5常微分方程组与高阶常微分方程的数值解法

1、§5常微分方程组与高阶常微分方程的数值解法为了简单起见，在此仅研究含有两个一阶常微分方程的初值问题yi=fi(x,yi,V2=f2(x,yi若记yf(x,y)yoy(x0)y2),y(xo)=yio,y2),y2(xo)=y2o(5.1)yiy2fi(x,y)IIf2(x,y)yioIIy2Oyi(xo)IIy2(xo)则（5.1）可以改写为向量的形式yf(x,y)iy(x()=y(5.2)相应地，将前述求解常微分方程初值问题的公式写成向量的形式，就得到常微分方程组的数值解法。K14II1K24例如，求解（5.1）的四阶经典R-K方法为y-kh小2%2小y2,k1y2k6ILK21K

2、22K23其中K11f1(xk,yik,y2k)11=1IK21f2(xk,y1k,y2k)f1(Xkhhh、K1211K222，Wk&K11,y2k2K21)一JhJ、f2(xk二，yk二K11,y2kTK21)222Ki3IIK23一hfi(Xk2,yikh-f2(xk2,yikhh2K12,y2k2K22)hh2K12,y2k2K22)K14h,yikhKi3,y2kha3)11=11K24f2(xkh,yikhKi3,y2khK23)注：教材中yik=yi(Xk),y2k=y2(4)不正确，它们仅当k=0时成立(即初始条件)。对于高阶微分方程，可以化成微分方程组后再求解。例如二

3、阶常微分方程初值问题y=f(x,y,y),y(%)=y0,'y(xo)=y。(5,令Fyi=y,y2二y,则（5.3）可以化为yi二丫2,0（%）=y（）=.V'2'f（x,yi,y2）,y2（%）=y（%）=於金§6边值问题的数值解法本节用最简单的二阶常微分方程问题为例，说明边值问题的数值解法。y=f(x,y,y),xa,b,y(a)，y(b)=.用中心差商代替导数，上述问题可以转化为方程组，然后求解。这种求解方法称为差分法。过程如下:记bah,Xk二X0kh(k二1,2,n),比二an)将一阶和二阶中心差商公式y(x-y(XkO(h2)y(x"2

4、y出o(h2)h22、.中的余项O(h)略去，并用yk-i,yk,yk+i分别替代y(xki)，y(xk)，y(xk+i)，代入方程，便得yki-2yyki=h2f(xk,yk,山)，2hk=1,2,n1,yn=.注意到y0,yn为已知，这是一个含有ni个未知数，n1个方程的方程组。一般情况下，上述方程组是非线性的，求解比较困难。如果f(x,y,y')是y与y的线性函数，则方程组为线性方程组。例2求边值问题yy=x,x0,1,y(0)=0,y:1取步长h=0.1,求数值解。解本例中，f(x,y,y)=yxa=0,b=1,y0=0,yn=11cn=10hxk=0.1k,k=0,1,n分别

5、取k=1,2，n-1,得V2一23y。=0.12(0.1%)I2y3-2y23=0.1(0.2y2)I2-Y102y9y8=0.1(0.9y9)将o=0,yi0=1代入上式，整理后得y2-2.01yi=0.001y32.01y2Vi=0.002Il-2.01y9+y8=0.009-1上述方程组为对角占优的三对角方程组，用追赶法求解，得xnyny(Xn)0.10.0704890.0704670.20.1426840.1426410.30.2183050.2182440.40.2991090.2990330.50.3869040.3868190.60.4835680.4834800.70.5910

6、680.5909850.80.7114790.7114110.90.8470050.846963问题的精确解为y(x)=2(ex_ex)1ee边值问题的定解条件，除y(a)=a,y(b)='称为第一种边界条件外，还有第二种边界条件y(a);,y(b)=,第三种边界条件y(a)-0y(a)=i,y(b)-0y(b)=1,其中“0*0,20/。+0。对于第二、第三种边界条件，也可用数值微分公式对边界条件进行处理，将处理后得到的方程补在相应的方程组中就可以求数值解。例3求边值问题(1x2)y-xy-3y=6x-3,x0,1y(0)-y(0)=i,y(1)=2的数值解，取h=0.2。首先，分别

7、用一阶、二阶差商近似一阶、阶导数，得2(ixj)Yki-2ykyk.ih2-Xkyk1-3yk=6Xk3将Xk=0.2k代入上式，得(10.04k2)yk12ykyki0.2kyk"0.040.4=1.2k-3由边值条件3yk(Dy(0)y(0);y0七yi二Yi0.4y00.4(2)在（1）中令k=0,得0.04Yi2y°y-i3y0)-3(3)yi2yoy/0.12yo0.12将(2)代入(3),并整理，得(4)yi1.26yo=-0.261.26I10I0I00.26-0.06790.02lI0.0169-1.7724再在（1）中取k=1,2,3,4,并将y5=2代入，整理后与（4）组成线