上海高二数学解析几何经典例题

1、上海高二数学解析几何经典例题轨迹方程1、反比例函数y1的图像C是以x轴与y轴为渐近线的等轴双曲线.x(1)求双曲线C的顶点坐标与焦点坐标；(2)设A、A2为双曲线C的两个顶点,点M(xo,y0)、N(yo,Xo)是双曲线C上不同的两个动点.求直线A1M与A2N交点的轨迹E的方程；(3)设直线l过点P(0,4),且与双曲线C交于A、B两点,与x轴交于点Q.当PQ1dA2QB,且i28时,求点Q的坐标.面积一一,一一、,12、在平面直角坐标系xOy内,动点P到定点F(1,0)的距离与P到定直线x4的距离之比为-2(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)假设轨迹C上的动点N到定点M(m,0)(0m2)的

2、距离的最小值为1,求m的值.(3)设点A、B是轨迹C上两个动点,直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为A、B1,且直线OA、3OB的斜率之积等于一,问四边形ABA1B1的面积S是否为定值请说明理由.4定点3、动点P与点F(0,1)的距离和它到直线l:y1的距离相等,记点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设点A0,a(a2),动点T在曲线C上运动时,AT的最短距离为a1,求a的值以及取到最小值时点T的坐标；(3)设P1,P2为曲线C的任意两点,满足OP1OP2(O为原点),试问直线P|P2是否恒过一个定点如果是,求出定点坐标；如果不是,说明理由.定值4、椭圆x2y23C:1(ab0)

3、的右焦点为F1,0,且点P(1,-)在椭圆C上.ab2(1)求椭圆C的标准方程;(2)过椭圆22C:士_y_C1:2cab2531上异于其顶点的任意一点Q作圆O:x2y2-的两条切线,切点分别为3M,N(M,N不在坐标轴上),11,假设直线MN在x轴,y轴上的截距分别为m,n,证实：一2二为定值;3mn2X假设P,P2是椭圆C2：-2a3y231上不同的两点,P1P2x轴,圆E过P,P2,且椭圆C2上任意一点都不b在圆E内,那么称圆E为该椭圆的一个内切圆.试问：椭圆C2是否存在过左焦点E的内切圆假设存在,求出圆心E的坐标；假设不存在,请说明理由.新定义5、曲线C是平面内到直线11:x1和直线l

4、2:y1的距离之积等于常数k2(k0)的点的轨迹,设曲线C的轨迹方程f(x,y)0.(1)求曲线C的方程f(x,y)0；(2)定义：假设存在圆M使得曲线f(x,y)0上的每一点都落在圆M外或圆M上,那么称圆M为曲线f(x,y)0的收敛圆.判断曲线f(x,y)0是否存在收敛圆假设存在,求出收敛圆方程；假设不存在,请说明理由.轨迹方程1、反比例函数y1的图像C是以x轴与y轴为渐近线的等轴双曲线.x(1)求双曲线C的顶点坐标与焦点坐标；(2)设Ai、A2为双曲线C的两个顶点,点M(X0,y0)、N(y0,X0)是双曲线C上不同的两个动点.求直线A1M与A2N交点的轨迹E的方程；(3)设直线l过点P(

5、0,4),且与双曲线C交于A、B两点,与x轴交于点Q.当PQ1QA2QB,且128时,求点Q的坐标.解：(1)顶点：A1(1,1)、A2(1,1),焦点：匕(J2,氏)、F2(J2J2)为焦点2(2)解一：A1M：y1叫(X1),A2N：y1x_(x1)X01y01两式相乘,得y21y01x01,2八12-0(x1).将y0一代入上式,得y1x01y01x0即直线A1M与AN交点的轨迹E的方程为x2y22(x1).1xy2x0,解二：联立直线方程,解得xyyx2y.-xy1xy2yx222oy0,即1,化间,仔xy2.x0xyxy1).所以,直线A1M与A2N交点的轨迹E的方程为x2y22(x

6、(3)直线l斜率不存在或为0时显然不满足条件；设直线l：ykx4,A(x1,y1),B(x2,y2),那么Q(12将ykx4代入y一,得kx4x10,x1x4,4PQ1QA2QB,一,41x1一,y1kk4,0)x24xx2k4412kx14kx248,即k(x1x2)82(kx14)(kx24),解得k2,Q(2,0).一2_得y4yk0iv4.1将x代入ykxb00k2子I-w22vma2yXy2kI44XXXk|4y2X2kI4y2面积12、在平面直角坐标系xOy内,动点P到定点F(1,0)的距离与P到定直线x4的距离之比为-2(1)求动点P的轨迹C的方程;求m的值.A、Bi,且直线OA

7、、(2)假设轨迹C上的动点N到定点M(m,0)(0m2)的距离的最小值为1,(3)设点A、B是轨迹C上两个动点,直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为3OB的斜率之积等于一,问四边形ABA1B1的面积S是否为定值请说明理由.4(1)设P(x,y),由题意,、X|x4|4y212,22所以,动点P的轨迹C的方程为L43N(x,y),那么|MN|2(xm)222y(xm)-x22mx44(x当04m1.2,即0m一时,当x24m时,|MN|2取最小值3(1m2、2一2、一一4m)3(1m),2x2.2解得m当4m2,1即12m2时,当x2时,|MN|2取最小值m24m41,解得1,或m3(舍).解

8、法一：设A(X1,y1),B(X2,y2),那么由koA%Byy2X1X2(1分)|AB|,(x1X2)2(y1y2)2,由于点A、B在椭圆C上,所以2Vi2X12二,V24所以,9x2x216y12y2_22229(4X1)(4X2),化简得X,X2当X1X时,那么四边形2ABA1B为矩形,y2%,那么当X12X1231瓦,解得X22,y；4|,S1ABi|AB|4|%|丫1|当X1X2时,直线AB的方向向量为d(X2X1,y2y1),直线AB的方程为(y2yi)x(X2Xi)y%yXiy20,原点O到直线AB的距离为d|xy2X2%|(X2Xi)2(y2yi)21_所以,AOB的面积SAO

9、B|AB|d2S4sAOB21Xiy2X2yi1,所以,Si.i|Xiy2X2%|,根据椭圆的对称性,四边形、2,722c22、4(Xiy2X2yi)4(Xiy22为*2乂丫2X2yi)ABAiBi的面积2Q22X23222Xi43Xii-XiX23x2i42412(Xi2X2)48,所以S4V3.22x243xi142222dxix1x23x21-4解法三：设A(Xi,yi),B(X2,y?),那么A(X,y1),B1(x2,2由于点A、B在椭圆C上,所以y231Xl,y231422,.i|Xi化简得x1x24.ABA1的面积SABAi-x2形ABAiBi的面积S2SABAi2|Xiy231

10、V1V23y2)由kAkB一,得巫一,4x1x242曳,所以,9xi2x216yi2yf9(4x2)(4x2),4y11I一娓椭口的一吐.y1|xy2X2yi|,根据椭圆的对称性,四边yi1X2Vi|,所以,所以,22S4(XiV2X2Vi)2222、4(Xiy22X1X2ViV2X2Vi)2243x121x2x；3x；142412(x12x2)48,所以S43.所以,四边形ABAiB的面积为定值40,贝U当y0=a-2时,|AT取得最小值为2a1,2,a1=a-1,a2-6a+5=0,a=5或a=1(舍去),所以y=a-2=3,X0=2x1丫2丫1丁,y13m43所以直线MN的方程为x1x4

11、3442一,又点Q在椭圆Ci上,所以()3n3myy4,即0,得m123m;为(3)由椭圆的对称性,不妨设P(m,n),P2(m,n),由题意知,点E在x轴上,设点E(t,0),那么圆E的方程为22232_2(xt)y一x2txt1,42222一一(xt)y(mt)n.由椭圆的内切圆的定义知,椭圆上的点到点E的距离的最小值是RE,设点M(x,y)是椭圆C2上任意一点,那么ME当xm时,2ME最小,所以m2t4t介.假设椭圆C2存在过左焦点F的内切圆,那么杂t2mt22_n.2一一八|2m_又点Pi在椭圆C2上,所以n1.-4由得t垓或t.3,2当tJ3时,m-32,不合题意,舍去,且经验证,t

12、符合题意.332综上,椭圆C2存在过左焦点F的内切圆,圆心E的坐标是,0.2新定义5、曲线C是平面内到直线11：x1和直线l2:y1的距离之积等于常数k2(k0)的点的轨迹,设曲线C的轨迹方程f(x,y)0.(1)求曲线C的方程f(x,y)0；(2)定义：假设存在圆M使得曲线f(x,y)0上的每一点都落在圆M外或圆M上,那么称圆M为曲线f(x,y)0的收敛圆.判断曲线f(x,y)0是否存在收敛圆假设存在,求出收敛圆方程；假设不存在,请说明理由.解：(1)设动点为(x,y),那么由条件可知轨迹方程是x1y1k2；3分(2)设P为曲线C上任意一点,可以证实那么点P关于直线x1、点(1,1)及直线y1对称的点仍在