中考几何辅助线精典模型(word版)

1、中点模型【模型1】倍长1、倍长中线；2、倍长类中线；3、中点遇平行线延长相交【模型2】遇多个中点,构造中位线1、直接连接中点；2、连对角线取中点再相连【例1】在菱形ABCD和正三角形BEF中,/ABC=60°,G是DF的中点,连接GC、GE.(1)如图1,当点E在BC边上时,假设AB=10,BF=4,求GE的长；(2)如图2,当点F在AB的延长线上时,线段GE、GC有怎样的数量和位置关系,写出你的猜测,并给予证实；(3)如图3,当点F在CB的延长线上时,(2)问中的关系还成立吗？写出你的猜测,并给予证实.【解答】(1)延长EG交CD于点H易证实CHGACEG,那么GE=iV3DHCA

2、BJ(2)延长CG交AB于点I,易证实BCEAFIE,那么CEI是等边三角形,GEDC1、AIBF(3)DCJF【例2】如图,在菱形ABCD中,点E、F分别是E=/BAF.(1)求证：CE=CF;(2)假设/ABC=120°,点G是线段AF的中点,连接.e类似的为什么要延长CG呢,可以延长EGQ吗？=73GC,且GEXGC,什么是证实BCEC04FIE你理解吗？、)厂厂你能写出解题思二号*路和过程吗?3C、CD上一点,连接DE、EF,且AE=AF,/DAEDG、EG,求证：DGEG.ADBEC【解答】(1)证实ABEAADF即可；(2)延长DG与AB相交于点H,连接HE,证实HBEA

3、EFD即可【例3】如图,在凹四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别为BC、AD的中点,BA交EF延长线于G点,CD交EF于H点,求证：/BGE=ZCHE.【解答】取BD中点可证,如下图:BC角平分线模型【模型1】构造轴对称【模型2】角平分线遇平行构等腰三角形【例4】如图,平行四边形ABCD中,AE平分/BAD交BC边于E,EFXAE交边CD于F点,交AD边于H,延长BA至ijG点,使AG=CF,连接GF.假设BC=7,DF=3,EH=3AE,那么GF的长为.【解答】延长FE、AB交于点I,易得CE=CF,BA=BE,设CE=x,贝UBA=CD=3+x,BE=7-x,3+x=7-x,x=2,A

4、B=BE=5,AE=710,作AJXBC,连接AC,求得GF=AC=312手拉手模型【条件】OA=OB,OC=OD,/AOB=/COD【结论】OACOBD,ZAEB=ZAOB=ZCOD即都是旋转角；OE平分/AED【例5】2021重庆市A卷如图,正方形导角核心图形：八字形CD上,且DE2CE,连接BE.过点C作CFXBE,垂足是F,连接OF,那么OF的长为ADABCD的边长为6,点O是对角线AC、BD的交点,【答案】6/55【例6】如图,ABC中,/BAC=90°,AB=AC,AD,BC于点D,点E在AC边上,连接BE,AGXBE于F,交BC于点G,求/DFG.【答案】45AG是AD

5、延长线假设BH=8,那么FG【例712021重庆B卷如图,在边长为6#的正方形ABCD中,E是AB边上一点,一点,BE=DG,连接EG,CF,EG交EG于点H,交AD于点F,连接CE、BH.【答案】5.2邻边相等对角互补模型【模型1】【条件】如图,四边形ABCD中,AB=AD,ZBAD+ZBCD=ZABC+ZADC=180【结论】AC平分/BCDA【模型2】【条件】如图,四边形ABCD中,AB=AD,ZBAD=ZBCD=90°【结论】/ACB=/ACD=45°BC+CD=j2AC例8如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=5,G为CD中点,DE=DG,56,8£于5

6、,贝UDF为AB例9如图,正方形ABCD的边长为3,延长CB至点M,使BM=1,连接AM,过点B作BNLAM,垂足为N,O是对角线AC、BD的交点,连结ON,那么ON的长为.【例10如图,正方形ABCD的面积为64,那么DG的长为.BCE是等边三角形,F是CE的中点,AE、BF交于点G,【答案】473+4模型又来了!半角模型【模型1】【条件】如图,四边形ABCD中,AB=AD,ZBAD+ZBCD=ZABC+ZADC=180°,/EAF=1BBAD,点E在直线BC上,点F在直线CD上2【结论】BE、DF、EF满足截长补短关系【模型2】【条件】如图,在正方形ABCD中,E、F分别是边BC

7、、CD上的点,且满足/EAF=45°,AE、AF分别与对角线BD交于点M、N.【结论】BE+DF=EF;SabeSadfSaef；AH=AB;Cecf2AB;BM2+DN2=MN2;ANMsdNFsBEMsAEFsBNAsDAM由AO:AH=AO:AB=1:应可得到ANM和AAEF相似比为1:应SamnS四边形mnfe；AOMADF;AONsABE;AEN为等腰直角三角形,/AEN=45°,AAFM为等腰直角三角形,/AFM=45°A、M、F、D四点共圆,A、B、E、N四点共圆,M、N、F、C、E五点共圆.【模型2变形】【条件】在正方形ABCD中,E、F分别是CB

8、、DC延长线上的点,且满足/EAF=45【结论】BE+EF=DF【模型2变形】【条件】在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD延长线上的点,且满足/EAF=45°【结论】DF+EF=BE【例11如图,4ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形,/BAC=/EDF=90°,ADEF的顶点E与4ABC的斜边BC的中点重合,将DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,射线EF与线段AB相交于点G,与射线CA相交于点Q.假设AQ=12,BP=3,那么PG=.BPBE-=TTCECQ【解答】连接AE,题目中有一线三等角模型和半角模型设AC=x,由BPCsCEQ得c

9、,/上上一3/(x)=2x/(x+12),解得x=12设PG=y,由AG2+BP2=PG2得32+(123x)2=x2,解得x=5【例12】G,连接【解答】如图,在菱形ABCD中,AB=BD,点E、F在AB、AD上,且AE=DF.连接BF与DE交于点CG与BD交于点H,假设CG=1,那么S四边形bcdq=.一线三等角模型【条件】/EDF=ZB=ZC,且DE=DF【结论】BDEACFDABDC【例13如图,正方形ABCD中,点E、F、G分别为AB、BC、CD边上的点,EB=3,GC=4,连接EF、FG、GE恰好构成一个等边三角形,那么正方形的边为.【解答】如图,构造一线三等角模型,EFHAFGI

10、那么BC=BF+CF=HF-BH+FI-CI=GI-BH+HE-CI=和ADHBFCI弦图模型正方形内或外互相垂直的四条线段新构成了同心的正方形【例14】如图,点E为正方形ABCD边AB上一点,点F在DE的延长线上,G,/FAB的平分线交FG于点DG=.H,过点D作HA的垂线交HA的延长线于点AF=AB,AC与FD交于点I.假设AH=3AI,FH=2f2,那么IDAB【例15如图,ABC中,/BAC=90°,AB=AC,AD,BC于点D,点E是AC中点,连接BE,作AGLBE于F,交BC于点G,连接EG,求证：AG+EG=BE.【解答】过点C作CH,AC交AG的延长线于点H,易证H最

11、短路径模型【两点之间线段最短】1、将军饮马A.BT/1*1P.02、费马点【两边之差小于第三边】【例16如图,矩形ABCD是一个长为1000米,宽为600米的货场,A、D是入口,现拟在货场内建一个收费站P,在铁路线BC段上建一个发货站台H,设铺设公路AP、DP以及PH之长度和为1,求l的最小值.【解答】600500J3,点线为最短.【例17如图,E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点,满足AE=DF,连接CF交BD于G,连接BE交AG于H,假设正方形的边长为2,那么线段DH长度的最小值为.【解答】如图,取AB中点P,连接PH、PD,易证PH>PD-PH即DH><5-1.【

12、例18如下图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=4<2,E是线段AB的中点,F是线段BC上的动点,BEF沿直线EF翻折到BEF,连接DB,DB最短为【解答】4哪个点是圆心？应该将圆心与哪个点相连？用谁减去谁呢？【例19如图1,DABCD中,AELBC于E,AE=AD,EGXAB于G,延长GE、DC交于点F,连接AF.(1)假设BE=2EC,AB=J13,求AD的长；(2)求证：EG=BG+FC;(3)如图2,假设AF=5<2,EF=2,点M是线段AG上一动点,连接ME,将GME沿ME翻折到GME,连接DG,试求当DG取得最小值时GM的JADBE<VCB图1FE【解答】(1)3

13、(2)如下图ADHF(3)当DG最小时D、E、G三点共线AD4/BEyCFA_DADeWcBeWc到2F备用图F、y0为什么这样做辅助线？还后同他方法吗？-L._T-为什么为什么为什么？(自己去算吧！JT*A.>解得GMGNMN3173课后练习题ABE,/AEB=90°,AC、BD交于O.已【练习1】如图,以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形知AE、BE的长分别为3、5,求三角形OBE的面积.【练习2】1问题1:如图1,在等腰梯形ABCD中,AD/BC,AB=BC=CD,点M,N分别在AD,CD上,/MBN2/ABC,试探究线段MN,AM,CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜测；问题2:如图2,在四边形ABCD中,AB=BC,/ABC+/ADC=180°,点M,N分别在DA,CD延长线,假设/MBN=1/ABC仍然成立,请你进一步探究线段MN,AM,CN又有怎么样的关量关系？写出你2的猜测,并给予证实.图1图2【解答】问题一方法一：如下图方法二：如下图问题二方法一方法【练习3】：如图1,正方形ABCD中,为对角线BD上一点,过E