人教版九年级数学与圆有关的位置关系讲义(含解析)

1、第11讲与圆有关的位置关系修剧知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初三,根底偏上B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课,本节课我们首先学习与圆有关的三类位置关系：点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系,重点掌握各种与圆位置关系的判断方法,其次学习切线的有关性质与判定以及切线长定理及应用,能够结合题意证实相关切线,最后掌握圆的外接三角形与三角形内切圆概念.本节课的重点是三类位置关系的判断方法以及切线的性质与判定定理,属于中考重点内容,也是难点之一,希望同学们能够好好学习,扎实根底.品I识梳理讲解用时：25分钟：与圆有关的位置关系?(1)点与圆的位置关系点与圆的位置

2、关系有3种,设.的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,那么有：.点P在圆外Od>r.点P在圆上Od=r.点P在圆内Od<r注意：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系,反过来点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.(2)直线与圆的位置关系直线和圆的3种位置关系：.相离：一条直线和圆没有公共点；.相切：一条直线和圆只有一个公共点,这条直线叫圆的切线,唯一的公共点叫切点；.相交：一条直线和圆有两个公共点,这条直线叫圆的割线；判断直线和圆的位置关系：.直线l和.0相交.d<r.直线l和.0相切.d=r.直线l和.0相离.d>r(3)圆与圆的位置关系.外离：两个

3、圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部；.外切：两个圆有唯一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部；.相交：两个圆有两个公共点；.内切：两个圆有唯一公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的点都在另一个圆的内部；.内含：两个圆没有公共点,并且一个圆上的点都在另一个圆的内部.判断圆和圆的位置关系：.两圆外离Od>R+r；.两圆外切Od=R+r；.两圆相交.R-r<d<R+r(R>».两圆内切Od=R-r(R>r);.两圆内含.d<R-r(R>r).切线的性质与判定>(1)切线的性质.圆的切线垂直于经过切

4、点的半径；.经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；.经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.如果一条直线符合以下三个条件中的任意两个,那么它一定满足第三个条件,这三个条件是：.直线过圆心；.直线过切点；.直线与圆的切线垂直.(2)切线的判定切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.注意：.切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径,否那么就不是圆的切线；.切线的判定定理实际上是从“圆心到直线的距离等于半径时,直线和圆相切这个结论直接得出来的；.在判定一条直线为圆的切线时,当条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时,常过圆心作该直线的垂线段,证实该线段的长等于

5、半径,可简单的说成无交点,作垂线段,证半径；当条件中明确指出直线与圆有公共点时,常连接过该公共点的半径,证实该半径垂直于这条直线,可简单地说成有交点,作半径,证垂直.切线长定理/(1)圆的切线长定义经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长；(2)切线长定理从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线,平分两条切线的夹角.三角形外接圆与内切圆(1)三角形的外接圆与外心外接圆：经过三角形的三个顶点的圆,叫做三角形的外接圆；外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点.概念说明：O接是说明三角形的顶点在圆上,或者经过三角形的三个顶点；.锐角三

6、角形的外心在三角形的内部,直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点,钝角三角形的外心在三角形的外部；.找一个三角形的外心,就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点,三角形的外接圆只有一个,而一个圆的内接三角形却有无数个.(2)三角形的内切圆与内心内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆；内心：三角形的内切圆的圆心是三角形三个内角角平分线的交点.概念说明：.任何一个三角形有且仅有一个内切圆,而任一个圆都有无数个外切三角形；.三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等,三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角【例题11到圆心的距离不大于半径的点的集合是.A.圆的外部B.圆的内部C

7、.圆D.圆的内部和圆【答案】D【解析】此题考查圆的熟悉以及点与圆的位置关系,根据点和圆的位置关系,知圆的内部是到圆心的距离小于的所有点的集合；圆是到圆心的距离等于半径的所有点的集合.所以与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是圆的内部包括边界.应选：D.讲解用时：3分钟解题思路：根据圆是到定点距离等于定长的点的集合,以及点和圆的位置关系即可解决.教学建议：理解圆上的点、圆内的点和圆外的点所满足的条件.难度：3适应场景：当堂例题例题来源：吁哈县校级月考年份：2021秋【练习11RtOABC中,OC=90,AC=3,BC=币,CDDAB,垂足为点D,以点D为圆心作OD,使得点A在.D外,且点B在.

8、D内,设.D的半径为r,那么r的取值范围是.44【解析】此题考查的是点与圆的位置关系,ORtOABC,OACB=90,AC=3,BC=41,OAB=32724,OCDDAB,OCD=4OAD?BD=CD2,9设AD=x,BD=4x.解得x一,4.点A在圆外,点B在圆内,一.一一79r的范围是-r-44讲解用时：5分钟解题思路：先根据勾股定理求出AB的长,进而得出CD的长,由点与圆的位置关系即可得出结论.教学建议：熟知点与圆的三种位置关系.难度：3适应场景：当堂练习例题来源：普陀区一模年份：2021【例题2】I1/I2,已12之间的距离是3cm,圆心O到直线li的距离是1cm,如果圆O与直线li

9、、I2有三个公共点,那么圆O的半径为cm【答案】2或4【解析】此题考查直线和圆的位置关系,如以下图所示,设圆的半径为r如图一所示,r-1=3,得r=4,如下图,r+1=3,得r=2,故答案为：2或4.讲解用时：4分钟解题思路：根据题意可以画出相应的图形,从而可以解答此题.教学建议：利用数形结合的思想解答.难度：3适应场景：当堂例题例题来源：浦东新区二模年份：2021【练习2】在ABC中,/C=90°,AC=5,BC=12,假设以C为圆心,R为半径,所作的圆与斜边AB没有公共点,那么R的取值范围是【答案】0R60或R>1213【解析】此题考查直线和圆的位置关系以及勾股定理,圆心C

10、到斜边AB的距离d60,13.当圆C与AB相离时,0R当边AB所有点都在圆内部时,6013,R>12,讲解用时:解题思路:R60或R>12.134分钟先求出圆心C到斜边AB的距离d60,那么当圆C与AB相离时,13,当边AB所有点都在圆内部时,R>12.教学建议：注意分类讨论.难度：3适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2021【例题3】如果两圆的半径之比为3:2,当这两圆内切时圆心距为3,那么当这两圆相交时,圆心距d的取值范围是.【答案】3Vd<15【解析】此题考查了圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系,设两圆半径分别为3x,2x,由题意,得3x-2x=3

11、,解得x=3,那么两圆半径分别为9,6,所以当这两圆相交时,圆心距d的取值范围是9-6<d<9+6,即3Vd<15.讲解用时：3分钟解题思路：先根据比例式设两圆半径分别为3x、2x,根据内切时圆心距列出等式求出半径,然后利用相交时圆心距与半径的关系求解.教学建议：熟知圆与圆的五种位置关系.难度：3适应场景：当堂例题例题来源：金山区二模【练习3】如图,在.ABC中,00=90,AC=3,BC=4,OB的半径为BC相交,且与OB没有公共点,那么OA的半径可以是A.4B.5C.6D.7【答案】D【解析】此题考查了圆与圆的位置关系以及勾股定理,年份：20211,OA与直线ORtOAB

12、CJ,OC=90°,AC=3,BC=4,.由勾股定理得AB=5,OOA>OB没有公共点,OOA与.B外离或内含,OOB的半径为1,.假设外离,那么OA半径r的取值范围为：0<r<5-1=4,假设内含,那么OA半径r的取值范围为r>1+5=6,OOA半径r的取值范围为：0<r<4或r>6,应选：D.讲解用时：5分钟解题思路：由RtOABC中,OC=90,AC=3,BC=4,利用勾股定理即可求得AB的长,又由OA、OB没有公共点,可得OA与.B外离或内含,然后利用两圆位置关系与圆心距d,两圆半径R,r的数量关系间的联系求得答案.教学建议：熟练掌握

13、两圆的位置关系.难度：4适应场景：当堂练习例题来源：松江区二模年份：2021【例题4】如图,PA、PB切.0于点A、B,PA=4,OAPB=60,点E在AB上,且CD切.0于点E,交PA、PB于C、D两点,那么CD的最小值是.【答案】83【解析】此题主要考查了切线长定理及等边三角形的性质与判断,当CD/AB时,切线CD的长最小,由切线长定理,得PA=PB=4,AC=CE,ED=DB,OLocdp=PC+PD+CD=PC+CE+PD+DE=pc+ca+pd+db=PA+PB=8,OOAPB=60,PA=PB,OOPA更等边三角形,OOPAB=60,由于CD/AB,OOPCD0PAB=6O,8OO

14、PC此等边二角形,OCD=83讲解用时：7分钟解题思路：首先判断在什么情况下CD最短.利用切线长定理,说明OPCD是等边三角形,求OPCD的周长并得结论教学建议：熟练利用切线长定理解答.难度：4适应场景：当堂例题例题来源：资中县一模年份：2021【练习4】如图.BAC=60,半径长1的.0与.BAC的两边相切,P为.0上一动点,以P为圆心,PA长为半径的OP交射线AB、AC于D、E两点,连接DE,那么线段DE长度的最大值为【答案】3.3【解析】此题考查了切线的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理,连接AO并延长,与ED交于F点,与圆O交于P点,此时线段ED最大,连接OM,PD,可得F为ED的

15、中点,OOBAC=60,AE=AD,OOAED为等边三角形,OAF为角平分线,即OFAD=30,在RtOAOM中,OM=1,00AM=30,OOA=2,OPD=PA=AO+OP=33在Rt.PDF中,OFDP=30,PD=3,OPF=-,2根据勾股定理得:FD=3-,2贝UDE=2FD=3J3.讲解用时：8分钟解题思路：连接AO并延长,与圆O交于P点,当AF垂直于ED时,线段DE长最大,设圆O与AB相切于点M,连接OM,PD,由对称性得到AF为角平分线,得到OFAD为30度,根据切线的性质得到OM垂直于AD,在直角三角形AOM中,利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出AO的长,由AO+OP

16、求出AP的长,即为圆P的半径,由三角形AED为等边三角形,得到DP为角平分线,在直角三角形PFD中,利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出PF的长,再利用勾股定理求出FD的长,由DE=2FD求出DE的长,即为DE的最大值.教学建议：熟练掌握切线的性质是解此题的关键.难度：4适应场景：当堂练习例题来源：鄂州一模年份：2021【例题5】如图,00的半径为6,OABC是.0的内接三角形,连接假设.BAC£BOC=180,那么弦BC的长为.【答案】63【解析】此题考查了三角形的外接圆与外心,作OHDBC于H,如图,贝UBH=CH,一一一一.一一1一一一OOBACEBOC=180,而.BAC

17、=1.BOC,2-1-BOC£BOC=180,解得.BOC=120,2OOB=OC,OOOBC=3O,OOH=1OB=3,OBH=<3OH=3v13,2OB、OC,OBC=2BH=6V3.讲解用时：8分钟解题思路：作OHDBC于H,如图,利用垂径定理得到BH=CH,再根据圆周角定理可计算出OBOC=120,那么.B=30°,然后利用含30度的直角三角形三边的关系求解.教学建议：熟记三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点难度：4适应场景：当堂例题例题来源：花都区一模年份：2021【练习5】如图,RtOABC中,00=90,假设AC=4,BC=3,那么.ABC的

18、内切圆半径r=o【答案】1【解析】此题主要考查了勾股定理以及直角三角形内切圆半径求法等知识,如图,设.ABC的内切圆与各边相切于D、E、F,连接OD,OE,OF,那么OEDBC,OF?AB,ODDAC,设半径为r,CD=r,OOC=90；AC=4,BC=3,OAB=5,OBE=BF=3-r,AF=AD=4-r,04-r+3-r=5,CDr=1.ABC的内切圆白半径为1.讲解用时：8分钟解题思路：首先求出AB的长,再连圆心和各切点,利用切线长定理用半径表示AF和BF,而它们的和等于AB,得到关于r的方程,即可求出.教学建议：熟练掌握切线长定理和勾股定理是解题的关键.难度：4适应场景：当堂练习例题

19、来源：大庆模拟年份：2021【例题61如图,在平面直角坐标系中,A(0,273),动点B、C从原点O同时出发,分别以每秒1个单位和每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动,以点A为圆心,OB的长为半径画圆；以BC为一边,在x轴上方作等边OBCD,设运动的时间为t秒,当.A与.BCD的边BD所在直线相切时,求t的值【答案】4.3+6【解析】此题考查了切线的性质以及等边三角形的性质,作AHDBD于H,延长DB交y轴于E,如图,OOA与.BCD的边BD所在直线相切,OAH=OB=t,OOBCM等边三角形,OODBC=60,OOOBE=60,OOOEB=30,在RtOOBE中,OE=T3OB=T3t,在

20、Rt.AHE中,AE=2AH=2t,OA(0,2<3),OOA=2j3,O2V3+V3t=2t,Ot=4V3+6.讲解用时：10分钟解题思路：作AHDBD于H,延长DB交y轴于E,如图,利用切线的性质得AH=OB=t,再利用等边三角形的性质得ODBC=60,贝UOOBE=60,所以OE=V3OB=J3t,AE=2AH=2t,从而得到2“q+73t=2t,然后解关于t的方程即可.教学建议：假设出现圆的切线,必连过切点的半径,得出垂直关系.难度：4适应场景：当堂例题例题来源：滨湖区一模年份：2021【练习6】如图,直线y=x-4与x轴、y轴分别交于M、N两点,©0的半径为2,将.0

21、以每秒1个单位的速度向右作平移运动,当移动时问秒时,直线MN恰好与圆相切【答案】4-2行或4+2行【解析】此题考查了直线与圆的位置关系、一次函数图象上点的坐标特征以及平移的性质,作EF平行于MN,且与.0切,交x轴于点E,交y轴于点F,如下图.设直线EF的解析式为y=x+b,即x-y+b=0,OEF与.0相切,且00的半径为2,O1b2=1X2¥5|b|,解彳#:b=2&或b=-2立,22.直线EF的解析式为y=x+2,2或y=x-272,.点E的坐标为(2桓,0)或(-2J2,0).令y=x4中y=0,贝Ux=4,.点M(4,0).根据运动的相对性,且00以每秒1个单位的速

22、度向右作平移运动,.移动的时间为4-272秒或4+2J2秒.讲解用时：10分钟解题思路：作EF平行于MN,且与.0切,交x轴于点E,交y轴于点F,设直线EF的解析式为y=x+b,由.0与直线EF相切结合三角形的面积即可得出关于b的含绝对值符号的一元一次方程,解方程即可求b值,从而得出点E的坐标,根据运动的相对性,即可得出结论.教学建议：解题的关键是求出点E、M的坐标利用运动的相对性变移圆为移直线.难度：5适应场景：当堂练习例题来源：绥化模拟年份：2021【例题7】.0中,AC为直径,MA、MB分别切.于点A、B.(1)如图.,假设.BAC=23,求.AMB的大小；【解析】此题考查了等边三角形性

23、质和判定、切线性质、线段垂直平分线性质、垂径定理以及平行四边形的性质和判定的应用,(1)连接OB,CDMA、MB分别切.于A、B,OOOBM=OAM=90,.弧BC对的圆周角是OBAC,圆心角是OBOC,.BAC=23,OOBOC=2BAC=46,OOBOA=180-46o=134°OOAMB=360-90-90-134°=46°2连接AD,AB,OBD/AM,DB=AM,.四边形BMAD是平行四边形,OBM=AD,CDMA切.于A,OACXDAM,OBD/AM,OBD3AC,OAO,OBE=DE,OAB=AD=BM,/CDMA、MB分别切.于A、B,/OMA=M

24、B,OBM=MA=AB,“,国OOBMA是等边三角形,OOAMB=60.讲解用时：15分钟解题思路：1根据切线性质求出OOBM=OAM=90,根据圆周角定理求出OCOB,求出.BOA,即可求出答案；2连接AB、AD,得出平行四边形,推出MB=AD,求出等边三角形AMB,即可得出答案.教学建议：2关键证出三角形AMB是等边三角形.难度：4适应场景：当堂例题例题来源：安徽模拟年份：2021【练习7】在直角坐标系中,CDA与.B只有一个公共点,CDA与.B的半径分别为2和6,点A的坐标为2,1,点B为x轴上一点,求点B的坐标.【答案】2布,0、2715,0、23月,0、236,0【解析】此题考查了圆

25、与圆的位置关系,设B(x,0),那么圆心距dABv(x2)21,OOA与.B只有一个公共点OOA与.B相切当OA与CDB内切时,rB-rA=d,即4J(x2)21,解得：x12vl5,x22而；当.A与.B外切时,rB+rA=d,即8J(x2)21,解得：xi23万,x223".综上,点B的坐标为2/5,0、2屈,0、23/,0、23/7,0.讲解用时：10分钟解题思路：当两圆内切时rB-rA=d,当两圆外切时rB+rA=d,然后再代入相关长度计算即可.教学建议：注意分类讨论.难度：4适应场景：当堂练习例题来源：广东模拟年份：2021课后作业【作业11圆A的半径长为4,圆B的半径长为

26、7,它们的圆心距为d,要使这两圆没有公共点,那么d的值可以取.A.11B.6C.3D.2【答案】D【解析】此题考查了圆与圆的位置关系,假设两圆没有公共点,那么可能外离或内含,外离时的数量关系应满足d>11;内含时的数量关系应满足0&k3.观察选项,只有D符合题意.讲解用时：3分钟难度：3适应场景：练习题例题来源：长宁区二模年份：2021【作业2】如图,00过正方形ABCD的顶点A、B,且与CD相切,假设正方形ABCD的边长为2,那么.0的半径为【答案】54【解析】此题主要考查了正方形、圆及直角三角形的性质,连接OE、OB,延长EO交AB于F;OE是切点,OOEDCD,OOFOAB,OE=OB;设OB=R,WJOF=2-R,在RtOOBF中,BF=1AB=1X2=1OB=R,OF=2-R,225OR2=(2-R)2+12,解得R=5