一个高效的设计可变分数延迟滤波器使用第一一阶微分器知识分享

1、一个高效的设计可变分数延迟滤波器使用第一一阶微分器一个高效的设计可变分数延迟滤波器使用第一一阶微分器秀昌培,研究员,IEEE,并渐成井,高级会员,IEEE1 .介绍在许多信号处理的应用中,需要一个采样周期的分数的延迟.这些应用有数字接收机的时间调整、天线阵波束指向、语音编码与合成、乐器造型、采样速率转换、时延估计、梳状滤波器设计、模拟数字转换等.1一10在指南论文3,4提出了一个优秀的分数延迟滤波器设计的调查.给定的可变分数延迟滤波器所需的频率响应为p=GM)(1)延迟D是一个整数,并且p是一个变量或可调的分数在-0.5,0.5.到目前为止,已经有几种方法来设计可变分数延迟的有限脉冲响应滤波器

2、.在文献5中,用于近似本标准的杉木过滤器的传递函数被选择如下：H(瑞力二叫加工一门仁.(2)式中an(p)是p的m次多项式函数,即%卬):nkP,A0Fig,I.Fiinow51gs山后fcrfracti-ond尿fihew汕口可口由bhdelayFarrow结构可调延迟p分数延迟滤波器用(3)替换(2),传递函数可以重写作为A=0tiH4=(1式中()二二口山小f.在文献5一10提出了几种方法设计M+1阶子滤波器G(k)(k=0,1,2.M).这样滤波器H(z,p)接近所需的响应的Hd(w,p).一旦M+1子滤波器G(k)设计好,滤波器H(z,p)可以通过有效的Farrow结构实施,如文献5

3、图1所示.另一方面,数字微分器一直是一个非常有用的工具,在确定和估计一个给定信号的时间导数时.例如,在雷达和声纳应用中,使用微分器的位置测量计算速度和加速度,在文献【11.在生物医学工程中,往往需要获得高阶导数的生物医学数据,特别是在低频范围,在文献【12】.到现在为止,已经开发了几种方法来设计无限脉冲响应(IIR)和FIR数字微分器,如雷米兹交换算法,文献【13】,滤波器法,文献14,最小二乘法,文献15,16,二次规划,文献【17,等.本文中,泰勒级数展开将用于将分数延时滤波器的设计问题转变为一个第一阶微分器,以便于FIR和IIR微分器的设计可以直接应用到的分数延时滤波器.该结构在系数存储

4、方面是更有效的比图1中的Farrow结构滤波器,由于只有一个一阶微分器需要设计并不是M+1子滤波器需要实现.最后,值得一提的是,实施一个分数延迟滤波器或插值的各阶微分器的想法不是新提出的.有关的研究可以在18和19中找到.然而,在本文中,只使用单一的一阶微分器的构思新奇.2 .设计方法在这一节中,我们将使用泰勒级数展开式将分数延迟滤波器的设计问题转换为一个一阶微分器的设计.其主要思想是基于以下证实.证实：如果一阶微分器的频率响应表示为=(JWc一户和延迟d=Mn0,然后可以说明分数延迟滤波器Hd(w,p)可以被写为用3?)=筌伊胀产o产、十口产】)*三u,式中M,n0为两个任意整数,O(x)那

5、么表示一个术语,至少为零,当X接近证实:使用泰勒级数展开,一可以表示为如下的多项式:两边都乘以/=浦+工=邛(加作+改泮念fc!我们可以得到以下等式：士答山作-山夕+明人.&二0(7)将口=乂口0代入7中,并且Fw=讪*厂N：我们得到:二0A!讪廿和j纷十.泮+1+O(pAM1)=8.产VA二口+QpVi).(X)由于分数阶数p的范围是【一0.5,0.5,当M非常大的时候,?时中接近IEEESIGNALPROCESSINGLETTEKS,VOL.10,NO.10,OCTOBER2003TABLEITh上NRMSEhkjukFukVakI-MS_WMNRMS(%)12a5269M2Z1562转3

6、2,0347964048&07950.09993060.018016r0902390S0.00041790.000054100.000006因此,分数延迟滤波器的理想响应可近似以下形式：1】山以p=WMF值-口产/人.Am越大,越接近.为了评估这种近似的性能,归一化均方根误差(NRMS)的定义为仁二仁11出*)_Hdp)d曲NRMS=m51Hmp卅加回(10)很容易得出爪-叫向=ISO-J?7*)W-e|儿=L所以NRMS只取决于M和口的选择.表I列出当a=0.9时,M取不同值时的各种NRMS.从这个结果,可以发现,当m毛,NRMS小于0.1%.因此,当m当时P)能更好地接近理想响应0).现在

7、,让我们来描述如何设计一个近似疗虱j河的可变滤波器丑(斯伊.从(9)我们看到,如果我们设计一个滤波器G(z)接近一阶微分响应小)=(9那么,下面这个滤波器k一(If-A?)k就很好地接近基于(11),分数延迟滤波器可以由一阶微分算子G(Z)和M实现图2所示的整数延迟2-应-扪.因此,设计问题简化为一阶微分算子G(z)的设计.在文献中,已经提出了几种方法来设计FIR和IIR微分器G(z)文献【13】一17o一旦G(z)设计并插入到结构中,如图2所示,我们可以很容易地调整分数,以获得所需的延迟响应.现在,结构图1中所提出的Farrow结构和图2中所提的方法在三个方面进行效率的比拟.W品m卜媪,2.

8、Proposedsti:ucLureforthefwottonaldeLaytiller.11k3二)is山弋firsl-ordeidififerentiator.1计算复杂度：Farrow结构的M+1子滤波器Gz,但是我们的结构有M个Gz滤波器和M个标量乘法.因此,两者几乎具有相同的运算复杂度.2滤波器时延：在Farrow结构,整数时延是固定的,预先指定的延迟,但我们的结构时延近似于Mn0o因此,当滤波器阶数M比拟大,所提出的结构的延迟比Farrow结构延迟时间长.3存储要求：对于Farrow结构实现,有M+1个子滤波器的系数要被存储在存储器中.然而,所提出的结构,只有一个单一的一阶微分系数

9、需要被存储在存储器中.因此,在滤波器系数的存储条件上该结构比Farrow结构更有效.3 .设计实例在这一局部中,例用MATLAB语言在旧M兼容的个人计算机来说明该设计方法的有效性.为了评估性能,最大绝对误差-也义和均方根误差二口心定义为-mc)|卬n-TTW-(L5,0.5t(cJ.diddp(其中误差e(叫p)=为包p)一H(朋17,p).(13)在这个例子中,参数被选择为n0=29,M=7,a=0.9.因此,整数延迟D=Mn0=203.现在,最小二乘法文献16是用来设计长度为2n0+1和通带截止频率小=口雷的线性相位FIR微分器G(z).图3显示了一阶微分算子G(z)的幅度响应.显然,G(

10、z)在范围0,0.9】内接近理想反响w0通过将设计的微分器G(Z)插入如图2所示的结构,可以得到可变分数延迟滤波器H(z,p).图4和5分别描述了可变分数延迟滤波器H(z,p)分贝刻度和组设计的幅度响应,延迟频率范围在0,0.9,p在卜0.5,0.5.最大绝对误差6g.为L3gx1尸,均方根误差&为1.272x10一土由于错误是非常小的,该标准是很好的.sps)&3CWSTJ50(raetianaldelayFig.4.LigniLM把ofIM收、皿侬1liactiunddckivtillerWntializedfrequency置吕铮*餐Fig.5.Gruupdehjrspunseortli

11、edeW即adviriablefn&oiiomiJdelifiber/(i,jj).最后,相同的算法复杂度下比拟所提出的结构与传统的Farrow结构的性能是有趣的.由于滤波器Gk(z)在Farrow结构的非线性相位,要实现Gk(z)需要N+1次的乘法.在上面的例子中,一阶微分算子G(z)是长度为2n0+1的线性相位,所以实现微分器G(z)不需要乘法.因此,当我们选择N+1=n0,这两个结构的滤波器具有相同的算术复杂度.现在,用7中的传统的加权最小二乘法设计Farrow结构中的滤波器Gk(z),标准N=30,D=N/2=15,均匀加权.结果,最大绝对误差为4.778x10-3和均方根误差为7.845X10-4.因此,在相同的算法复杂度下,该结构比Farrow结构具有更小的设计错误.