下册因式分解几乎所有方法添项等

1、因式分解的方法教学内容：因式分解方法1 .提取公因式法：例：将2x3n,0x2ny3+50xny6分解因式.解：原式=2xn(x2n0xny3+25y6)=2xn(x：y3)22 .公式法：22a-b=(a-b)(a+b)a2+2ab+b2=(a=tb)2a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)例：64x6_y12解：原式=(8x3+y6)(8x3-y6)=(2x+y2)(4x2-2xy2+y4)(2x_y2)(4x2+2xy2+y4)3 .分组分解法：例：(am+bn)2+(an-bm)2+c2m2+c2n2解：原式=a2m2+b2n2+2abmn

2、+a2n2+b2m2-2abmn+c2m2+c2n2=a2m2+b2n2+a2n2+b2m2+c2(m2+n2)=(m2+n2)(a2+b2+c2)4 .十字相乘法：例：12x2+i0xy2x+5y-9解：原式=12x2+(i0y2)x+5y-92x16x-5y-9原式=(2x+1)(6x+5y-9)5 .拆添辅助项法：例：分解因式x3+3x2-4解：把工拆成()十(二).原式=x3+3x21-3=(x3)+3(x2-1)=(x-1)(x2+x+1)+3(x-1)(x+1)=(x-1)(x2+4x+4)=(x-1)(x+2)26 .配方法：例：将x4+y4+z4-2x2y2-2x2z2-2y2

3、z2分解因式.解：原式=(x4+2x2y2+y4)-2(x2+y2)z2+z4-4x2y2=(x2+y2)2-2(x2+y2)z2+z4-4x2y22,2222=(x+y节-(2xy)=(x2+y2-z2+2xy)(x2+y2-z2-2xy)=(x2+y2)2-z2(x2-y2)2-z2=(x2+y2+z)(x2+y2-z)(x2-y2+z)(x2寸-z)7 .换元法：例：(x2+3x-2)(x2+3x+4)T6解：令x2+3x=y那么原式=(y-2)(y+4)-16=y2+2y-24=(y+6)(yf.22.=(x+3x+6)(x+3x-4)2=(x2+3x+6)(x+4)(x/)8 .待定

4、系数法：例：分解因式x2+2xy_8y2+2x+14y3解：x2+2xy-8y2=(x-2y)(x+4y):设原式=(x-2y+m)(x+4y+n)=x2+2xy-8y2+(m+n)x+(4m-2n)y+mn比拟系数得：产=3.n=-1E+n=2m-2n=14解得：n=-3.原式=(x-2y+3)(x+4y/)分组分解因式的几种常用方法.1 .按公因式分解例1分解因式7x2-3y+xy+21x.分析：第1、4项含公因式7x,第2、3项含公因式y,分组后又有公因式(x-3),解：原式=(7x2-21x)+(xy-3y)=7x(x-3)+y(x-3)=(x-3)(7x+y).2 .按系数分解例2分

5、解因式x3+3x2+3x+9.分析：第1、2项和3、4项的系数之比1:3,把它们按系数分组.解；原式=(x3+3x2)+(3x+9)=x2(x+3)+3(x+3)=(x+3)(x2+3).3 .按次数分组例3分解因式m2+2m-n-3m-3n+n2.分析：第1、2、5项是二次项,第3、4项是一次项,按次数分组后能用公式和提取公因式.解：原式=(m2+2mn+n2)+(-3m-3n)=(m+n)2-3(m+n)=(m+n)(m+n-3).4 .按乘法公式分组例4分解因式/分析：第1、3、4项结合正好是完全平方公式,分组后又与第二项用平方差公式.解：原式=(*一疗=(a-y-c)3-b2=(a-；

6、-c-bXa_+b).5 .展开后再分组例5分解因式ab(c2+d2)+cd(a2+b2).分析：将括号展开后再重新分组.+ad)=解：原式=abc2+abd2+cda2十cdb2=(abc2+cda2)+(cdb2+abd2)=ac(bc+ad)+bd(bc(bc+ad)(ac+bd).6 .拆项后再分组例6分解因式x2-y2+4x+2y+3.分析：把常数拆开后再分组用乘法公式.-y+3)解：原式=x2-y2+4x+2y+4-1=(x2+4x+4)+(-y2+2y-1)=(x+2)2-(y-1)2=(x+y+1)(x7 .添项后再分组例7分解因式x4+4.分析：上式项数较少,较难分解,可添项

7、后再分组.解：原式=x4+4x2-4x2+4=(x2+2)2-(2x)2=(x2+2x+2)(x2-2x+2)二、用换元法进行因式分解用添加辅助元素的换元思想进行因式分解就是原式繁杂直接分解有困难,通过换元化为简单,从而分步完成.例8分解因式(x2+3x-2)(x2+3x+4)-16.分析：将令y=x2+3x,那么原式转化为(y-2)(y+4)-16再分解就简单了.解：令y=x2+3x,那么原式=(y-2)(y+4)-16=y2+2y-24=(y+6)(y-4).因此,原式=(x2+3x+6)(x2+3x-4)=(x-1)(x+4)(x2+3x+6).二:、用求根法讲行因式分解例9分解因式x2

8、+7x+2.分析：x2+7x+2利用上述各方法皆不好完成,但仍可以分解,可用先求该多项式对应方程的根再分解.解,解方程/+可得“二|一3,7+屈啊-+7区+2=(工11Xx+;四、用待定系数法介解因式例10分解因式x2+6x-16.分析：假设能分解,那么应分解为两个一次项式的积形式,即(x+bi)(x+b2),将其展开得x2+(bi+b2)x十bb2与x2+6x-16相比拟得b1+b2=6,bi-b2=-16,可得bi,b2即可分解.解：设x2+6x-16=(x+b1)(x+b2)那么x2+6x-16=x2+(b1+b2)x+b1,b2-x2+6x-16=(x-2)(x+8).活用配方法分解因

9、式应用配方法分解因式,常能将多项式配成M2-N2的形式并应用开方差公式分解.例1分解因式4a2-9b2+12a+6b+8分析第一、三项,第二、四项分别结合后再配以恰当的常数分别构成完全平方公式,进而两者又构成一平方差,因此拆常数项8=91即可.一,2一一、,一2一,、解：原式=(4a12a9)-(9b-6b1)=(2a3)2-(3b-1)2-(2a3b2)(2a-3b4)4224例2分解因式m十mn十n分析此式中各项均为平方式,可采用添项法将式中某一局部配方,构造平方差公式解：原式二(m42m2n2n4)-m2n2二(m2n2)2-(mn)2,2222、二(mnmn)(mn-mn)例3分解因式

10、t22(m+n)tmn(m2)(n+2)222分析将多项式中刖两项t2(m+n)t进行配方,添上(m+n)-(m+n)即可分组分解.222斛：原式=t一2(mn)t(mn)一(mn)-mn(m一2)(n2)2222二t-(mn)一(mn)mn2mn(mn)-4mn222二(tmn)T(mn)2(mn)mn(mn)22=(t-m-n)-(m-nmn)=(t-2nmn)(t-2m-mn)4,22、24例4分解因式(a+b)十(a-b)十(ab)分析：此题中只含a+b和a-b两个式子,可分别运用和差换元后再考虑配方.解：设a+b=s,ab=t,那么一42244_22422原式=sstt=(s2stt

11、)-st2222=(st)-(st),2.2,、,2.2、=(stst)(st-st)2.,.、2、,一2,.、2=(ab)(a-b)(ab)(a-b)(ab)(a-b)-(ab)(a-b)=(3a2b2)(a23b2)4,例5分解因式(1+b)-2a(1+b)+a(1b)分析此多项式首末两项是完全平方式,可考虑对其进行配方解：原式4=(1b)22(1b)a2(1-b)a4(1-b)2-2a2(1b2)-2(1b)a2(1-b)22222u(1b)a(1-b)-2a(1b)(1-b),22.2,一、2-(a-abb1)-(2a),22._、,22.,_、=(a-abb12a)(a-abb1-2

12、a)2222=(a1)-b(a-1)(a-1)-b(a-1)=(a1)2-b(a1)(a-1)(a-1)2-b(a1)(a-1)=(a1)(a1-abb)(a-1)(a-1-ab-b)例6分解因式m4+n4+(m+n)4分析将(m+n)4化为(m2+2mn+n2)2,再将m4+n4化为(m2+n2)2-2m2n2,创造用完全平方公式分解因式的条件,便可到达将原式分解因式的目的解：原式=(m42m2n2n4)-2m2n2(mn)22,22、2-22,2八2、2二(mn)-2mn(m2mnn)/22、222/22、22222二(mn)-2mn(mn)4mn(mn)4mn:2(m2n2)22(m2-n2)mn(mn)2_222二2(mnmn)因式分解是代数中的重要内容,在学习中如何进行小结与复习一.根据提、二公式、三分组、四检查的步骤,效果良好.2.从多项式的项数分析,除提取公因式法外,假设多项式是两项式,可能用什么方法(答：平方差、立方和、立方差公式.)假设多项式是三项的可能用什么方法(答：完全平方公式或十字相乘法.)四项以上的多项式用什么方法(答：分组分解法.)课后练习1、填空题(1)如果(1b)-MUb21,贝ijM=.(2)假设x2+ax+b可以分解成(x+1)(x-2),