2019年名校初中自主招生考试数学试题及答案

1、名校初中自主招生测试数学试题本卷总分值120分测试时间90分钟、选择题本大题共8小题,每题5分,总分值40分1 .在如下图的A.4个C.5个12个图形中,轴对称图形有B.3个D.6个rnxo七盘zffi个用#坨曲邙心近目2 .John于早上6点x分钟从A地出发,在当天第1题早上6点y分钟抵达B地.他发现,在这段行程的起点和终点时刻,时针和分针所成的夹角都是110那么John从A地至B地耗时D.44分钟D.-20212,当这个圆按箭头方向从某一位置A.35分钟B.38分钟C.40分钟3 .假设2007m+Jm2021=m,那么m20072=_2A.7B.2021C.20214 .如图,一个等边三

2、角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等沿等边三角形的三边做无滑动旋转,直至回到原出发位置时,那么这个圆共转了A.4圈B.3圈C.5圈D.3.5圈3一5 .如图,点Ap,q0<p<q在反比仞函数y=的图像上,且OA=5,过A作AC,y轴,垂足xOC于点B,连结AB,那么ABC的周长为为C,线段OA的垂直平分线交一226 .二次函数y=-x+6x-7,当x取值为tEx<t十2时有最大值y=-t-3+2,那么t的取值范围为AtW0B0WtW3Ct>3D以上都不对.7.图1、图2、图3分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图箭头表示行进的方向.图2中E为AB的中点,图3中A

3、J>JB.判断三人行进路线长度的大小关系为IA、甲=乙=丙C、乙丙甲B、甲乙丙D、丙乙甲8 .P是4ABC内一点,AD、BE、CF过点P并且交边BC、CA、,APBPCPmd-=.e、f,那么BECFA1B2C3D4二、填空题(本大题共7小题,每题4分,共28分)9 .假设2x+5y-5=0加4、X32y=10 .记x=(1+2X1+22X1+24X1+28)-(1+2256),贝Ux+1是11.圆内接四边形四条边长顺次为5、10、11、14;那么这个四边形的面积为2cm13假设ax2+(a+2)x+9a=0有两个不同实根,xi,X2,且xi2X2,那么a的取值范围为AB于D、与CE相1

4、4 .如图,正方形ABCD的边长为1,M,N为BD所在直线上白两点,且AM=石,/MAN=135°,那么四边形AMCN的面积为115 .方程x2+2x-1=0的解可视为函数y=x+2的图象与函数y=-的图象交点的横坐标,那么方程kx2+xx-4=0的两个解其实就是直线与双曲线图象交点的横坐标,假设这两个交点均在直线y=x的同侧,那么实数k的取值范围是三、解做题(本大题共5小题,第16-19题各10分,第20题12分,共52分)ab16 .(1)非零头数a,b满足ab=a-b,试求一+ab的值.ba(2)实数a,b,c满足a7b+8c=4,8a+4bc=7,试求a2b2+c2的值.17

5、 .如图,在等腰三角形ABC中,AB=1/A=90腰AC中点,点F在底边BC上,且FE±BE,求ACEF积.18.在代数学中,为了表述的简洁,常用记号f(x),g(x),P(x),Q(x),来表示以x为自变量的函数.例如,假设用f(x)来表示二次函数y=x2+2x+1,那么f(x)=x2+2x+1;而f)表示自变量x取值为5时的函数值,即f(xo)=x.2+2x0+1.另外,我们把形如P(x)=anxnanxn川a1x-a0(其中ao,a1,|,an为系数,x为变量)的函数称为关于x的一元n次多项式.关于x的实系数多项式P(x),Q(x)满足：对任意实数x,y,以下两式恒成立.(1)

6、 2P(x)Q(x)=P(y)y;(ii)P(x)Q(x)>x+1.试解答如下两个问题：(1)证实：函数P(x)是一次函数；(2)求函数P(x)与Q(x)的表达式.A(1,0)、B(m,0),与y轴交于点19.设抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于两个不同的点C.且/ACB=90°.(1)求m的值和抛物线的解析式；(2)点D(1,n)在抛物线上,过点A的直线y=x+1交抛物线于另一点E.假设点P在x轴上,以点P、B、D为顶点的三角形与AEB相似,求点P的坐标.(3)在(2)的条件下,BDP的外接圆半径等于20.在AABC中,AB=AC,BC=6,sinB=-,点P从点B出发沿射

7、线BA移动,同时5点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动,点P、Q移动的速度相同,PQ与直线BC相交于点D.(1)如图(1),当点P为AB的中点时,求CD的长；如图(2),过点P作直线BC的垂线,垂足为点E,当点P、Q在移动的过程中,线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？青说明理由；(3)如图(3),当PQ经过AABC的重心G时,求BP的长.2021年自主招生测试数学做题卷本卷总分值120分测试时间90分钟姓名学号、选择题本大题共8小题,每题5分,总分值40分题号12345678答案7小题,每题4分,共28分二、填空题本大题共1012149.11.13 .15 .三、解做题本大题共5

8、小题,第16、17、18、19题各10分,第20题12分,共52分ab16 .1非零头数a,b满足ab=ab,试求一+ab的值.ba2实数a,b,c满足a7b+8c=4,8a+4bc=7,试求a2b2+c2的值.17 .如图,在等腰三角形ABC中,AB=1,/A=90点E为腰AC中点,点F在底边BC上,且FE±BE,求4CEF的面积.A18 .在代数学中,为了表述的简洁,常用记号f(x),g(x),P(x),Q(x),来表示以x为自变量的函数.例如,假设用f(x)来表示二次函数y=x2+2x+1,那么f(x)=x2+2x+1;而f(x0)表示自变量x取值为5时的函数值,即f(xo)=

9、x.2+2x0+1.另外,我们把形如P(x);anxnan.xn川a1x-a0(其中ao,a1,|,an为系数,x为变量)的函数称为关于x的一元n次多项式.关于x的实系数多项式P(x),Q(x)满足：对任意实数x,y,以下两式恒成立.(1) 2P(x)Q(x)=P(y)y;(ii)P(x)Q(x)>x+1.试解答如下两个问题：(1)证实：函数P(x)是一次函数；(2)求函数P(x)与Q(x)的表达式.19 .设抛物线y=ax2+bx2与x轴交于两个不同的点A(1,0)、B(m,0),与y轴交于点C.且/ACE90°.(1)求m的值和抛物线的解析式；(2)点D(1,n)在抛物线上

10、,过点A的直线y=x+1交抛物线于另一点E.假设点P在x轴上,以点P、B、D为顶点的三角形与AEB相似,求点P的坐标.(3)在(2)的条件下,BDP的外接圆半径等于.20 .(此题总分值12分)在AABC中,AB=AC,BC=6,sinB=4,点P从点B出发沿5射线BA移动,同时点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动,点P、Q移动的速度相同,PQ与直线BC相交于点D.(1)如图(1),当点P为AB的中点时,求CD的长；如图(2),过点P作直线BC的垂线,垂足为点E,当点P、Q在移动的过程中,线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？青说明理由；数学参考答案本卷总分值120分测试时间90分

11、钟、选择题本大题共8小题,每题5分,总分值40分题号12345678答案DCBADCA二、填空题(本大题共7小题,每题4分,共28分)9.3210.251211.9012.40,一,一513. -4/15小于a小于014.-241._.1.315. y=kx+1y=<k<0或一<k<一x1622三、解做题本大题共5小题,第16、17、18、19题各10分,第20题12分,共52分16. 解：a1由ab=a_b得,b=,2分1aa将b消去可得,a+b-ab=a+上匕-abaaa1a1a1a2八=1+a+-4分1a1a=山=25分1aa-8c=4"7b2依题意得8

12、C47b7分8ay=7-4b对等式两端分别平方可得a264c216ac=49b256b1622264a2c2-16ac=16b2-56b49将两式的左右对应相加可得65(a2+c2)=65(b2+1)9分即知222a-bc=110分17 .解法1:如图,过C作CD!CE与EF的延长线交于D.由于/AB曰/AEB=90,/CEDF/AEB=90,所以/ABE4CED于是RtAABERtACEtD所以_fCEV1CEAB写31司五=悲又/ECF4DCF=45,所以CF是/DCE的平分线,点F到CE和CD的距离相等,所以SdCEFCE=«=一=2SaCDFCD8分s.2SACEF30|X1

13、2410分(解法2:如图3-278,彳FHLCE于H)18 .解：(1)设2P(0)Q(0)=c(c为常数),那么在(i)式中令x=0可得,P(y)=y+c4分以x代y,即知P(x)=x+c.所以函数P(x)是一次函数.5分(2)由(i)式知,Q(x)=2P(x)(P(y)y)=2(x+c)c=2x+c6分代入(ii)式得到,(x+c)(2x+c)Ax+1,即2x2(3c-1)x(c2-1).0对任意实数恒成立.8分因此,=(3c1)2-8(c2-1)<0；但同时注意到A=(3c1)28(c21)=(c3)2之0,所以c=3,P(x)=x+3,Q(x)=2x+3,经检验符合题意.10分19 .解答:21、(1).M=4,y=1/2x2-3/2x-22分(2)p1(13/7,0)p2(-22/5,0)6分(3) 3Ti06/14或353/510分20 .过点P作PF/AC交BC于F,丁P为AB的中点,F为BC的中点,FC=3,可证APFD0AQCD得DC=FD=32分.2(2)当点P、Q在移动的过程中,线段DE的长度保持不变.-3分如果点P在线段AB上时,过点P作PF/AC交BC于F,由AB=AC,可证PB=PF,.PE,BC,.BE=FE,再证APFD0AQCD得DC=FD,aED=-BC=3-5分.2如果点P在线段BA的延长线上时,同理可得ED=3-6分.