人教版八年级上册数学专题全等三角形中辅助线的添加

1、全等三角形中辅助线的添加一.教学内容：全等三角形的常见辅助线的添加方法、根本图形的性质的掌握及熟练应用.二.知识要点：1、添加辅助线的方法和语言表述(1)作线段：连接；(2)作平行线：过点作/；(3)作垂线(作高)：过点作!,垂足为；(4)作中线：取中点,连接；(5)延长并截取线段：延长使等于；(6)截取等长线段：在上截取,使等于；(7)作角平分线：作平分；作角等于角；(8)作一个角等于角：作角等于.2、全等三角形中的根本图形的构造与运用常用的辅助线的添加方法：(1)倍长中线(或类中线)法：假设遇到三角形的中线或类中线(与中点有关的线段),通常考虑倍长中线或类中线,构造全等三角形.(2)截长补

2、短法：假设遇到证实线段的和差倍分关系时,通常考虑截长补短法,构造全等三角形.截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证实剩下局部等于另一条；补短：将一条较短线段延长,延长部分等于另一条较短线段,然后证实新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段,然后证实延长局部等于另一条较短线段.(3)一线三等角问题("K'字图、弦图、三垂图)：两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的直角边.(4)角平分线、中垂线法：以角平分线、中垂线为对称轴利用轴对称性“构造全等三角形.(5)角含半角、等腰三角形的(绕顶点、绕斜边中点)旋转重合法：用旋转构造三角形全等.(6)

3、构造特殊三角形：主要是30°、60°、90°、等腰直角三角形(用平移、对称和弦图也可以构造)和等边三角形的特殊三角形来构造全等三角形.三、根本模型：(1) ABC中AD是BC边中线方式3:延长MDiJN,使DN=MD连接CD方式1:延长AD至ijE,使DE=AD连接BE方式2:间接倍长,作CF,AD于F,作BEXAD的延长线于E,连接BE(2)由4AB图BCD导出由4AB瞌BCD导出由ABMBCD导出BC=BE+ED=AB+CDED=AE-CDEC=AB-CD(3)角分线,分两边,对称全等要记全角分线+垂线,等腰三角形必呈现(三线合一)(4)旋转：方法：延长其中一

4、个补角的线段(延长CME,使ED=BM连AE或延长CB到F,使FB=DN,连AF)结论：MN=BM+DNCMN2ABAMAN分别平分ZBMtfnZDNM翻折：思路：分别将AB林口ADNAAMDAN为对称轴翻折,0一但一定要证实MP、N三点共线.(/B+/D=180且AB=AD(5)手拉手模型AB讨口ACF均为等边三角形结论：(1)AABFAAEC(2)ZB0E=ZBAE=60(“八字型模型证实)；(3)OA平分/EOF拓展：条件：ABCF口ACDE匀为等边三角形结论：(1)、AD=BE(2)、/ACB=AOB(3)、PCQ；等边三角形(4)、PQ/AE(5)、AP=BQ(6)、C0¥

5、ZAOE(7)、OA=OB+OC(8)、OE=OC+OD(7),(8)需构造等边三角形证实)、ABDACE匀为等腰直角三角形结论：(1)、BE=CD(2)BELCDABE林口ACH明为正方形结论：(1)、BD±CF(2)、BD=CF变形一：ABE侪口ACH的为正方形,AS,BC交FD于T,求证：T为FD的中点.,abcSADF.方法Gi2AA四、典型例题:考点一：倍长中线或类中线法:方法三:变形二：ABEFF口ACH的为正方形,M为FD的中点,求证：AN!BC当以ABAC为边构造正多边形时,总有:/1=/2=180KBCDB360FEFEHGDCnJIIH核心母题,如图ABC中,AB

6、=5,AC=3那么中线AD的取值范围是练习：1、如图,大小.ABC中,E、F分别在ARAC上,DELDF,D是中点,试比拟BE+CF与2、如图,ABC中,BD=DC=ACE是DC的中点,求证：AD平分/BAE.3、如图,CECB分另1是4AB明ADC勺中线,且/ACBhABC求证：CD=2CE4、：如图,在正方形ABCD中,E是BC的中点,点F在CD上,/FAE=/BAE.求证：AF=BC+FC.5、如图,D是AB的中点,/ACB=90,求证：2CD=AB.6、在ABC中,AB=ACD在AB上,E在AC的延长线上,DE交BC于F,且DF=EF求证：BD=CE7、在ABC中,AD是BC边上的中线

7、,E是AD上一点,且BE=AC延长BE交AC于F,求证:AF=EE8、：如图,在ABC中,ABAC,口E在BC上,且DE=EC过D作DF/BA交AE于点F,DF=AC.求证：AE平分BAC.9、以ABC的两边ABAM腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACEBADCAE90,连接DEM防另1J是BCDE勺中点.探究：AMfD的位置关系及数量关系.(1)如图当ABC为直角三角形时,aMTDE勺位置关系是,线段AMTDE勺数量关系(2)将图中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后,如图所示,(1)问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由.10、：ABC八口四两个不全等

8、的等腰直角三角形,其中BA=BCDA=DE联结EC取EC的中点M联结BMDM(1)如图1,如果点nE分别在边ACAB上,那么BMDM勺数量关系与位置关系是;(2)将图1中的AD瞰点A旋转到图2的位置时,判断(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由.变式1:：在RtABC中,AB=BC在RtADE中,AD=DE连结EC,取EC的中点M,连结口风口BM(1)假设点D在边AC上,点E在边AB上且与点B不重合,如图,探索BMDM的关系并给予证实；(2)如果将图中的AD遴点A逆时针旋转小于45°的角,如图,那么(1)中的结论是否仍成立？如果不成立,请举出反例；如果成立,请给予证实.变式:2:：A

9、BCF口ADEB是等腰直角三角形,/ABG/ADE=90°,点M是CE的中点,连接BM(1)如图,点D在AB上,连接DM并延长DMKBC于点N,可探究得出BD与BM勺数量关系为(2)如图,点D不在AB上,(1)中的结论还成立吗？如果成立,请证实；如果不成立,说明理由变式3：四边形ABCD是正方形,BEF是等腰直角三角形,BEF90,BEEF,连接DF,G为DF的中点,连接EG,CG,EC.EC(1)如图24-1,假设点E在CB边的延长线上,直接写出EG与GC的位置关系及上上的值；GC(2)将图24-1中的BEF绕点B顺时针旋转至图24-2所示位置,请问(1)中所得的结论是否仍然成立？

10、假设8/25成立,请写出证实过程；假设不成立,请说明理由;90),假设BE1,ABJ5,当E,F,(3)将图24-1中的BEF绕点B顺时针旋转(0点共线时,求DF的长及/ABF的度数.备用图考点二：截长补短法：核心母题如图,AD/BC,EA,EB分另I平分/DAB,/CBA,CE点E,求证：AB=AD+BC.练习:1、如图a,ABCCEF是两个大小不等的等边三角形,且有一个公共顶点C,连接AF和BE.线段AF和BE有怎样的大小关系？青证实你的结论;(2)将图a中的CEF绕点C旋转一定的角度,得到图b,(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由;、：如图,ABC是等边三角形,BDC120,求证：

11、ADBDCD.、四边形ABCD中,ABBC,ABC60:P为四边形ABCD的对角线BD上一点,且APD120,求证：PAPDPCBDC2、在ABC中,/BAC=60,Z0=40°,AP平分/BAC交BC于巳BQ平分/交AC于Q求证：AB+BP=BQ+AQ3、如图,在ABC中,ABC60,AD,CE分别为4、如图,在ABC中,AB=ACD是ABC外一点,且/ABD=60求证：BD+DC=ABABCBAC,ACB的平分线,求证：AC=AE+CD5、：如图在ABC中,AB=ACD为ABC外一点,/ABD=60,/ADB=90BDC求证：AB=BDFDC考点三：一线三等角问题“K字图核心母题

12、：如图,在RtABC中,/BAC=90,AB=ACD是BC边上一点,/ADE=45,AD=DE求证：BD=EC.BEC且练习：2、两个全等的含30,60°角的三角板ADE和三角板ABC如下图1、：如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边BC、AB上的点,EF=ED,EF±ED.求证：AE平分/BAD.置,E,A,C三点在一条直线上,连接BD,取BD的中点M,连接MEMC试判断EMC的形状,并说明理由.3、如图,在ABC中,ACB90,ACBC,直线MN经过点C,且ADMN于点D,BEMN于点E.(1)当直线MN绕点C旋转到图(1)的位置时,求证(2)当直线MN绕点C旋转到图(

13、2)的位置时,求证(3)当直线MN绕点C旋转到图(3)的位置时,试问加以证实.DE=AD+BEDE=AD-BE;DE,AD,BE有怎样的等量关系？请写出等量关系,并H在同成的图图24、如下图,AE±AB,BC,CD且AB=AE,BC=CD,F、A、GC、一直线上,如根据图中所标注的数据及符号,那么图中实线所围形面积是？6、小雨遇到这样一个问题：如图1,直线l1/l2/l3,ll与l2之间的距离是1,l2与l3之间的距离是2,试画出一个等腰直角三角形ABC使三个顶点分别在直线l1、l2、l3上,并求出所画等腰直角三角形ABCW面积.l1l2l3图1小雨是这样思考的：要想解决这个问题,首

14、先应想方法利用平行线之间的距离,根据所求图形的性质尝试用旋转的方法构造全等三角形解决问题.具体作法如图2所示：在直线l1任取一点A,作ACLl2于点D,作/DAH90.,在AH上截取AEAD过点E作EBLAE交片于点B,连接AB作/BA=90,交直线l2于点C,连接BC即可得到等腰直角三角形ABC请你答复：图2中等腰直角三角形ABC勺面积等于.参考小雨同学的方法,解决以下问题：如图3,直线ll2/l3,l1与l2之间的距离是2,l2与l3之间的距离是1,试画出一个等边三角形ABC使三个顶点分别在直线l1、12、13上,并直接写出所画等边三角形ABC勺面积保存画图痕迹.11111212l3l3图

15、3图37、如图,在平面直角坐标系中,将直角三角形的直角顶点放在P(5,5)处,两条直角边与坐标轴分别交于点值或取的值或和点B.(1)当点A、点B分别在x轴、y轴正半轴上运动时,试探究OA+0B勺值范围；(2)点A在x轴正半轴上运动,点B在y轴负半轴上时,试探究OA-OB取值范围,直接写出结果.9、：在平面直角坐标系中,等腰直角ABC顶点A、C分别在y轴、x轴上,且/ACB=90°,AC=BC.(1)如图1,当A(0,-2),C(1,0),点B在第四象限时,先写出点B的坐标,并说明理由.(2)如图2,当点C在x轴正半轴上运动,点A(0,a)在y轴正半轴上运动,点B(m,n)在第四象限时

16、,作BD±y轴于点D,试判断a,m,n之间的关系,请证实你的结论.考点四：角平分线、中垂线法核心母题1、在ABC中,ABAC,AD是BAC的平分线.P是AD上任意一点.求证：ABACPBPC.2、等腰直角三角形ABC,BC是斜边./B的角平分线交AC于D,过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E,求证：BD=2CE.3、如图,ABC的边BC的中垂线DF交ABAC的外角平分线足,DELAB于E,且AB>AC求证：BE-AC=AEAD于D,F为垂练习1、如下图,在ABC中,AD是BAC的外角平分线,P是AD上异于点一点,试比拟PBPC与ABAC的大小,并说明理由.3、在ABC中,AB

17、2AC,AD平分BAC,E是AD中点,连结CE,求证：BD2CE4、如图,ABC中,/ABC=2/C,BE平分/ABC交AC于E、AD±BE于D,求证：(1)AC-BE=AE;(2) AC=2BD.5、如图,在ABC中,AB>AC,E为BC边的中点,AD为/BAC的平分线,过E作AD的平行线,交AB于F,交CA的延长线于G.求证：BF=CG.变式一：如图,在交CA的延长线于点角平分线.EF/ADBAC的ABC中,AD交BC于点D,点E是BC中点,F,交AB于点G,假设BGCF,求证：AD为变式二：ABC中,AD是ABC的角平分线,M为BC的中点,过点M作MNAD,交AC于点N,

18、求证：AN+AB=NC.ABDL图16、如图,ABC中,AB=AC,/A=100°,/B的平分线交求证：A*BD=BC7、如图,在ABC中,ADLBC于D,CD=AB+BD,/B的平分线交求证：点E恰好在BC的垂直平分线上.BDM图2AC于D,BCAC于点E'变式三：在ABC43,AD是ABC勺角平分线.(1)如图1,过C作CE/AD交BA延长线于点E,假设F为CE的中点,连结AF,求证：AF±AD(2)如图2,M为BC的中点,过M作MN/AD交AC于点N假设AB=4,AC=7,求NC的长.A8、如图1,在ABC中,/ACB=2ZB,/BAC的平分线AO交BC于点D

19、,点H为AO上一动点,过点H作直线l±AO于H,分别交直线ARACBC于点N、E、M(1)当直线l经过点C时(如图2),证实：BN=CD(2)当M是BC中点时,写出CE和CD之间的等量关系,并加以证实;(3)请直接写出BNCECD之间的等量关系.9、如下图,在ABC中,/ABC=2C,AD是/BAC的平分线,于F,求证：2BE=AC-ABBE±AD变式：如图,在ABC中,ABC3C,12,BEAE.求证：ACAB2BE10、如下图,在ABC中,AD平分BAC,ADABAC2AM.AB,CM证变式一：如图/1=Z2,B为AC中点,CMLFB于M,ANILFB于N,求证：EF=

20、2BMFB=FM+FN2变式二：如图,在ODC中,D90°,EC是DCO的角平分线,且OECE,过点e作EFOC交OC于点F.猜测：线段EF与OD之间的关系,并证实变式三：如下图,在ABC中,AOAB,M为BC的中点,CF±AD且交AD的延长线于F,求证：MF=1(ACAB).2A考点五：角含半角、等腰三角形的绕顶点旋转重合法核心母题如图,在正方形ABCM,E、F分别是BGCDi力上的点,/EAF=45,求证：EF=BE+DF.变式一：如图,E、F分别是边长为1的正方形ABCD勺边BGCD上的点,假设4ECF的周长是2,求/EAF的度数？变式二：如图,在正方形ABC邛,E、

21、F分别是BGCDii上的点,/EAQ=45,AHLEF,求证:AH=AB.+DNDNM.综合：在正方形ABCDK假设MN分别在边BCCD±移动,且满足MN=BM求证：./MAN45.Ccmn2AB.amAN分别平分/BM呼口/练习1、如图,在四边形ABCD,AB=BC,ZA=Z0=90°,/B=135°,K、N分别是ABBC上的点,假设BKN的周长是AB的2倍,求/KDN的度数?B2、：正方形ABCD中,/MAN=45°,/MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点MkN.当绕点A旋转到BM=DN时1),易证BM+DN=MN/

22、MAN绕点A旋转到BM产(如图2),线段BMDN之间有怎样的数量关出猜测,并加以证实；/MAN绕点A旋转到如图/MAN(如图(1)当DN时和MN系？写(2)当3的位置时,线段BMDN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜测.3、如图,在四边形ABCD43,AB=AD,/B+/D=180°,E、F分别是边BGCD上的点,且2/EAF=ZBAD(1)求证：EF=BE+FD(2)如果E、F分别是边BGCD延长线上的点,其他条件不变,结论是否仍然成立？说明理由.AD平分/CDE.5、如下图,在五边形ABCD即,AB=AEBC+DE=CD/ABC吆AED=180求证:6、如图,AB=CD=AE=BC+DE=2,/ABC=ZAED=90°,求五边形ABCDE的面积.7、如图1.在四边形ABCD中.AB=AD,ZB+ZD=180°,E、F分别是边BC、CD上的点,且/BAD=2/EAF.(1)求证：EF=BE+D