中考二次函数压轴题解题通法重点中学

1、中考二次函数压轴题解题通法研究二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题,同时在省级,国家级数学竞赛中也有二次函数大题,在宜宾市的拔尖人才测试中同样有二次函数大题,在成都,绵阳,泸县二中等地的外地招生测试中也有二次函数大题,很多学生在有限的时间内都不能很好完成.由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关,学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否,直接关系到未来数学的学习.所以二次函数综合题自然就成了相关出题老师和专家的必选内容.我通过近6年的研究,思考和演算了上1000道二次函数大题,总结出了解决二次函数压轴题的通法,供大家参考.几个自定义概念：三角形根本模型：有一边在X轴或Y

2、上,或有一边平行于X轴或Y轴的三角形称为三角形根本模型.动点(或不确定点)坐标“一母示：借助于动点或不确定点所在函数图象的解析式,用一个字母把该点坐标表示出来,简称“设横表纵.如：动点P在y=2x+1上,就可设P(t,2t+1).假设动点?在丫=3x22x1,那么可设为P(t,3t22t1)当然假设动点M在X轴上,那么设为(t,0).假设动点M在Y轴上,设为(0,t). 动三角形：至少有一边的长度是不确定的,是运动变化的.或至少有一个顶点是运动,变化的三角形称为动三角形. 动线段：其长度是运动,变化,不确定的线段称为动线段. 定三角形：三边的长度固定,或三个顶点固定的三角形称为定三角形. 定直

3、线：其函数关系式是确定的,不含参数的直线称为定直线.如：y=3x6.X标,Y标：为了记忆和阐述某些问题的方便,我们把横坐标称为x标,纵坐标称为y标.直接动点：相关平面图形(如三角形,四边形,梯形等)上的动点称为直接动点,与之共线的问题中的点叫间接动点.动点坐标“一母示是针对直接动点坐标而言的.1 .求证“两线段相等的问题：借助于函数解析式,先把动点坐标用一个字母表示出来；然后看两线段的长度是什么距离即是“点点距离,还是“点轴距离,还是“点线距离,再运用两点之间的距离公式或点到x轴y轴的距离公式或点到直线的距离公式,分别把两条线段的长度表示出来,分别把它们进行化简,即可证得两线段相等.2、“平行

4、于y轴的动线段长度的最大值的问题：由于平行于y轴的线段上各个点的横坐标相等常设为t,借助于两个端点所在的函数图象解析式,把两个端点的纵坐标分别用含有字母t的代数式表示出来,再由两个端点的上下情况,运用平行于y轴的线段长度计算公式y上-y下,把动线段的长度就表示成为一个自变量为t,且开口向下的二次函数解析式,利用二次函数的性质,即可求得动线段长度的最大值及端点坐标.3、求一个点关于一条直线的对称点的坐标问题：先用点斜式或称K点法求出过点,且与直线垂直的直线解析式,再求出两直线的交点坐标,最后用中点坐标公式即可.4、“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离最大的问题方法1先求出定直线的斜率,由此

5、可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式注意该直线与定直线的斜率相等,由于平行直线斜率k相等,再由该直线与抛物线的解析式组成方程组,用代入法把字母y消掉,得到一个关于x的的一元二次方程,由题有=b2-4ac=0由于该直线与抛物线相切,只有一个交点,所以b2-4ac=0从而就可求出该切线的解析式,再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组,求出x、y的值,即为切点坐标,然后再利用点到直线的距离公式,计算该切点到定直线的距离,即为最大距离.方法2该问题等价于相应动三角形的面积最大问题,从而可先求出该三角形取得最大面积时,动点的坐标,再用点到直线的距离公式,求出其最大距离.方法3先把抛物线的方

6、程对自变量求导,运用导数的几何意义,当该导数等于定直线的斜率时,求出的点的坐标即为符合题意的点,其最大距离运用点到直线的距离公式可以轻松求出.5 .常数问题：1点到直线的距离中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离等于一个固定常数的问题:先借助于抛物线的解析式,把动点坐标用一个字母表示出来,再利用点到直线的距离公式建立一个方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,进而利用抛物线解析式,求出动点的纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了.2三角形面积中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数的问题：先求出定线段的长度,再表示出动点其坐标需用一

7、个字母表示到定直线的距离,再运用三角形的面积公式建立方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,再利用抛物线的解析式,可求出动点纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了.3几条线段的齐次募的商为常数的问题：用K点法设出直线方程,求出与抛物线或其它直线的交点坐标,再运用两点间的距离公式和根与系数的关系,把问题中的所有线段表示出来,并化解即可.6 .“在定直线常为抛物线的对称轴,或x轴或y轴或其它的定直线上是否存在一点,使之到两定点的距离之和最小的问题：先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标,再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段,该线段的长度应用两点间的距离公式计算即为符合题中要求的最

8、小距离,而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点,其坐标很易求出利用求交点坐标的方法.7 .三角形周长的“最值最大值或最小值问题：“在定直线上是否存在一点,使之和两个定点构成的三角形周长最小的问题简称“一边固定两边动的问题由于有两个定点,所以该三角形有一定边其长度可利用两点间距离公式计算,只需另两边的和最小即可.“在抛物线上是否存在一点,使之到定直线的垂线,与y轴的平行线和定直线,这三线构成的动直角三角形的周长最大的问题简称“三边均动的问题：在图中寻找一个和动直角三角形相似的定直角三角形,在动点坐标一母示后,运用C51V=空5V,把动三角形的周长转化为一个开口向下的抛物线来破解.C定v斜

9、边定v8.三角形面积的最大值问题：“抛物线上是否存在一点,使之和一条定线段构成的三角形面积最大的问题简称“一边固定两边动的问题：方法1先利用两点间的距离公式求出定线段的长度；然后再利用上面3的方法,求出抛物线上的动点到该定直线的最大距离.最后利用三角形的面积公式1底高.即可求出该三角形面积的最大值,同时在求解过程中,2切点即为符合题意要求的点.方法2过动点向y轴作平行线找到与定线段或所在直线的交点,从而把动三角形分割成两个根本模型的三角形,动点坐标一母示后,进一步一UiO1可得到&三角形y±动-yr动产x右定-x左定2,转化为一个开口向下的二次函数问题来求出最大值.“三边均动

10、的动三角形面积最大的问题简称“三边均动的问题：先把动三角形分割成两个根本模型的三角形有一边在x轴或y轴上的三角形,或者有一边平行于x轴或y轴的三角形,称为根本模型的三角形面积之差,设出动点在x轴或y轴上的点的坐标,而此类题型,题中一定含有一组平行线,从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似常为图中最大的那一个三角形.利用相似三角形的性质对应边的比等于对应高的比可表示出分割后的一个三角形的高.从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式,相应问题也就轻松解决了9.“一抛物线上是否存在一点,使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题：由于该四边形有三个定点,从而可把动四

11、边形分割成一个动三角形与一个定三角形连结两个定点,即可得到一个定三角形的面积之和,所以只需动三角形的面积最大,就会使动四边形的面积最大,而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与7相同.10、“定四边形面积的求解问题：有两种常见解决的方案：方案一：连接一条对角线,分成两个三角形面积之和；方案二：过不在x轴或y轴上的四边形的一个顶点,向x轴或y轴作垂线,或者把该点与原点连结起来,分割成一个梯形常为直角梯形和一些三角形的面积之和或差,或几个根本模型的三角形面积的和差11.“两个三角形相似的问题：两个定三角形是否相似：1有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出角的两条夹边,看看是否成比例

12、假设成比例,那么相似；否那么不相似.2不知道是否有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的长,看看是否成比例假设成比例,那么相似；否那么不相似.一个定三角形和动三角形相似：1有一个角相等的情形：先借助于相应的函数关系式,把动点坐标表示出来一母示,然后把两个目标三角形题中要相似的那两个三角形中相等的那个角作为夹角,分别计算或表示出夹角的两边,让形成相等的夹角的那两边对应成比例要注意是否有两种情况,列出方程,解此方程即可求出动点的横坐标,进而求出纵坐标,注意去掉不合题意的点.2不知道是否有一个角相等的情形：这种情形在相似性中属于高端问题,破解方法是,在定三角形中,由各个顶点坐标求

13、出定三角形三边的长度,用观察法得出某一个角可能是特殊角,再为该角寻找一个直角三角形,用三角函数的方法得出特殊角的度数,在动点坐标“一母示后,分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等,借助于特殊角,为动点寻找一个直角三角形,求出动点坐标,从而转化为有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了,只需再验证角的两边是否成比例假设成比例,那么所求动点坐标符合题意,否那么这样的点不存在.简称“找特角,求动点标,再验证.或称为“一找角,二求标,三验证.12.、“某函数图象上是否存在一点,使之与另两个定点构成等腰三角形的问题：首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点.假设某边底,那么只有一

14、种情况；假设某边为腰,有两种情况；假设只说该三点构成等腰三角形,那么有三种情况.先借助于动点所在图象的解析式,表示出动点的坐标一母示,按分类的情况,分别利用相应类别下两腰相等,使用两点间的距离公式,建立方程.解出此方程,即可求出动点的横坐标,再借助动点所在图象的函数关系式,可求出动点纵坐标,注意去掉不合题意的点就是不能构成三角形这个题意.13、“某图象上是否存在一点,使之与另外三个点构成平行四边形问题：这类问题,在题中的四个点中,至少有两个定点,用动点坐标“一母示分别设出余下所有动点的坐标假设有两个动点,显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示出动点坐标,任选一个点作为对角线的起点,列出所有

15、可能的对角线显然最多有3条,此时与之对应的另一条对角线也就确定了,然后运用中点坐标公式,求出每一种情况两条对角线的中点坐标,由平行四边形的判定定理可知,两中点重合,其坐标对应相等,列出两个方程,求解即可.进一步有：假设是否存在这样的动点构成矩形呢先让动点构成平行四边形,再验证两条对角线相等否假设相等,那么所求动点能构成矩形,否那么这样的动点不存在.假设是否存在这样的动点构成棱形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边相等否假设相等,那么所求动点能构成棱形,否那么这样的动点不存在.假设是否存在这样的动点构成正方形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边是否相等和两条对角线是否相等假设都相

16、等,那么所求动点能构成正方形,否那么这样的动点不存在.14、“抛物线上是否存在一点,使两个图形的面积之间存在和差倍分关系的问题：此为“单动问题即定解析式和动图形相结合的问题,后面的19实为本类型的特殊情形.先用动点坐标“一母示的方法设出直接动点坐标,分别表示如果图形是动图形就只能表示出其面积或计算如果图形是定图形就计算出它的具体面积,然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程,解之即可.注意去掉不合题意的点,如果问题中求的是间接动点坐标,那么在求出直接动点坐标后,再往下继续求解即可.15、“某图形直线或抛物线上是否存在一点,使之与另两定点构成直角三角形的问题：假设夹直角白两边与y轴都不平行：先设

17、出动点坐标一母示,视题目分类的情况,分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率,再运用两直线没有与y轴平行的直线垂直的斜率结论两直线的斜率相乘等于-1,得到一个方程,解之即可.假设夹直角的两边中有一边与y轴平行,此时不能使用斜率公式.补救举措是：过余下的那一个点没在平行于y轴的那条直线上的点直接向平行于y的直线作垂线或过直角点作平行于y轴的直线的垂线与另一相关图象相交,那么相关点的坐标可轻松搞定.16、“某图象上是否存在一点,使之与另两定点构成等腰直角三角形的问题. 假设定点为直角顶点,先用k点法求出另一直角边所在直线的解析式如斜率不存在,根据定直角点,可以直接写出另一直角边所在直线的方程,利用该解

18、析式与所求点所在的图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再用两点间的距离公式计算出两条直角边等否假设等,该交点合题,反之不合题,舍去. 假设动点为直角顶点：先利用k点法求出定线段的中垂线的解析式,再把该解析式与所求点所在图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再分别计算出该点与两定点所在的两条直线的斜率,把这两个斜率相乘,看其结果是否为-1假设为-1,那么就说明所求交点合题；反之,舍去.17、“题中含有两角相等,求相关点的坐标或线段长度等的问题：题中含有两角相等,那么意味着应该运用三角形相似来解决,此时寻找三角形相似中的根本模型“A或“X是关键和突破口.18 .“在相关函数的解析式或易求出的情况

19、下,题中又含有某动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或线段长的问题：此为“单动问题即定解析式和动图形相结合的问题,本类型实际上是前面14的特殊情形.先把动图形化为一些直角梯形或根本模型的三角形有一边在x轴或y轴上,或者有一边平行于x轴或y轴面积的和或差,设出相关点的坐标一母示,按化分后的图形建立一个面积关系的方程,解之即可.一句话,该问题简称“单动问题,解题方法是“设点动点标,图形转化分割,列出面积方程.19 .“在相关函数解析式不确定系数中还含有某一个参数字母的情况下,题中又含有动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或参数的值的问题：此为“双动问题即

20、动解析式和动图形相结合的问题.如果动图形不是根本模型,就先把动图形的面积进行转化或分割转化或分割后的图形须为根本模型,设出动点坐标一母示,利用转化或分割后的图形建立面积关系的方程或方程组.解此方程,求出相应点的横坐标,再利用该点所在函数图象的解析式,表示出该点的纵坐标注意,此时,一定不能把该点坐标再代入对应函数图象的解析式,这样会把所有字母消掉.再注意图中另一个点与该点的位置关系或其它关系,方法是常由或利用2问的结论,从几何知识的角度进行判断,表示出另一个点的坐标,最后把刚表示出来的这个点的坐标再代入相应解析式,得到仅含一个字母的方程,解之即可.如果动图形是根本模型,就无须分割或转化了,直接先

21、设出动点坐标一母式,然后列出面积方程,往下操作方式就与不是根本模型的情况完全相同.一句话,该问题简称“双动问题,解题方法是“转化分割,设点标,建方程,再代入,得结论.中考二次函数压轴题分析【凉山州中考】如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+4与x轴,y轴分别交于A,B,两点,抛物线yx2bxc经过A,B,两点,并与x轴交于另一点C(点C在点A的右侧),点P是抛物线上一动点.(1)求抛物线的解析式及点C的坐标.(2)假设点P在第二象限内,过点P作PDx轴于D,交AB于点E.当点P运动到什么位置时,线段PE最长此时PE等于多少(3)如果平行于x轴的动直线1与抛物线交于点Q,与直线AB交于点N,点M

22、为OA的中点,那么是否存在这样的直线1,使得三角形MON是等腰三角形假设存在,请求出点Q的坐标；假设不存在,请说明理.【广安市中考】在平面直角坐标系xOy中,AB±x轴于点B,AB=3,tan/AOB=3/4将OAB绕着原点O逆时针旋转90°,得到OAB;再将OAB绕着线段OB的中点旋转180°,得到OAB,抛物线y=ax2+bx+c(a手0)经过点B、B、Z.(1)求抛物线的解析式；(2)在第三象限内,抛物线上的点P在什么位置时,PBB的面积最大求出这时点P的坐标；(3)在第三象限内,抛物线上是否存在点Q,使点Q到线段BB的距离为贝假设存在,求出点Q的坐标；假设不存在,请说明2理由.【乐山中考】如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(m,n),点B的坐标为(n,-n),抛物线经过A、QB三点,连接OAOBAR线段AB交y轴于点C.实数mn(m<n)分别是方程x2-2x-3=0的两根.(1)求抛物线的解析式；备用图(2)假设点P为线段OB上的一个动点(不与点.B重合),直线PC与抛物线交于DE两点(点D在y轴右侧),连接ODBD.当OPC为等腰三角形时,求点P的坐标；求BOD面积的最大值,并写出此时点D的坐标.【成都中考】如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y的图象与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点C.以直线x=1