实验报告简谐振动的研究

1、实验报告姓名： 张伟楠 班级： F0703028 学号： 5070309108 实验成绩：同组姓名： 边杨 实验日期：08.02.25 指导教师： 批阅日期：简谐振动的研究【实验目的】1. 观察简谐振动的现象；2. 测定弹簧的倔强系数；3. 测定振动周期T随振子质量变化的情况；4. 学习使用气垫导轨、焦利氏秤和计时仪器；5. 测定弹簧的有效质量【实验原理】1、胡克定律在弹性限度内，弹簧的伸长量x与其所受的拉力F成正比，这就是胡克定律： 比例系数k称为弹簧的倔强系数在本实验中k可以由焦利氏秤测得。2、弹簧振子的简谐运动方程本实验中所用的是倔强系数分别为k1和k2的弹簧，k1和k2分别由焦利氏秤测

2、得k1和k2联结在一个质量为M的物体上，它们在光滑的水平气垫导轨上作简谐振动，弹簧的另外两端是固定在气垫导轨上记M的平衡位置为坐标原点，该点x = 0如果忽略阻尼和弹簧质量，则当M距平衡位置为x时，只受弹性恢复力k1x和k2x的作用，根据牛顿第二定律，其运动方程为：方程的解为：其中是振动系统的固有角频率，A是振幅，j 0是初位相w 0由系统本身决定，也称固有频率，A和 f 0 由初始条件决定系统的固有周期本实验通过改变M测出相应的T，用以考察T与M的关系3、弹簧质量的影响当弹簧的质量不可忽略时，振子的有效质量为振动物体的质量与弹簧有效质量的和，振动系统的角频率可记作m0为弹簧的有效质量，在数值

3、上等于弹簧质量的三分之一实验要求测定弹簧的倔强系数，并测定振动周期T随振子质量和振幅m变化的情况。4、简谐振动的机械能k=mvmax2/A2由此计算弹性系数。 【实验数据记录、实验结果计算】1. 利用焦利氏秤测量弹簧的倔强系数 砝码质量/g05.1110.0815.0820.0725.2245.15L1/cmL2/cm弹簧14.495.606.667.738.809.9114.15弹簧210.9213.0815.2717.4119.5921.8630.56弹簧313.6815.8017.8719.9322.0524.1932.53由k=mgL2-L1 可得 L2=gkm+L1作1号弹簧的L2关

4、于m的图像：Linear Regression for Data1_B:Y = A + B * XParameterValueError-A4.503110.00584B0.213892.63837E-4-RSDNP-10.009770.0001-转换单位有： B10-210-3=9.80K 得k1=4.58N/m作弹簧2的L2关于m的图像：Linear Regression for Data1_B:Y = A + B * XParameterValueError-A10.873570.01838B0.435558.29908E-4-RSDNP-0.999990.030570.0001-转换单

5、位有： B10-210-3=9.80K 得k2=2.25N/m作弹簧3的的L2关于m的图像：Linear Regression for Data1_B:Y = A + B * XParameterValueError-A13.662110.0102B0.417664.6082E-4-RSDNP-10.0169470.0001-转换单位有： B10-210-3=9.80K 得k3=2.35N/m2. 振子质量M与振动周期T的关系气垫导轨水平情况： 号数123456振子质量M/g168.09173.11178.03183.08188.11193.0610个周期 10T /ms10389.61052

6、5.810656.010787.110919.111045.1折合一周期的平方 /s21.079441.107921.135501.163621.192271.21994由简谐振动的周期公式： 可得M=k1+k242T2做M关于T2的图像：Linear Regression for DATA1_B:Y = A + B * XParameterValueError-A-23.85570.28672B177.803930.24915-RSDNP-10.0292960.0001-直线斜率为177.8557（g/s2）有 K=k1+k2=42B*10-3=7.02(N/m)由1中测得的数据： 有 k1

7、+k2=6.83(Nm)相对误差为：2.767%气垫导轨倾斜情况号数123456振子质量M/g168.09173.11178.03183.08188.11193.0610个周期 10T /ms10387.010521.010651.810783.910914.811041.2折合一周期的平方 /s21.0788981.1069141.1346081.1629251.1913291.219081由简谐振动的周期公式： 可得M=k1+k242T2做M关于T2的图像：Linear Regression for Data1_B:Y = A + B * XParameterValueError-A-23

8、.95650.14842B178.018940.12907-RSDNP-10.0151660.0001-直线斜率为178.01894（g/s2）有 K=k1+k2=42B*10-3=7.03(N/m)由1中测得的数据： 有 k1+k2=6.83(Nm)相对误差为：2.90%对比实验测得的弹簧有效质量和理论有效质量号数123弹簧质量 /g5.4410.5610.83理论有效质量 /g1.813.523.611中测得的弹簧倔强系数 / N/m4.582.252.35可得弹簧1、2的有效总质量 M=5.33g设振子质量为M，弹簧1、2的有效质量为M0有公式： k1+k242T2-M0=M所以，在T2

9、与振子质量M的关系图中，-M0体现为在纵坐标上的截距 在上面的关系图中，截距为A=-23.9565 所以实验测得的弹簧有效质量为：M0=23.96g 与理论值的相对误差为 349.5%（这个巨大误差将在后面具体讨论）3. 振幅与周期的关系号数123456振幅A /cm5.0010.0015.0020.0025.0030.0010T /ms10386.710387.010388.810390.310390.710387.2作振幅与周期的关系图：Linear Regression through origin for DATA1_B:Y = B * XParameterValueError-A0-

10、B0.047950.01046-RSDNP-0.460880.4989760.0001-Linear Regression for DATA1_B:Y = A + B * XParameterValueError-A1.038691.61766E-4B8.62857E-68.30756E-6-RSDNP-0.460881.73765E-460.35763-不过原点的直线拟合斜率为 8.62857E-6s/cm相关系数 r=0.46088。4. 振幅与振子最大速度的关系实验中选用的滑块质量 m0=192.55g挡光片间隔 l=10.020.02 mm号数123456振幅 A/cm5.0010.0

11、015.0020.0025.0030.00振幅的平方 A2 /m20.0025000.010000.022500.040000.062500.09000挡光时间间隔t /ms33.6817.1111.388.546.815.67算得的最大速度 vm / m/s0.29750.58560.88041.171.471.76最大速度的平方 vm2 /m2 s20.088500.34290.77511.3692.16113.10作振幅平方与最大速度平方的关系图：Linear Regression through origin for DATA1_B:Y = B * XParameterValueErr

12、or-A0-B34.455820.04633-RSDNP-0.999990.0055260.0001-直线斜率 B=34.45582（s-2）相关系数 r=0.99999由此可得弹簧的倔强系数 K=k1+k2=34.46192.5510-3N/m=6.64N/m由1中测得的数据： 有 k1+k2=6.83(Nm)相对误差为 2.90%5. 弹簧并联测量周期用电子天平测量弹簧的质量：号数123弹簧质量 /g5.4410.5610.831中测得的弹簧倔强系数 / N/m4.582.252.35情况1：振子左边是弹簧2，右边是弹簧1 测得 10T1=10255.2ms 算得 T1=1025.52ms

13、情况2: 振子左边是弹簧2和3并联，右边是弹簧1 测得 10T2=8881.15ms 算得 T2=888.115ms可得 T1T2=1.155由上面的倔强数据可得 k1+k2+k3k1+k2=1.159相对误差为 0.37%【对实验结果中的现象或问题进行分析、讨论以及感想】1. 对测量弹簧的有效质量的误差分析在测量系统振子质量与周期平方的关系后，接着做了弹簧的有效质量的计算，详情请见第8页。可得弹簧1、2的有效总质量 M=5.33g 由电子天平直接测量并计算得到的弹簧1、2的有效总质量为M=5.33g，然而有实际的T2M关系图的截距得出弹簧的有效质量为23.96g，这使得我的实验结果与理论结果

14、的相对误差达到了惊人的349.5%。看到这个数据，我感到非常的惊奇，毕竟我在这次实验中的感觉是很好的，几次线性拟合的相关系数都在0.99999以上，然而在这里的误差是不可想象的。就其原因，应该归结为：弹簧相对于振子的质量实在太小，振子周期的测量的微小偏移都会导致直线在M轴上的截距大大变化。所以导致如此大的误差。不过我还是觉得可能是我自己理论计算的问题，因为这个误差毕竟太大了，但是检查了半天也没检查出那里的公式推倒错了，于是只好作罢。 2. 在测量振幅与周期的过程中，我的到了一系列几乎平行于横轴的点，过这些点的直线拟合的斜率为8.62857E-6，我认为其实这样已经能比较充分地说明在谐振中，周期

15、与振幅没有关系的这一结论了。 然而，观察到其周期随着振幅的增长还是有微小的增长。分析其原因，是由于空气阻力的原因。振幅越大，则振子的最大速度也就越快，那么受到的空气阻力也就越大，甚至增长速度大于v的增长速度，所以，振幅越大，导致空气阻力对振动周期的时间延长越大。所以表现为周期随着振幅的增长而有所增长的现象，然而，毕竟空气阻力远远小于弹簧的弹力，这也是我们能做成功这个实验的前提。3. 实验里要用到的一个常量就是重力加速度g，但是实验室并没有明确给出重力加速度的大小，于是自己取了9.80ms2。感觉以后实验室里应该为我们提供这些常量。我没有选到声速的测量那个实验，但希望至少那里应该给出当时的室温，

16、以及声速在某些特定温度下的传播速度。要不然是无法得出结论的。4. 最后谈谈自己的感想。自己高中曾做过这个实验，但是当时并没有做得如此透彻，虽然大体上还是有印象，但是有很多细节都是在这次做实验的时候才重新找到感觉的。以前做实验都是一个人，这次做实验还有一位搭档，然我找到了团队合作的感觉。在实验数据的测量中，我尽力做到了精益求精，记得在测量弹簧1的弹性系数时，自己的手不小心将连反射镜的线拉了一下，感觉影响到了测量数据，我毅然重做了一遍。这种精神我并不常有，但看到我的实验数据在Origin上的完美直线时，我认识到这种精益求精的态度是正确的，并希望在以后的学习生活中有意识地去培养这种精神。【附页】思考题的解答1滑块的振幅在振动过程中不断减少，是什么原因？对实验结果有无影响？答：振幅不断减小是因为滑块在振动过程中受到了空气阻力的影响，使得系统的机械能降低，并体现在振幅逐渐减小，最大速度逐渐减小的现象中。非理想阻尼振动在理论上是对系统的周期有影响的，但是这种影响在目前这种条件下是可以忽略的。2如果M T 2 图不是一条直线，说明什么？答：首先除去操作的问题，因