初三数学相似综合

1、初三数学相似综合【本讲主要内容】相似综合包括应用相似多边形的知识判定两个多边形相似,以及进行有关的计算【知识掌握】【知识点精析】1 .应用相似三角形的知识证实比例式或等积式.2 .应用相似的解法解决计算或一些实际问题.【解题方法指导】例1.2005年黄冈市如图,在平行四边形ABCD中,EF/AB,DE:EA=2:3,EF=4,那么CD的长为A.16B.8C.10D.163分析：由平行四边形ABCD可知AB=CD,只要求出AB的长即可.在ADAB中,由EF/AB,可知ADEFsDAB,从而可由比例式求AB的长.解：在ADAB中,EF/AB二DEFsADABEFDEAB-AD=EF=4,DE2DA

2、-52AB=,AB=105;平行四边形ABCD中,AB=CD.CD=10应选C.评析：这里用到了等量代换,在ADEFS&DAB中,DE:EA=2:3,EA3DE2EADE32DE2DA5DE-2DE2DA-5例2.2005年北京市海淀区如图,梯形ABCD中,AB/DC,/B=90：E为BC上一点,且AE1ED,假设BC=12,DC=7,BE:EC=1:2.求AB的长.分析:MBHiECD,可得AB=BE,由BC=12,BE:EC=1:2,ECCD可得BE=4,EC=8,从而求出AB的长.解：.,B=90,AB/CD.C=90,.AED=90又.AEDDEC90,.CDEDEC90/AE

3、B.CDE二MBES&ECDABBE"EC-CD;BC=12,BE:EC=1：2-BE=4,EC=8AB4"=8-77评析：此题关键是证出AABEsAECD,只要证出NAEB=NEDC即可.利用同角的余角相等加以解决.例3.：如图,AABC中,AD是BC边上的高,且AD2=BDCD,那么/BAC是A.锐角D.大小不确定的角分析：欲判断/BAC是什么样的角,只要证NCAD+NBAD为哪种角即可.由/ADC=/ADB=90、AD2=BDCD,可得处=££可证MCDiBAD,那么BDAD/CAD=/ABD,得/CAB=90口,应选B.解：AD2=BDC

4、DADCD二一=一,BDAD又ADC=ADB=90:.MCDSBAD.CAD=/ABDCCAD=90.C.B=90.CAB90应选B.评析：此题是判断/CAB的大小,可由ZC+/B的大小去判断,又此AACD与ABAD相似,通过相等的角,进行转化.【考点突破】【考点指要】相似多边形,尤其是相似三角形是很重要的内容,它对培养逻辑推理水平很有帮助,而且可以解决一些实际问题,正由于如此,在中考时常常涉及,除了直接应用相似三角形的判定外,还常利用等线段代换及等比代换加以解决,应尽可能熟悉这些解题方法.【典型例题分析】例1.2002南京市如图,测量小玻璃管口径的量具ABC上,AB长为10mm,AC被分为6

5、0等份,如果小管口DE正好对着量具上30份处DE/AB,那么小管口径DE的长是mmo分析：由DE/AB,可知ACDEsCAB,可得CD=匹,30=匹,可求得DE的长.CAAB6010解：DE/AB.CDEsACABCDDECA-AB又AB=10,CA=60,CD=3030DE60-10.DE=5mm评析：此题解决小口管口的测量问题,只要弄懂题意,问题便不难了.例2.：如图,AABC中,AD是BC边上的中线,E为AD上一点,且CE=CD,/B=/CAE.求证：1MECsABDA；(2)DC2=ADAE分析：(1)由BD=DC,CE=CD,彳#BD=CE,/CDE=/CED,所以/ADB=/CEA

6、,AEEC又/B=/CAE,可证AAECsabDA;(2)由MECABDA,可得=,将BDADCE2=ADAE,换成DC2=ADAE.证实：(1);CE=CD.CDE=CED.ADB=AEC又/B=/CAE,.ABDsACAE(2)由ABDsCAEBDADAE-CEBDCE=ADAE又BD=DC,CE=DC2DC2=ADAE评析：此题有一定的综合性,有两个问题需要加以解决,一是利用等角的补角相等,得出/AEC=/ADB,二是由BD=DC=CE,进行等量代换.例3.：如图,AABC中,AB=AC,延长AB至UD,使BD=AB,E是AB中点,1求证：CE='CD.2DCE1分析：此题证法很

7、多,我们假设用三角形相似解决,可改证=-,可通过证实CD2AEAC1一一MECsMDC加以解决.由/A是公共角,*="=可解.ACAD2证实：AB=AC=BDAC1AD"2又E是AB中点,AE1AC2ACAE,AD-AC又EAC=/CADAEOACDAEEC1"Ac-Cd"21EC=CD2一1一一评析：此题由于相等线段多AB=AC=BD,AE=EB,以欲证CE=CD,于是启发我们用相似三角形加以解决.例4.：如图,ADEH是由三个全等的正方形拼成的.求证：.BHC-BDH分析：由于图中有三个小正方形,因此假设设它们的边长为1,那么线段BH、BC、BD均可

8、求出,又NHBC=NHBD,可考虑用相似三角形加以证实.证实：设每个小正方形的边长为1.那么BH=亚,BC=1,BD=2BC_1二BH一.,2一2BH.2BD-2BCBH"BH-BD又HBC=/HBD=180-45=135:.MBCSADBH.BHC=BDH评析：此题解题方法很巧妙,它是利用一对公共角相等,夹边成比例证两个三角形相似,从而得到对应角相等.而夹边成比例,那么需经过计算得出.由于只考虑夹边的两边之比,所以可设小正方形边长为1,也可设小正方形边长为a.例5.2000年杭州市如图,把菱形ABCD沿着对角线AC的方向移动到菱形A'B'C'D'的位

9、置,它们的重叠局部图中阴影局部的面积是菱形ABCD的面积的-o假设AC=&,2那么菱形移动的距离AA'为.1A.一2C.1.2B.2D.21分析：由于菱形ABCD平移到菱形A'B'C'D'位置,所以菱形ABCD与菱形A'MCN相似,所以AD:A'N=AC:A'C.又菱形A'MCN的面积：菱形ABCD的面积=1：2,因此A'N1一可求得AA'的长.AD2解：ABCDF移到A'B'C'D'位置二AD/A'N,AB/A'M.ABCDA'MCNADAC

10、a-NACTA'MCN0积：ABCD面积=1:2,AD:A'N=42:1.AC：A'C.2:1AC=；2,A'C=J2AC=J2=12,AA'=AC-A'C=.2-1应选D.AD评析：此题除了用到相似多边形的面积比等于对应边的平方比外,还要由转化到A'N也,然后求解.A'C88Gm的大菱形如图2例6.2006年河南要拼出和图1中的菱形相似的较长对角线为6cmF8cmO图2分析：由小菱形的两条对角线长为线为88cm,等于小菱形的长对角线11因此共有1111=121个.解：由图可知,小菱形的边长为6cm,8cm,那么它的边长为5cm,

11、而大菱形的长对角倍,由它们相似,所以大菱形的边长为5cm的11倍,所示,需要图1中的菱形的个数为a=.3242=.52=5;由于小菱形中较长对角线为8cm,大菱形中较长对角线为88cm,而两个菱形相似,对角线之比为88-8=11二对应边的比等于对角线的比二大菱形边长为11个小菱形的边长二小菱形共有11x11=121个而得到个数.此题还可以用评析：此题是由两个相似菱形对角线的比等于对应边的比,=2904cm2,小菱形的面积为1面积的万法去求,大麦形的面积为M88M66212/人、M8M6=24cm,二2904+24=121个.21.如图,A.1AB/EF/CD,那么图中相似三角形共有对.B.2C

12、.3D.4ABAD=ACAE,2.:如图,在AABC中,BE与CD交于O点.1判断图中共有多少对相似三角形？2AODE与AOCB一定相似吗?3.：如图,求证：ABABC中,BDACDCAD是/BAC的平分线.4.：如图,MBCCBCD=CECA求证：DE-AC点,E是AC上一点,且满足5 .：如图,A'是OA上一点,B'是OB上一点,C'是OC上一点,且AB/A'B',BC/B'C'.求证：AC/A'C'.AOA'B'C'CB6 .：如图,梯形ABCD中,AB/DC,于G.求证：EFBG=BFEG.

13、E是BC中点,直线BE交AC于F,交AD的延长线参考答案:/1 .C解：iAOBsiFOE,AOEFsoCD,MOBADOCo2 .(1)2对ABAEACAD解：(1)TABAD=AC,AE,.=又/A=/A,MBEsMCD.ABE=ACD又.BODZCOE二bodscoe(2)不一定.3 .证实：过C作AD的平行线,交BA的延长线于E.ECBD贝UABADs阳ECEBBC"AB-BDEB-ABBC-BDAB-BDAEDC"AB-BD口ABBD即二AEDC又/BAD=/E,/dac=/ACE,且/bad=/dac.E=ACEAC=AEABBD"AC-DCCBCACECD4 .证实：-CBCD=CECA；.=又/c公用,:.MABS&CDE.CED=/CBA=90DE_AC5 .证实：:AB/A'B',.OABsAOA'B',OAOBrOA7一:BC/B'C',.AOBC