4ABC的形状B.等腰三角形D.无法确定木,O为坐标原点,点C在第二象P且/AOC=1A-2C.1D.19.2021大连二模在ABC43,a,b,c分别为角A,B,C所对应的三角形的边长,假设4aBC+2bCA6

3、3cAB=0,贝UcosB=A.112411B.2429C.36D.293610.设向量a,b,c满足|a|=|b|=1,a-b=等于A.2二、填空题C.21ac,b-c>=60,那么|c|的最大值()D.111. 设向量a=(x,3),b=(2,1),假设对任意的正数3n,向量ma+nb始终具有固定的方向,那么x=.12. (2021南京、盐城模拟)|oA|=1,|oB|=2,/AOB=21,OC='O&；捻那么OAw324OC勺夹角大小为13. (2021成都诊断)如图,在平行四边形ABC邛,BHLCD于=15,假设AE=入EC,贝U入=点H,BH交AC于点E,|BE

4、|=3,AB2-ACAE+ACBE-CBAE14. (2021日照重点中学诊断测试)在4ABC中,A=60°,M是AB的中点,假设AB=2,BC=273,D在线段AC上运动,那么DB-DM勺最小值为.15. (2021合肥质量检测)有以下命题：a,b是平面内两个非零向量,那么平面内任一向量c都可表示为入a+b,其中入,aCR；对平面内任意四边形ABCD点E,F分别为AB,CD的中点,那么2EF=AD+BC;_7a=(1,1),A,B为直线xy2=0上的任意两点,那么AB/a；a与b夹角为6",且ab=*,那么|a-b|的最小值为3-1;a/c是(a-b)-c=a-(b-c)

5、的充分条件.其中正确的选项是(写出所有正确命题的编号).三、解做题16. (2021沈阳调研)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,向量a=(2,1),A(1,0),B(cos0,t).(1)假设a/AB,且|AB|=5|OA|,求向量OB勺坐标;(2)假设a/AB,求y=cos20cos0+t2的最小值.17. (2021潍坊模拟)函数f(x)=sinx+cosx.求函数y=f(x)在xC0,2兀上的单调递增区间；(2)在4ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,m=(a,b),n=(f(C),1),且m/n,求B.18. ABC中内角AB,C的对边分别为a,b,c,向量m=B(2sin

6、B,一73),n=(cos2B,2cos2/1),且m/n.(1)求锐角B的大小；(2)如果b=2,求SAABC的最大值.19. (2021惠州模拟)向量OA=(入cosa,入sina)(入w0),OB=(-sin3,cos3),其中O为坐标原点.兀假设3=a-,求向量0AtlOB勺夹角；(2)假设|AB|>2|OB|对任意实数a,3恒成立,求实数入的取值范围.参考答案：一、选择题1 .解析由a=(1,2),b=(-2,m),且a/b,得1xm=2X(2)?m=4,从而b=(2 ,4),那么2a+3b=(4,8).答案C2 .解析a+b=(3+x,1),bc=(x,4),那么(a+b)(

7、bc)=(3+x)x+1x(-4)=x2+3x-4=0,解得x=1或*=4.应选A.答案A3 .解析由于(a-b)±a,所以(a-b)-a=0,a2-a-b=0,12x1xcosa,b>=0,cosa,b>=；,得a,b>.23答案B4 .解析由|a|=|b|=|a-2b|=1,得a2-4ab+4b2=1,.4ab=4,|a+2b|2=a2+4a-b+4b2=5+4=9,.|a+2b|=3.答案B5 .解析由|ab|=|a|-|b|可得a=0,或b=0,或a与b的夹角为0°或180°,所以由|ab|=|a|b|可推得allb.反之,假设a与b中至

8、少有一个为零向量,那么|ab|=0,|a|b|=0,可推得|ab|=|a|-|b|;假设a与b中没有一个为零向量,那么由allb可得a与b的夹角为0°或180°,可推得|ab|=|a|b|.综上所述,“|ab|=|a|b|"是"a/b的充分必要条件.答案C6 .解析由2O裕OB+OC=0,得.济OC=-2OA=2AQ即.肝OC=20A2AQ所以OD=AQ即.为AD的中点.答案B7 .解析由(DB+DC-2DA)-(AB-AC)=0,得(DBDA+(DCDA(AB-AC)=0,所以(AB+AQ(AB-AC=0.所以|AB|2-|AC|2=0,|AB|=|A

9、C|,故4ABC是等腰三角形.答案B8.解析如缸/AOC=,根据三角函数的定义可设C孚r,2i,其中0.OC=2(W入OB一坐r,2r|=(2,0)+(入,W入),9 .解析由4aBC+2bC-3cAB=0,得4aBC+3cAB=2bCA=2b(BABQ=2bAB+2bBC,所以4a=3c=2b.由余弦定理得cosB=b24b2a2+c2-b2彳+-9b22acb2b2.T1124.答案A110 .斛析.|a|=|b|=1,a-b=一2,向量a,b的夹角为120°.如下图,设OLa,OB=b,OG=c,贝UCA=a-c,CB=b-c,那么/AOB=120°,ZACB=60&

10、#176;,./AOBF/ACB=180°,.A,O,B,C四点共圆,不妨设为圆M.AB=b-a,AB2=a2-2a-b+b2=3,一,一r、-e一,Ldrr一八|AB|,一.平时也由正弦定理,可得AOB的外接圆即圆M的直径2R=嬴右胡2,当|OC|为圆M的直径时,|c|取得最大值2.答案A二、填空题答案B11 .解析当a与b共线时,向量ma+nb始终具有固定的方向,那么1Xx=2X3,所以x=6.答案612 .解析以O为坐标原点,OA所在直线为x轴,与OAii直的直线为y轴建立平面直角坐标系.那么A(1,0),B(1,淄),OC=力4Ob=1-4,设OAOC勺夹角为9C0,1OA-

11、OC41,兀兀,那么cos0=：=<,所以.=牙.J'一一123|OA|OC|2.兀答案V3>13 .解析设AE=AC由题意知AB2AC-科AC+AC-(AG-AB1(ABAC)-AC=15,即AB2(科+1)AG-AB+AG2=15,1得(ABAC)(AB-wAG=15,GB-EB=15,所以|GB|EB|cos/GBhkBH-EB=15,故BH=5,EH=2,得入=BE=3.HE23答案214 .解析在ABG中,设角A,B,G的对边分别为a,b,c,根据余弦定理得a2=b2+c2II-,I、1-2bccosA,即12=b2+4-2b,即b2-2b-8=0,解得b=4.设

12、AA入AG(0<入W1),贝UDB-D阵(ABAD)(AMAD)=(AB-入AG)(AB-入AG)=入2|AG|2入AB-AG+-一,323|AB|2=16入26入+2,当入=花时,16入26入+2最小,最小值为.答案231615.解析对于,注意到当a,b共线时,结论不正确；对于,注意到EF=EA+AD+DF,EF=EB+BG+GF,EA+EB=GF+DF=0,因此2EF=AD+BG,正确；对于,取点A(0,2),B(2,0),那么AB=(2,2),此时AB=(2,2)与a不共线,因此不正确；对于,依题意得|a|b|cos|a|b|=2"ab|2=|a|2+|b|2-273&g

13、t;2|a|b|-273=42班,因此|ab|的最小值是42*=431,正确;对于,注意到,当a/c时,假设a,c中有一个为0,等式显然成立,假设a,c均不为0,可设c=ka,那么有(a-b)-c=(a-b)-ka=a-(b-ka)=a(bc),即由a/c可得(a-b)-c=a-(bc);反过来,由(a-b)-c=a-(b-c)不能得知a/c,因此"a/c"是"(ab)-c=a-(b-c)的充分不必要条件,正确.综上所述,其中正确的选项是答案三、解做题16.解(1)AEJ=(cos0-1,t),又a/AB,2t-cos9+1=0.cos0-1=2t.又.|aB|=

14、泰|qA|,(cos91)2+t2=5.由得,5t2=5,t2=1.t=±1.当t=1时,cos0=3(舍去),当t=1时,cos0=-1,.B(-1,-1),OB=(-1,-1).,cos(2)由(1)可知t=(cos0-1)2y=cos20cos0+4=ycos20-cos0+二=/cos20-cos0:十:424454,当cos八3皿,0=二时,ymin517.解(1)f(x)=sinx+cosx=/sinx+4；,令2k兀一-|-<x+-4-<2k兀+-|-(kZ),得2k兀<x<2k%+-4(kCZ),令k=0,得一年wxw:令k=1,得5wxwY,

15、4444又二x0,2兀,.f(x)在0,2兀上的单调递增区间为0,j,法,2兀.(2)由题意f(C)=sinC+cosC,.,miln,a1-f(C)-b=0,即a=b(sinC+cosC),由正弦定理asinAbsinB得sinA=sinB(sinC+cosC)=sinBsinC+sinBcosC.在ABC中,sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC-sinBsinC=cosBsinC.又sinCw0,sinB=cosB,.一.一_一兀.tanB=1,又.0VB<兀,.B=.18.解(1)miln,B/八2sinB12cos2,一1尸一cos2B,1.sin2B=

16、/cos2B,即tan2B=短.又B为锐角,2BC(0,兀),/_a2+c2b2由余弦正理cosB=2ac'得a2+c2-ac-4=0.又a2+c2>2ac,代入上式,得ac<4,当且仅当a=c=2时等号成立.故$ABC=；acsinB=*acw,当且仅当a=c=2时等号成立,即$ABC的最大彳直为3.19.解(1)设向量0AtlOB勺夹角为.,那么cos0A-OB2|入|'0=|0A|0B|一一,1Tt一一,当入>0时,cos0=2,.=3"；当入<0时,cos0=0=.故当入>0时,23向量0Atl0B勺夹角为入v0时,向量0Atl0B勺夹角为2兀了.(2)|AB|>2|0B|对任意的&,3恒成立,即(入cosa+sin3)2+(Xsina-cos3)2>4对任意的a,3恒成立,即入2+1+2入Sin(3-a)>4对任意的a