规律性问题教师版

1、 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每一节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！   学而思讲义编写组 第十四讲 规律性问题 编写说明 规律性问题和周期性问题紧密相连，我们在暑假的第二讲将对周期性问题进行学习，加之这是考试前的最后一讲，所以题量将稍稍减少. 教师可在此多多调动孩子们的积极性，让他们自己发现规律，并解答问题.您如果有时间，也可以对于本班比较薄弱的环节进行强化，帮助孩子们更加深刻的理解原由，巩固相应阶段应该掌握的内容，在期末考试中取得一个比较满意的成绩.同时预祝各位老师的教学效果更上一层楼！身体健康！幸福快乐！ 内容概括无论是在奥数的学习中，还是在日常生活中，我们都

2、会发现很多很多规律，它可以帮助我们更好的认识问题.特别是在奥数学习中，一些数列、数阵的排列，图形周长、面积的变化、庞大数字的计算等等都有一定的规律.只有经过观察、思考和试算，发现数与数、图形与图形相互之间的关系，才能得到题目的答案. 同学们，通过学习，希望你在平时多积累，多归纳，善于发现、总结一些规律，因为学会发现往往比学会几道题目重要得多. 例题精讲 【例1】 （清华附中培训试题）右图的图案表示一个花圃的设计方案，汉字表示每盆花的颜色，请问第7行第5盆花的颜色？第20行第5盆花的颜色？ （从左往右计数）分析：从上往下，从左至右，排列周期是：红、蓝、白、黄 ；第7行第5盆花的颜色：1+2+3+

3、4+5+6+5=26（盆），26÷4=62，所以是蓝色；第20行第5盆花的颜色：1+2+19+5=195，195÷4=483，所以是白色的.【前铺】流水线上生产小木球涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1个白，然后又依次是5红、4黄、3绿、2黑、1白如此继续涂下去，到第1993个小球该涂什么颜色？在前1993个小球中，涂黑色的小球有多少个？分析:根据题意，小木球涂色的次序是：“5红、4黄、3绿、2黑、1白”，也就是每涂过“5红、4黄、3绿、2黑、1白”循环一次.这里，给小木球涂色的周期是：54321=15.1993÷15=13213，第1993

4、个小球出现在上面所列一个周期中第13个，所以第1993个小球是涂黑色。每个周期黑球共有2个，则一共有2×1321=265（个）.【例2】 （小学数学奥林匹克决赛）有-列数1，1989，1988，1，1987，从第三个数起，每-个数都是它前面两个数中大数减小数的差.那么第1989个数是 .分析：数列1，1989，1988，1，1987，1986，1，1985，1984，中每隔3个数有-个1，去掉1以后，每个数比前一个少1. 1989÷3=663，所以第1989个数是1989663×2+1664 .【巩固】（迎春杯决赛）如果按-定规律排出的加法算式是：3+4，5+9，

5、7+14，9+19，11+24，.那么，把各个算式中前后两个加数分别排到第10个就是 和 ；第80个算式就是 .分析：讲解此题之前教师可根据本班情况对等差数列的有关性质进行适当回忆巩固.各算式中前面的加数依次排成-个首项是3、公差为2的等差数列；各算式中后面的加数依次排成-个首项是4、公差是5的等差数列.因此，第10个算式的前-个加数是3+2×(10-1)=21，后-个加数是4+5×(101)=49；类似地，第80个算式是161+399.【例3】 （迎春杯决赛）已知-串有规律的数：那么，在这串数中，从左往右数，第10个数是 .分析：每个分数的分子等于前-个分数的分母加分子；

6、每个分数的分母等于分子加前-个分数的分母，所以第6、7、8、9、10个分数依次为：【巩固】（华罗庚金杯赛）一列数：0、1、1、2、4、7、13、A、从左至右具有一定的排列规律，那么A可以是四个数22、23、24、25中的一个数，这个数是？分析：从第四个数开始，每个数都等于前面三个数之和，所以A=4+7+13=24 .【例4】 （从小爱数学邀请赛）在一串分数：（1）是第几个分数？（2）第400个分数是几分之几？分析：（1）分母为1、2、3、4、5的分数分别有1个、3个、5个、7个、9个、.1+3+5+7+9+11+13+15+17+7=88，88+2×(10-7)=94，所以是第88、

7、94个分数.（2）1+3+(2×201)=400 ，所以，第400个分数是.【例5】 （迎春杯决赛）真分数化为小数后，如果从小数点后第一位数字开始连续若干个数字之和是1992.那么a=_.分析：因此，真分数化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是：1+4+2+8+5+7=27，又因为1992=27×73+21，并且8+5+7+1=21，所以=，即a=6 .【例6】 一串数按下面规律排列：1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，问从左面第一个数起，数（sh）100个数，这100个数的和是多少？分析：（法1）：观察题中这一串数，容易想到把它们三个三个地分组如

8、下：（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），可以发现这串数的排列有这样的规律：第1、2、3、组中第一个数依次为1，2，3，每一组数都是由3个连续自然数组成，它们的和等于中间一个数的3倍。100÷3=331，也就是说，第100个数在第34组中，并且是34.求前100个数的和，就是求前33组数的和与34的和是多少。所以和为：2×33×34×334×334=1816 .（法2）：解法中利用分组的思想，（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），部分学生会选择每组第一个数相加得：1+2+3+33=561, 那

9、么总和即为561×3336634=1816.可先讲此法，再提出中位数（中间数字）或者平均数的方式讲解原解.【例7】 （迎春杯初赛试题改编）按规律排列的-串数：2、5、9、14、20、27、，这串数的第2007个数是多少？分析：讲解此题之前，教师不妨帮助学生回忆下面一道题目，注意运用下题中解决问题的画图分析法.【前铺】你还记得怎样找出下列数列的规律么？请你根据规律填数。（1）2、3、5、8、12、（ ）、23 （2）0、2、6、12、20、（）、42分析：（1）学生一定要掌握这种画图找数字规律的方法.（2）法一：法二 ：原数列可以这样看：0×1、1×2、2×

10、;3、3×4、4×5、（5×6）、6×7，其实，有许多数列的规律不止一种，只要你用心做，总能找到一种规律的.原题解答：我想有了上题的铺垫，学生们都恍然大悟，但是要一项一项的写到第2007个数就太恐怖了，那么我们有没有一个好的办法解决这个问题呢？我们一起来看看：第一项=2 ；第二项=5=2+3；第三项=9=2+3+4；第四项=14=2+3+4+5；第五项=20=2+3+4+5+6；第2007项=2+3+2008=1005×2007=2017035 .一定要帮助学生体会思路，掌握研究问题的方法.【例8】 有一个正六边形点阵，如右图，它的中心是一个点

11、，算作第一层；第二层每边两个点(相邻两边公用一个点)；第三层每边三个点，这个六边形点阵共100层。问这个点阵共有多少个点？ 分析 ：首先要搞清从第二层起各层点数的规律，第二层6个点；第三层12个点；第四层18个点；第100层的点数是：6×99， 这个点阵的点数为：1+612186×9916×(123+99)29701(个)。【例9】 把自然数依次排成以下数阵：1，2，4，7，3，5，8，6，9，10，如果规定横为行，纵为列.（如8排在第2行第3列）求：（1）第10行第5列排的是哪个数？（2）第5行第10列排的是哪个数？分析：这个问题可以从两个方面找规律.（1）第一

12、行是：1，2，4，7，11，；它们相邻两个数之差是1，2，3，4，5，.第二行是：3，5，8，12，；它们相邻两数之差是2，3，4，5 ，列也有类似的规律.这样，第10行第一列的数应是：12341055 . 又因为第10行中，相邻两数的差依次是：10，11，12，13，.所以，第10行第5列的数是：5510111213101.第5行第10列的数是：（12345）（5678910111213）96 .以上是先考虑行，再考虑列，也可以先考虑列，再考虑行.解答规律性问题，关键是找出规律；要找规律，就要靠细致的观察和认真的比较、分析.有时还必须先考虑几个简单的问题，作一些简单的试算，才能找到规律.当然

13、，找到规律后最好再多举几个例子验证一下，因为从少数几个例子中得出的结论，有时不太可靠.做完一道题后，最好再想一想，根据这道题隐藏的规律，能否提出一个新问题？【例10】 在下面的一串数中，从第五个数起，每个数都是它前面四个数之和的个位数字.那么在这串数中，能否出现相邻的四个数是“2000”？ 135761939237134分析：无休止地将这串数写下去，显然不是聪明的做法.按照找一周期的方法，因为这个周期很长，所以也不是好方法.那么怎么办呢？仔细观察会发现，这串数的前四个数都是奇数，按照“每个数都是它前面四个数之和的个位数字”，如果不看具体数，只看数的奇偶性，那么将这串数依次写出来，得到：奇奇奇奇

14、偶奇奇奇奇偶奇，可以看出，这串数是按照四个奇数一个偶数的规律循环出现的，永远不会出现四个偶数连在一起的情况，即不会出现“2000”.【例11】 如右图，每个小正方形的边长都是1厘米，图中的1、2、3、4分别表示折线的第1、2、3、4段。求折线中第1994、2007段的长度。分析：观察图中的折线，发现两条规律：（1）第2段、第4段、第6段的长度依次为1厘米、2厘米、3厘米.也就是说，偶数段的长度（厘米数）是这段序号的一半；（2）第1段比第2段、第3段比第4段、第5段比第6段的长度都长1厘米.1994÷2=997（厘米），2008÷2=1004，第2007段的长度：1004+1

15、=1005（厘米）.【例12】 （迎春杯决赛）自然数按从小到大的顺序排成螺旋形.在2处拐第-个弯，在3处拐第二个弯，在5处拐第三个弯问拐第二十个弯的地方是哪-个数? 分析：这是一个十分经典的题目，法1是参考书上的解答，其解答固然巧妙，帮助孩子拓宽眼界，但却没什么头绪去找到这样一个办法，法2将给大家介绍一个“通用”的思路，它能帮助你解决更多的问题.（法1）：过1画-条横线，拐弯，画竖线；再拐弯，画横线；.到第二十个拐弯处，共有11条竖线，10条横线.其中的数共11×10+1=111，即拐第二十个弯的地方是111.（法2）：先把拐角处数字找出来，观察规律，我们发现（利用画图法分析差值，发

16、现此规律）：拐角1 = 2 = 1+1 ；拐角2 = 3 = 1+1×2 ；拐角3 = 5 = 1+1×2+2 ；拐角4 = 7 = 1+1×2+2×2=1+（1+2）×2 ；拐角5 = 10 = 1+（1+2）×2 +3 ；拐角6 = 13 = 1+（1+2+3）×2 ；拐角7 = 17 = 1+（1+2+3）×2+4 ；拐角8 = 21 = 1+（1+2+3+4）×2 ；拐角9 = 26 = 1+（1+2+3+4）×2+5；依照此规律，我想同学们一定能写出第20项=111，但是你能写出第20

17、07项吗？聪明的同学会发现偶数项的规律比较明显，我们可以写出第2006项=1+（1+2+1003）×2=1007013，所以第2007项=1007013+1004=1008017. 附加题目【附1】（全国奥林匹克竞赛）有一个横2000格、竖1000格的矩形方格纸，现从它的左上角开始向右沿着边框逐格涂色到右边框，再从上到下逐格涂色到底边框，再沿底边框从右到左逐格涂色到左边框，再从下到上逐格涂色到前面涂色过的方格，如此一直螺旋式地涂下去直到将所有方格都涂满那么，最后被涂的那格是从上到下的第几行，从左到右的第几列？ 分析：如右图所示，顺时针涂完第1圈后，有两行两列被涂了色，下一个要涂色的是

18、第2行第2列的方格涂完第499圈后，有998行998列被涂了色，剩下2行1002列未被涂色最后一圈从500行500列开始，到501行500列结束【附2】（华杯赛复赛）将自然数按如下顺次排列：1 2 6 7 15 16 3 5 8 14 17 4 9 13 10 12 11 在这样的排列下，3排在第二行第-列，13排在第三行第三列，问：1993排在第几行第几列?分析：奇数斜行中的数由下向上递增，偶数斜行中的数由上向下递增.第n斜行中最大的数是：=n(n+1)，第62斜行中最大的数是×62×63=1953.第63斜行中最大的数是1953+63=2016，所以1993位于第63斜

19、行.第63斜行中数是由下向上递增，左边第一个数字是1954.因此，1993位于第63斜行由上向下数第(19931954+1)=40位.即原阵列的第(6340+1)=24行，第40列.【附3】（04数学科普电视赛）在圆周上一条直径的两端填上数1与2，第一次将两端两数的和1+2=3填在圆弧的中点，如右图所示；第二次将每段圆弧两端两数的和1+3=4，2+3=5填在这段圆弧的中点；第三次再将每段圆弧两端两数的和1+4=5，3+4=7，3+5=8，5+2=7，填在这段圆弧的中点如此继续下去，当第8次填完数之后，圆周上所有数的和是多少? 分析：每次新填上的数之和是这次填之前圆周上所有数之和的2倍，也就是说

20、，每次填完后所有数之和是上次填完后所有数之和的3倍一开始的两数之和是1+2=3填完8次后所有数之和是：（1+2）×3××3（8个3）=19683 .【附4】（小数报数学竞赛）有50个同学，头上分别戴有编号为1，2，3，49，50的帽子他们按编号从小到大的顺序，顺时针方向围成一圈做游戏：从1号同学开始，按顺时针方向“1，2；1，2；”地报数，接着报“1”的同学全部退出圆圈，报“2”的同学仍留在圆圈上比如，当编号为49的同学(报“1”)退出后，编号为50的同学(报“2”)留下；然后轮到编号为2的同学报“1”，他退出，编号为4的同学报“2”，他留下这样接看报下去当圆圈上

21、只剩下一个人时，这位同学帽子上的编号是几? 分析：从简单情况入手找规律，是小于人数的最大的2n ，所以这位同学帽子上的编号是32 .习题十四1（华罗庚学校五年级入学考试试题）从算式1998÷8991的除数和被除数中各划去两个数字,使得新算式的结果尽可能小,那么该结果小数点后第1998位数字是多少? 分析:被除数划去两个数字最小是18,除数划去两个数字最大是99,18÷99=0.1818,1998÷2正好整除,所以小数点后面1998位是8.2（07年5年级希望杯培训试题）右面四图是由四个简单图形A、B、C、D(线段与圆)组合(记为*)而成.根据规律画出表示A*D的图

22、形.分析：比较A*B，B*C，C*D，B*D可知，A表示竖线段，C表示横线段，B表示大圆，D表示小圆.所以表示A*D的是小圆加一竖线.3将1-100的自然数按下面的顺序排列：问正方形里的9个数和是90，能否照这样框出9个数，使它们的和分别是170、216、630？分析：首先先观察9个数的特点.上下两个数的平均数是10，左右两个数的平均数也是10，对角线的平均数还是10.说明10是这九个数的平均数，它们的和就是90.从这里可以看出，用3×3的正方形框出来的9个数的和一定是9的倍数.170不是9的倍数，所以不可能和是170。225和630都是9的倍数，是不是这两个数都可以呢？可以发现，排

23、在最左边一列和最右边一列上的数，不能做这9个数的平均数，因为画不出正方形。216和630÷9分别等于24和70，这两个数分别在哪一列呢？8个一循环，24÷8=3，正好在最右边一列，所以画不出来.而70÷8=86，余数是6，排在第6列，所以能画出来.4有一个数列：1，2，3，5，8，13，.（从第3个数起，每个数恰好等于它前面相邻两个数的和）求第1993个数被6除余几？（这道题需要你耐心解答呦）分析：如果能知道第1993个数是哪个数，问题很容易解决。可是要做到这一点不容易。由于我们所研究的是“余数”，如能构造出数列各项被6除，余数构成的数列，问题也可以得到解决。根据

24、“如果一个数等于几个数的和，那么这个数被a除的余数，等于各个加数被a除的余数的和再被a除的余数”。得到数列各项被6除，余数组成的数列是：1，2，3，5，2，1，3，4，1，5，0，5，5，4，3，1，4，5，3，2，5，1，0，1，1，2，3，5， ，观察规律，发现到第25项以后又重复出现前24项.呈现周期性变化规律.一个周期内排有24个数.（余数数列的前24项），1993÷24831.第1993个数是第84个周期的第1个数，因此被6除是余1.5如右图，（1）根据规律，找出（1）中第14行，从右往左第2个数；（2）根据规律，找出（2）中第14行，从右往左第2个数。分析：（1）1+14=105，所以从右往左第2个数是104