全等三角形证明方法

1、1、公共角5、同角或等角的补用（余角）6、等角加（减）等角4、等腰三角形全等三角形证明一、三角形全等的判定：1、三组对应边分别相等的两个三角形全等（SSS）。2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）。3、有两角及其夹边而应相等的两个三角形全等（ASA）。4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）。5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）。二、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。全等三角形的周长、面积相等。全等三角形的对应边上的高对应相等。J全等三角形的对应角的角平分线相等。,全等三角形的对应边上的中线相

2、等。J三、找全等三角形的方法：/（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等;（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角影全等:（4）若上述方法，I亍，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三角形全等的证明中包含两个要素：边和角。缺个角的条件:/1J3、两全等三角形的对应角相等人平行线8、等于同一角的两个角相等缺条边的条件:1、公共边2、中点3、等量和10.等于同一线段的两线段相等角平分线具有两条性质：角平分线具有对称性；角平分线上的点到角两边的距离相等。关于角平分线常用的辅助线方法：(1)

3、截取构全等/如下左图所示，0C是NAOB的角平分线,工工上取一点E,使得OE=OF,并连接DE,则有AC等创造了条件。,为0C上一点，F为0B上一点，若在0A»EDAOFD,从而为我们证明线段、角相四、构造辅助线的常用方法：1、关于角平分线的辅助线当题目的条件中出现角平分线时，要想到根据角平分线的性质构造辅助线。二K网：如上右图所示，AB/CD,BE平分NBCD,CE平分NBCD,公提示：在BC上取点F使得BF=BA,连结EF。利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题分线0C上点D向角两边OA、0B作垂线，垂足为E、F,则有：DE=DF.AOEDAOFDoAAB网：如上右图所

4、示，已知AB>AD,NBAC=/FAC,CD=BC©t>。如卜.左图所示，过NAOB的平连接DE、DFo求证：ZADC+ZB=180（3）：作角平分线的垂线构造等腰三角形。如下左图所示，从角的一边0B上的一点E作角平分线0C的垂线EF,使之与角的另一边0A相交，则截得一个等腰三角形（OEF）,垂足为底边上的中点D,该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，从而得到一个等腰三角形，可总结为:等腰归”0“延分垂,A0D,H是B求证:提示:Zl=Z2,CE1BD的延B如上右图

5、所示，已知NBAD=1DH（AB-AC2延长CDA/E三角形。CD±题可证晅：己知，如图,长线一一提示：延长E父BA的延长/）（4）作平行线构造等腰三角形作平行线构造等腰三角形分为以下两种情况：如卜.左图所示，过角平分线0C上的一点E作角的一边0A的平行线DE,从而构造等腰三角形0DE。如卜.右图所示，通过角一边0B上的点D作角平分线0C的平行线DH与另外一边A0的反向延长线相交于点H,从而构造等腰三角形0DH。2、由线段和差想到的辅助线（1）遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩卜部分等于另一条；补短：将一

6、条短线段延长，延长部分等;另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。截长补短法作辅助线。（）在口：中，AD平分NBAC,NACB=2NB】求证：AB=AC+CD.（2）对于证明有关线段和差的不等式，：差小于第三边，故可想办法放在i个三系线段之和大于第三边、之角形、一一在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如宜接三角形，使结论中出现的2个或几个三角形中,例1：已知如图1-1：D.为:出来，可连接两点或廷长某边构成运用三角形三边的不等关系证明。C内两点，求证AB+AOBD+DE+CE（法1）证明：将DE两边延长分别交AB、AC于M、N,在AMN中，AM+AN、>MD+DE+NE,(1)在&q

7、uot;DM中，MB+MD>BD；(2)在ACEN中，CN+NEACEH3)E图1-1由(1)+(2)+(3)得:am+an+mb+md+cn+ne>md+de+ne+bd+ce，ab+ac>bd+de+ec（法2）如图1-2,延长BD交AC于F,延长CE交BF于G,在AABF和4GFC和AGDE中有：AB+AF>BD+DG+GF（三角形两边之和大于第三边）（1）GF+FC>GE+CE（同上）（2）DG+GE>DE（同上）（3）由（1）+（2）+（3）得：ab+af+gf+fc+dg+ge>bd+dg+gf+ge+ce+deAB+AC>BD+DE

8、+EC。（3）在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置匕再利用外角定理：例如：如图2-1：已知D为内的任一点，求.ZBDOZBACo分析：因为NBDC与NBAC不在同一个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使/BDC处于在外角的位置，/BAC处于在内角的位置：证法一：延长BD交AC于点E,这时NBDC是的外角，、AAZBDOZDEC,同理NDEONBAC,ABDOZBAC证法二：连接AD,并延长交BC于FZBDF是ABD的外角AZBDF>ZBA

9、D,同理，ZCDF>ZCAD:.ZBDF+ZCDF>ZBAD+ZCAD.二即：ZBDOZBACo注意：利用三角形外角定理证明不等关系时,放在这个三角形的内角位置匕再利用不等二，1，B/FC图2-1通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角弋性质是。>3、由中点想到的轴助线在三角形中，如果已知一点是三角形:iE边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线加倍延长中线及其相关性质（等腰彳法。（1）中线把原三角形分成两个而即如图1,AD是AABC的中线,三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方枳相等的小三角形则SaabdaacdWSaabc（因为AABD与AACD是等底同/

10、BDHCffi1例1、如图2,AABC中，AD是中线，延长AD到E,使已知AABC的面积为2,求：ACDF的面积。（2）倍长中线已知中点、中线问题应想到倍长中线，由中线的性质可知,6夕，图2DE=AD,DF是ADCE的中线。AE一条中线将中点所在的线段平分，可得到一组等边，通过倍长中线又可得到一组等边及对顶角，因而可以得到一组全等三角形。如图，延长AD到E,使得AD=AE,连结BE。BD4、验证中点、中1?BE平行AC交D上豉取BD.在AC延长线上截取CE,且例2、如图5,已知dABC中，AD是NBAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：AABC是等腰三角形。延长线于E。A中,F.例3.如

11、图使CE=BD.连接DE图，过CB图34、其他辅助线做法(1)延长已知边构造三角形在一些求证三角形问题中，延长某两条线段(边)相交，构成一个封闭的图形，可找到更多的相等关系，有助于问题的解决.例4.如图4,在AABC中，AC=BC,NB=90。，BD为NABC的平分线.若A点到直线BD的距离AD为a,求BE的长.A2、连接四边形的勺角线，把四边形的问题转化成例如：如图8-1：ABCD,AD/7BC求证：AB=C分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，工J/Ew/c图7-1产丫不须把它转化为三角形来解决。二0BC例如：如图7-1：已知AC=BD,ADLAC于A,BC_LBD于B,求证：AD=BC分析：欲证AD=BC,先证分别含有AD,BC的三角形全等，有几种方案：ADC与4BCD,AAOD4AB0C.AABD与BAC,但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。3、连接已知点，构造全等三角形。例如：已知：如图10-1；AC、BD相交于O点，且AB=DC,AC=BD,求证：NA=ND。分析：要证NA=ND,可证它们所在的三角形ABQ和DCO全等，而只有AB=DC和对顶角两个条件，差一个条件一难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由AB=DC,AC=BD,若连接BC,则ABC