九年级数学下册知识讲义-3圆内接正多边形(附练习及答案)-北师大版

1、初中数学；圆内接正多边形学司1.标一、考点突破1 .了解圆内接正多边形的有关概念.2 .理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中央角之间的关系.3 .会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形.二、重难点提示重点：圆内接正多边形的定义及相关性质.难点：正多边形半径、中央角、弦心距、边长之间的关系.考点精讲1 .圆内接正多边形的有关概念顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形的外接圆O正多边形的中央、半径、边心距、中央角正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中央；正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径：正多边形的中央到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距；正

2、多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中央角.如图:五边形ABCDE是OO的内接正五边形,圆心O叫做这个正五边形的中央；04是这个正五边形的半径；OM是这个正五边形的边心距.Z4O8叫做这个正五边形的中央角.【要点诠释】只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以做出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆.求正边形中央角的常用方法：正边形有八条边,每条边对应一个中央角,所以正,边形的中央角为.正边形中央角度数与正边形的一个外角相等2 .特殊的圆内接正多边形的半径、弦心距、边长之间的关系正三角形一一在中进行：；正四边形一一在中进行,；正六边形一一在中进行,.B【规律总结】正多

3、边形的外接圆半径R与边长,、边心距之间的关系：R2=/+()2,连接正边形的半径,弦心距,把正边形的有关计算转化为直角三角形中的问题.典例精讲例题1(义乌市)一张圆心角为45的扇形纸板和圆形纸板按如以下图所示方式分别剪成一个正方形,边长都为1,那么扇形和圆形纸板的面积比是()思路分析：先画出图形,分别求出扇形和圆的半径,再根据而积公式求出面积,最后求出比值即可.答案：解：如图1所示,连接0D,丁四边形ABCD是正方形,AZDCB=ZABO=90,AB=BC=CD=1,VZAOB=45,AOB=AB=1,由勾股定理得：OD=,I.扇形的面积是=兀：图1如图2所示,连接MB、MC,四边形ABCD是

4、.M的内接四边形,四边形ABCD是正方形,AZBMC=90%MB=MC,AZMCB=ZMBC=45,VBC=1,AMC=MB=,的面积是兀x()2f.扇形和圆形纸板的面积比是.应选Ao技巧点拨：此题考查了正方形性质,圆内接四边形性质,扇形的面积公式的应用,解此题的关键是求出扇形和圆的而积,题目比拟好,难度适中.例题2莱芜如图,在正五边形ABCDE中,连接AC、AD、CE,CE交AD于点F,连接BF,以下说法不正确的选项是B.FC平分NBFDD.DE2=EF*CEA.ACDF的周长等于AD+CDC.AC2+BF2=4CD2思路分析：首先由正五边形的性质,可得AB=BC=CD=DE=AE,BACE

5、,ADBC,ACDE,AC=AD=CE,根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形,即可证得四边形ABCF为菱形,得CF=AF,即4CDF的周长等于AD+CD,由菱形的性质和勾股定理得出AC4BF=4CD可证实CDEsADFE,即可得出DE:=EF*CEa答案：解：；五边形ABCDE是正五边形,AB=BC=CD=DE=AE,BACE,ADBC,ACDE,AC=AD=CE,.四边形ABCF是菱形,.CF=AF,二.CDF的周长等于CF+DF+CD,即4CDF的周长等于AD+CD,故A选项正确；四边形ABCF是菱形,AC_LBF,设AC与BF交于点O,由勾股定理得OB2+OC?=BC2,AAC2+BF2

6、=(2002+(20B)2=4OC2+4OB2=4BC2,AAC2+BF2=4CD2,故c选项正确：由正五边形的性质得,ADEgaCDE,NDCE=NEDF,AACDEADFE,：=,DE2=EFCE,故D选项正确.应选：B.A技巧点拨：此题考查了正五边形的性质,全等三角形的判定,综合考查的知识点较多,解答此题注意已经证实的结论,可以直接拿来使用.提分宝典【易错警示】例如：判断命题“各内角都相等的圆内接多边形是正多边形.的真假.易错点：容易错误地理解这个命题是真命题.【针对练习】某学习小组在探索这个问题时,有如下探讨：甲同学：我发现这种多边形不一定是正多边形,如圆内接矩形不一定是正方形.乙同学

7、：我知道,边数为3时,它是正三角形；我想,边数为5时,它可能也是正五边形丙同学：我发现边数为6时,它也不一定是正六边形.如图2所示,ABC是正三角形,Mad、弧be、弧cf均相等,这样构造的六边形adbecf不是正六边形.1如图1所示,假设圆内接五边形ABCDE的各内角均相等,那么NABC=.请简要说明圆内接五边形ABCDE为正五边形的理由.2如图2所示,请证实丙同学构造的六边形各内角相等.3根据以上探索过程,就问题“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形的结论与“边数S23,为整数的关系,提出你的猜测不需证实.思路分析：1先根据多边形内角和定理求出正五边形的内角和,再求出各角的度数:根据各

8、角度数证实各边之间的关系即可；2由图知NAFC对,由=,而NDAF对的=+=+=,故可得出NAFC=NDAF,同理可证其余各角都等于NAFC,由此即可得出结论;3根据1、2的证实即可得出结论.答案：1.五边形的内角和=52xl80=540,NABC=108.,理由：.NA=ZB=ZC=ZD=ZE,NA对着,NB对着,=,一=一,即=,BC=AE,同理可证其余各边都相等,五边形ABCDE是正五边形.2由图知NAFC对,而NDAF对,V=,.*.+=+,即=,NAFC=NDAF,同理可证其余各角都等于NAFC,故图2中六边形各角相等.3由1、2可知,当523,为整数是奇数时,各内角都相等的圆内接多

9、边形是正多边形；当,23,为整数是偶数时,各内角都相等的圆内接多边形不一定为正多边形.技巧点拨：此题考查的是正多边形和圆,熟知弧、圆心角、弦的关系是解答此题的关键.同步练习做题时间：30分钟1 .阅读理解：如图1所示,在平而内选一定点O,引一条有方向的射线Ox,再选定一个单位长度,那么平而上任一点M的位置可由NMOx的度数8与0M的长度m确定,有序数对8,m称为M点的“极坐标,这样建立的坐标系称为“极坐标系二应用：在图2所示的极坐标系下,如果正六边形的边长为2,有一边OA在射线Ox上,那么正六边形的顶点C的极坐标应记为2 .如下图,有一个边长为1的正六边形ABCDEF,其中C,D坐标分别为1,

10、0和2,0,假设在无滑动的情况下,将这个六边形沿着x轴向右滚动,那么在滚动过程中,这个六边形的顶点A,B,C,D,E,F中,会过点2021,2的是3 .如下图,在平而直角坐标系中,边长为6的正六边形ABCDEF的对称中央与原点O重合,点A在x轴上,点B在反比例函数y=位于第一象限的图象上,那么k的值为4 .如下图,把正4ABC的外接圆对折,使点A与劣弧的中点M重合,折痕分别交AB、AC于D、E,假设BC=5,那么线段DE的长为A.B.C.D.A*6.如图,点E、D分别是正三角形ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的一边延长线和另一边反向延长线上的点,且BE=CD,DB的延

11、长线交AE于点F,那么图1中NAFB的度数为；假设将条件正三角形、正四边形、正五边形改为正n边形,其他条件不变,那么NAFB的度数为.用n的代数式表示,其中,应3,且n为整数*7.如图,AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线.1在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中,连接两个顶点,使连接的线段与AG平行,并说明理由:2两边延长AB、CD、EF、GH,使延长线分别交于点P、Q、M、N,假设AB=2,求四边形PQMN的面积.*8.1：如图1所示,ZkABC是.O的内接正三角形,点P为弧BC上一动点,求证：PA=PB+PC：2如图2所示,四边形ABCD是.0的内接正方形,点P为弧BC上一动点,求证

12、:PA=PC+PBx3如图3所示,六边形ABCDEF是OO的内接正六边形,点P为弧BC上一动点,请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系,并给予证实.答案1 .A解：如图2所示,设正六边形的中央为D,连接AD,VZADO=3606=60,OD=AD,AAAOD是等边三角形,OD=OA=2,NAOD=60.,AOC=2OD=2x2=4,正六边形的顶点C的极坐标应记为(60%4)o当滚动到ADJ_x轴时,E、F、A的对应点分别是EZACP=60+ZBCP,NBCE=NACP, ABC、4ECP为等边三角形,ACE=PC,AC=BC,AABECAAPC(SAS),：.PA=BE=PB+PE=PB+PC(2)过点B作BE_LPB交PA于E, Z1+Z2=Z2+Z3=90A