二次函数知识点总结及相关典型题目

1、二次函数一、定义:一般地,如果y=心+公+C“也C是常数,.0,那么叫做X的二次函数.例：关于X的函数y=ar+以+ca,4c是常数当a,b,c满足什么条件时1是一次函数2是正比例函数3是二次函数二、二次函数,V="2+以+c力"是常数,的性1当a>0时O抛物线开口向上O顶点为其最低点；当a<0时U>抛物线开口向下.顶点为其最高点.I.I越大,开口越小.2顶点是一±,4"一匕,对称轴是直线x=-32a4a2a3当a>0时,在对称轴左边,y随x的增大而减小；在在对称轴右边,y随x的增大而增大；当.<0时,在对称轴左边,y随x的

2、增大而增大；在在对称轴右边,y随x的增大而减小.4y轴与抛物线y=a/+c得交点为0,cc>0,抛物线与轴的交点缶轴上方,c<0,抛物线与轴的交点缶轴下方例：1、2011四川重庆,7,4分抛物线6,什cQNO在平面直角坐标系中的位置如图所练习：晨2011山东威海,7,3分二次函数,=/一2工一3的图象如下图.当yVO时,自变量x的取值范围是A.A.-lVx<3oB./一卜C.-v>3D.xV1或*>32、2010湖北孝感,12,3分如图,二次函数厂ax2+bx+c的图象与y1、轴正半轴相交,其顶点坐标为不1,以下结论：acO；a+b=O：24ac-b'=4

3、a；a+b+c<0,其中正确的个数是CA.1B.2C.3D.三、求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：y=ax2+bx+c9顶点是(一二,4':一"),对称轴是直线工=一2.2a4.2a(2)配方法；),=.(1-)2+攵的顶点为(力,上),对称轴是直线.'=/?.(3)利用交点式求对称轴及顶点：y=a(x-xj.r-xj,对称轴为x=三三至例1、求以下各抛物线的顶点和对称轴：(l)y=X-3x+5(2)y=2(x-l)2-7(3)y=-3(x-7)(x+9)例2、2011江苏淮安,14,3分)抛物线9=d-2.广3的顶点坐标是.(1,-4)四、抛物线的平移

4、方法1:计算机两条抛物线的顶点,由顶点判定平移情况方法2:将函数换成顶点式,用口决“(x)左加右减,上加下减例1、抛物线y=/+2x+3经过怎样平移得到y=x2-4x+答案：向右平移3,再向下移5个单位得到；例2、(2021四川乐山5,3分)将抛物线),=-/向左平移2个单位后,得到的抛物线的解析式是(A)A.y=-(x+2)2B.y=-x2+2C.=-(x-2)2D.y=-x2-2例3、(2011重庆江津,18,4分)将抛物线y=xz-2x向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是.(y=(x-5):+2或y=x3-10x+27)练习：1、抛物线y=2x2+2x+3经过怎样平移得到y

5、=2x2-4x+l2、抛物线y=/+2x+3向左平移2个单位,再向上移3个单位得到y=/+Z;x+c,求b和c.3、(2021山东滨州,7,3分)抛物线y=(x+2-3可以由抛物线),=/平移得到,那么以下平移过程正确的是(B)A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位五、用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式：),=/+以+C.图像上三点或三对X、的值,通常选择一般式.(2)顶点式：y=a(x-h)2+k.图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.(3)交点式：图像与x

6、轴的交点坐标为、/,通常选用交点式：y=4x-x/x-x2).(4)一般式与顶点式的变换例：1、根据条件确定以下函数的解析式：(1)抛物线过(一3,0),(0,-3),(5,0)(2)抛物线的顶点在x轴上,且过点(1,0)、(-2,4);(3)抛物线的顶点坐标为(-2,0),过点(1,4)2例2、将y=/一6工+2和y=2/+2工一4换成顶点式(y=(工3)-7,y=2(工+)22练习：1、将y=元-415和y=3"+71+4换成顶点式2、(2021山东济宁,12,3分)将二次函数y=/4x+5化为),=(x力/+攵的形式,那么y=(y=(x-2)?+i)七、y=ax2+bx+c(a

7、M0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(.H0)的关系2=万一4acA>0=0<0ax2+bx+c=0aH0)方程有两个不相等的实数根XeXi方程有两个相等的实数根刀=工2方程没有实数根y=ax2+bx+cJaH0)抛物物与X轴有两个交点4工.)8(%,0)抛物物与X轴只有一个交点(Xi,°)抛物物与X轴没有交点A8=,(X1+X2)-bc_韦达定理：x1+x2=-x.x2=-(二者都可以用)例1、(2011台湾台北,32)如图(十四),将二次函数),=31/-999x+892的图形画在坐标平面上,判断方程式31/999x+892=0的两根,以下表达何者正确？(A)A.

8、两根相异,且均为正根B.两根相异,且只有一个正根C.两根相同,且为正根D.两根相同,且为负根例2、.抛物线,=/-2工-3与x轴分别交于A、B两点,与y轴交于点C,那么AB的长为三角形ABC的面积是一6°练习：1.二次函数y="W2的图象经过点1,-1.求这个二次函数的解析式,并判断该函数图象与x轴的交点的个数.y=/2,两个交点2.2011湖北襄阳,12,3分函数y=A-3/+2x+l的图象与x轴有交点,那么的取值范围是BA.k<4°£.&<4且女工3D.女£4且2x33、2011广东东莞,15,6分抛物线y=g/+x+c

9、与*轴有交点.1求.的取值范围；2试确定直线产5H经过的象限,并说明理由.八、二次函数的应用1、求y=ax2+bx+ca,b,c是常数,aW0最大值或最小值a>0,函数有最小值为顶点的纵坐标,此时x等于顶点的横坐标；.<0,函数有最大值为顶点的纵坐标,此时x等于顶点的横坐标.2、面积问题,主要利用各种图形的面积公式,如三角形面积=底、高x!3、利润问题：利润:销量x售价-进价-其他4、拱桥问题例1、2021广东肇庆,10,3分二次函数,=/+2工-5有DA.最大值一5B最小值一5C.最大值一6D.最小值一6例2、一块矩形耕地大小尺寸如下图单位:m,要在这块上地上沿东西方向挖一条水渠

10、,沿南北方向挖两条水渠,水渠的宽为Xm,余下的可耕地面枳为y%?.1请你写出y与x之间的解析式：2根据你写出的函数解析式,当水渠的宽度为1m时,余下的可耕地面积为多少？3假设余下的耕地而积为4408勿求此时水渠的宽度.例3、某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销量m件与每件的销售价X元满足一次函数：m=162-3x.1写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式：2如果商场要想每天获得最大销售利润,每件商品的定价为多少最适宜?最大销售利润为多少？练习：1、某商店经销一种销售本钱为每千克40元的水产品.据市场分析,假设按每千克50元销售,一个月能售

11、出500千克;销售单价每涨1元,月销售量就减少10千克,针对这种水产品的销售情况,请解答以下问题：1当销售单价定为每千克55元时,计算月销售量和月销售利润；2设销售单价为每千克X元,月销售利润为Y元,求Y与X的函数关系式不必写出X的取值范围；3商店想在月销售本钱不超过10000元的情况下,使得月销售利润到达8000元,销售单价应定为多少？2、卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一局部.在大桥截而1：11000的比例图上,跨度AB二5cm,拱高0C=0.9cm,线段DE表示大桥拱内桥长,DEAB,如图1.在比例图上,以直线AB为x轴,抛物线的对称轴为y轴,以1cm作为数轴的单位长度,建立平面直角坐标系,如图(2).1求出图2上以这一局部抛物线为图象的函数解析式,写出函数定义域:18y=125x2+(-<x<)1022如果DE与AB的距离0X=0.45cm,求卢浦大桥拱内实际桥长备用数据：&长1.4,计算结果精确到1米).12x11000x0.01=275138523、如图6,一单杠高2.2m,两立柱之间的距离为L6m,将一根绳子的两端拴于立柱与横杠结合处,绳子自然下垂呈抛物线形状,一身高0.7m的小孩站在离左边立柱0.4m处,其头部刚好触到绳子