《数值计算方法》试题集及答案

1、数值计算方法复习试题、填空题:1、,则A的LU分解为答案:14151411540156153、1,f(2)2,f(3)1,则过这三点的二次插值多项式中x2的系数为拉格朗日插值多项式为11答案：-1,L2(x)1(x2)(x3)2(x1)(x3)2(x1)(x2)4、近似值x*0.231关于真值x0.229有（2）位有效数字;5、设f（x）可微，求方程xf（x）的牛顿迭代格式是（）xn1xn答案xnf(xn)1f(xn)6、对f(x)x3x1,差商f0,1,2,3(1),f0,1,2,3,4(0)7、计算方法主要研究（截断）误差和（舍入）误差;n次后的误差限为8、用二分法求非线性方程f（x）=0

2、在区间（a,b）内的根时，二分ba(27T)10、已知f(1)=2,f（2）=3,f（4）=,则二次Newton插值多项式中x2系数为（）11、解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为（A的各阶顺序主子式均1012、为了使计算.2x1(x1)6（x1）3的乘除法次数尽量地少，应将该表y10达式改写为.(3(416t)t)t,tx1,为了减少舍入误差，应将表达式V2001J1999改写为<2001J1999313、用二分法求方程f(x)xx10在区间0,1内的根，进行一步后根的所在区间为，1,进行两步后根的所在区间为,3x15x21X1(k1)(15x2k)/314、求解方程组

3、0.2x14x20的高斯一塞德尔迭代格式为_x2k1)x1(k1)/20一该迭1x(x2)_,f(x)的二次牛顿代格式的迭代矩阵的谱半径(M)=12。15、设f(0)0，f(1)16,f(2)46,则l1(x)l1(x)插值多项式为N2(x)16x7x(x1)16、求积公式bf(x)dxanAkf(xk)k0的代数精度以(高斯型)求积公式为最高，具S(x)22、已知3x13一(x1)2有(2n1)次代数精度。21、如果用二分法求方程x3x40在区间1,2内的根精确到三位小数，需对分(10)次。0x12-a(x1)b(x1)c1x3是三次样条函数，则a=(3),b=(3),c=(1)。23、lo

4、(x),1i(x),ln(x)是以整数点x0,x1,xn为节点的Lagrange插值基函数，则lk(x)k0nxklj(xk)(1),k0(xj),当n2时n42_(xkxk3)lk(x)k0(24、25、区间a,b上的三次样条插值函数S(x)在a,b上具有直到2阶的连续导数。26、改变函数f(x)"7在(x1)的形式，使计算结果较精确27、若用二分法求方程x0在区间1,2内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分10次。x11.6x2128方程组0.4xix22的Gauss-Seidel迭代公kXikX231、设32、设矩阵1.6x0.4x1,k0.1,1.6,迭代矩阵为0.64,此

5、迭代法是否收敛收敛。，则网33、若f（x）3x42x,则差商f2,4,8,16,3234、线性方程组36、设矩阵、单项选择题:3的最小二乘解为分解为ALU,则U1、Jacobi迭代法解方程组Axb的必要条件是（CA.A的各阶顺序主子式不为零(A)Caii0,i1,2,n11032122、设007,则为(C)A.2B.5C.74、求解线Tt方程组取力的LU分解法中，A须满足的条件是（B）A.对称阵B.正定矩阵C.任意阵D.各阶顺序主子式均不为零5、舍入误差是（A）产生的误差。A,只取有限位数B.模型准确值与用数值方法求得的准确值C.观察与测量D.数学模型准确值与实际值6、是冗的有（B）位有效数字

6、的近似值。A.6B.5C.4D.77、用1+x近似表示ex所产生的误差是（C）误差。A.模型B.观测C.截断D.舍入8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是（A）oA.控制舍入误差B.减小方法误差C.防止计算时溢出D.简化计算x3/9、用1+3近似表示Wx所产生的误差是（D）误差。A.舍入B.观测C.模型D.截断10、-324.7500是舍入得到的近似值，它有（C）位有效数字A.5B.6C.7D.811、设f（-1）=1,f（0）=3,f（2）=4,则抛物插值多项式中x2的系数为（A）A.-0.5B.0.5C.2D-212、三点的高斯型求积公式的代数精度为（C）。A.3B.4C.5D.

7、213、(D)的3位有效数字是X102。(D)X10-1(A)X103(B)X10-2(C)14、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成x=(x),则f(x)=0的根是(B)(A) y=(x)与x轴交点的横坐标(B) y=x与y=(x)交点的横坐标(C)y=x与x轴的交点的横坐标(D)y=x与y=(x)的交点15、用列主元消去法解线性方程组3x1x14x1x22x24x313x29x3x301,第1次消元，选择主元为(A)-4(B)3(C)4(D)16、拉格朗日插值多项式的余项是),牛顿插值多项式的余项是(C)(A)f(x,x0,x1,x2,xn)(xx1)(xx2)-

8、(xxn1)(xxn),Rn(x)f(x)(B)f(n1)()Pn(x)f(n1)!(C)f(x,x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn),(D)18、用牛顿Rn(x)f(x)Pn(x)Rm(x)(n1)!切线法解方程f(x)=0,选初始值x0满足(A),则它的解数列xnn=0,1,2,一定收敛到方程f(x)=0的根。(A)f(x0)f(x)0(B)f(x0)f(x)0(C)f(x0)f(x)0(D)f的)f(x)019、为求方程x3x21=0在区间口内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A)2x(A)迭代公式：xk11

9、xk13(C)x1x2,迭代公式:xk1(121/3xk)x31x2,迭代公式：xk1(D)2xk2.xkxk121、解方程组Axb的简单迭代格式(k1)(k)xBxg收敛的充要条件是(1)(A)1,(2)(B)1,(3)(A)1,(4)(B)123、有下列数表(A)30、xkxkXk用二分法求方程xk(B)32x4xxk100在区间(C)1,2xkxkxk；(D)内的实根，要求误差限为xkxk10x012f(x)-2-12所确定的插值多项式的次数是（）。（1）二次；（2）三次；（3）25、取点1.732计算x（旧1）4四次；（4）五次,卜列方法中哪种最好（）1616（A）2816百；（B）（

10、42百）2；（Q（422;（D）（屈1）4。27、由卜列数表进行Newton插值，所确定的插值多项式的最高次数是（：xi123f(xi)-1(A)5;(B)4；(C)3;(D)2。29、计算内的Newton迭代格式为（）次数至少为（）(A)10;(B)12;(C)8;(D)99kli（k）(D)1。32、设1i（x）是以xkk（k0,1,L为平点的Lagrange插值基函数，则k0（）(A)x；35、已知方程2x2附近有根，下列迭代格式中在x02不收敛的是(A)xk13/2xk5；(B)xk1523xkxk5；xk(D)2x：53x22。36、由下列数据x01234f(x)1243-5确定的唯

11、一插值多项式的次数为()(A)4;(B)2;(C)1;(D)3三、是非题(认为正确的在后面的括弧中打，否则打)1、已知观察值(Xi，yi)(i0,1,2，m)，用最小二乘法求n次拟合多项式Pn(x)时,pn(x)的次数n可以任意取。2、用1-2近似表示cosx产生舍入误差。(XX0)(xX2)3、(X1X0)(x1X2)表示在节点x1的二次(拉格朗日)插值基函数。(4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。5、矩阵A135具有严格对角占优四、计算题:1、用高斯-塞德尔方法解方程组求按五位有效数字计算)。4x1X12x12x24x2X2X32x35x31118

12、22,取x(0)(0,0,0)T，迭代四次(要答案：迭代格式X1(k1)x2k1)-(114-(1841(225X1(k1)2x3k)kX1(k)x2k)x3k)00001k1)2342、已知xi1345f(xi)2654分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f(x)的三次插值多项式p3(x),并求f(2)的近似值(保留四位小数)2(x3)(x4)(x5)6(x1)(x4)(x5)答案：(13)(14)(15)(31)(34)(35)(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)(x4)54(41)(43)(45)(51)(53)(54)差商表为xiyi一阶均差二阶均差三阶均差1236245-1-154

13、-1°141P3(x)N3(x)22(x1)(x1)(x3)-(x1)(x3)(x4)4f(2)P3(2)5.55、已知xi-2-1°12f(xi)42135求f(x)的二次拟合曲线P2(x),并求f(°)的近似值答案:解:正规方程组为10al310ao34a241a。10V13,a101114P2（X）103112xx71014P2（X）31011x7f（0）P2（0）310ixiYi2xi3xi4xixiyi2xiYi0-244-816-8161-121-11-22201000003131113342548161020015100343415ao10a2156

14、、已知sinx区间,的函数表XiYi如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小并求该近似值。答案：解：应选三个节点，使误差M3|R2（x）|3|3（x）|3!尽量小，即应使13（x）|尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点0.5，0.6，0.7最好，实际计算结果sin0.638910.596274,sin0.638910.5962741(0.638910.5)(0.6389190.6)(0.638910.7)0.55032107、构造求解方程e10x20的根的迭代格式xn1(xn),n0,1,2,讨论其收敛性，并将根求出来,104o答案：解：令f(x)

15、10x2,f(0)f(1)10e且f(x)ex10),f(x)0在(0,1)内有唯一实根.将方程f(x)0变形为1(210ex)则当x(。，。时(x)x),1(x)|e10故迭代格式1x一xn1行(2en)收敛。取x0。5,计算结果列表如下:n0123xn127872424785877325n4567xn5959935173405259505250086且满足|x7x6|0.0000009510所以x0.090525008Xi2x23x3142x15x22x3188、利用矩阵的LU分解法解方程组3x1x25x320答案:解:1ALU213513424令Lyb得y(14,10,72)TUxy得x

16、(1,2,3)T.3xi2x210x310x14x2x39、对方程组2x110x24x31558(1)试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由;(2)取初值x(0)(0,O,0)T,利用(1)中建立的迭代公式求解，要求|x(k1)x(k)|103。解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优10x14x2x352x110x24x383x12x210x315故对应的高斯塞德尔迭代法收敛.迭代格式为x(k1)(k1)x2x3k1)10(4x2k)x3k)5)(2x(k1)4x3k)8)10'(3x(k1)2x2k1)15)Mx(0)(0,0,0)T,经7步迭代可得:解：当0<x

17、<1时，f(x)ex,则f(x)x*x(7)(0.999991459,0.999950326,1.000010)Txif(xi)10、已知下列实验数据试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据1xe，且。edx有一位整数.要求近似值有5位有效数字，只须误差R(n)2104R1(n)(f)(ba)3_212n2R1(n)(ex)e-z-212n2e212n2104即可,解得67.30877所以n68因此至少需将0,168等份。X1X21211、用列主元素消元法求解方程组X311o解:r1r2-r1523一r15121b13回代得12、取节点X0解:12r1r211110,X112121513

18、5251585795135151525795851213515513X30.5,X2心堂），并估计误差。心(x)e07955131,X26,X11,求函数f(X)在区间0,1上的二次插值多项式(x0.5)(x1)(00.5)(01)0.5(x0)(x1)(0.50)(0.51)(X0)(x0.5)2(x(10)(10.5)一05一1一0.5)(X1)4e.x(x1)2ex(x0.5)15、又f(x)ex,f(x)ex,M3naxjf11故截断误差|R2(x)|exE(x)|:|x(x0.5)(x1)|3!o用牛顿(切线)法求的近似值。取Xo=,计算三次，保留五位小数。解：石是f(x)x230的

19、正根,f(x)2x,牛顿迭代公式为xn1xnx232xnxnxn122xn(n0,1,2,)n123xn即取Xo=,列表如下:f(2)=-4,求拉格朗日插值多项式16、已知f(-1)=2,f(1)=3,L2(x)及f(1,5)的近似值，取五位小数。L2(x)解：2(x1)(x2)1)(12)(x1)(x2)4(x1)(x1)(11)(12)(21)(21)23(x1)(x2)-(x1)(x2)-(x1)(x231)f(1.5)L2(1.5)18、用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组1243110.04167x1x2x3取x(°)=(0,0,0)T,列表计算三次,保留三位小数

20、。解：Gauss-Seidel迭代格式为:x(k1)(kx21)1)3(13(4(x(k1)Jk1)Y(kxx21)5)1)8)131系数矩阵114严格对角占优，故Gauss-Seidel迭代收敛.取x（0）=（0,0,0）T,列表计算如下：kx；k)x2k)x3k)12320、（8分）用最小二乘法求形如yabx2的经验公式拟合以下数据:x19253038yi解：span1,x2At1111_22_22192252312382yT19.032.349.073.3解方程组AACAy其中ATA4339133913529603ATy173.6179980.70.9255577Cb0.0501025解

21、得：0.0501025所以a0.9255577,22、（15分）方程x3x10在x1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）x国X1对应迭彳t格式xn1x31对应迭代格式为1x31。判断迭代格式在x01.5的收敛性，选一种收敛格式计算x1.5附近的根,精确到小数点后第三位。解：（1）12(x)-(x1)33（5）0.181,故收敛;(2)(3)(x)(x)选择（1）：叫13x2(1.5)(1.531.52Xo1.5x11.3572x20.171,故收敛;1.3309x31.3259x41.3249x51.32476x61.3247223、（8分）已知方程组AX243024(1)列出Ja

22、cobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。(2)求出Jacobi迭代矩阵的谱半径。X1(k1)1(2441,-(303x；43x2k)解：Jacobi迭代法:Gauss-Seidel迭代法:_1BjD(LU)x3k1)x;4(24x2k)01,2,3,1)T(243x2k)1(303x：1)x3k)41)J(24x2k1)4Q1,2,3,03400340340(Bj)（或平）40.790569并利用余项估计误差。1031、（12分）以100,121,144为插值节点，用插值法计算、115的近似值,用Newton插值方法：差分表:100111211441211510+(115-100)(115-100)(115-121)35f'''x-x28f'''R1151001151211151443135-1002156290.001636833、(10分)用Gauss列主元消去法解方程组：x14x22x3243xx25x?342x16x2x3270.000002.0000,3.0000,5.0000TXix234、（8分）求方程组521的最小二乘解。36XiATAxATb614X281.3333一x202.0000若用Householder变换，贝U:1