上海_解析几何综合测试题附答案

1、21.Fl、F2是椭圆y21的左、右焦点,点P在椭圆上运动,那么|PF1|PF2|的最大值是.42.假设直线mx+ny3=0与圆x2+y2=3没有公共点,那么m、n满足的关系式为;22以(m,n)为点P的坐标,过点P的一条直线与椭圆+-y-=l的公共点有个.733 .P是抛物线y2=x上的动点,Q是圆(x-3)2+y2=1的动点,那么|PQ|的最小值为4 .假设圆x2y22axa210与抛物线y21x有两个公共点.那么实数a的围为.25 .假设曲线y收4与直线yk(x2)+3有两个不同的公共点,那么实数k的取值围是.6 .圆心在直线2xy7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,4)、B(0,2),

2、那么圆C的方程为.7 .经过两圆(x+3)2+y2=13和x+2(y+3)2=37的交点,且圆心在直线xy4=0上的圆的方程为8 .双曲线x2-y2=1的左焦点为F,点P为左支下半支上任意一点(异于顶点),那么直线PF的斜率的变化围是.9 .A(0,7)、B(0,7)、C(12,2),以C为一个焦点作过A、B的椭圆,椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是.10 .设Pi(J2,后)、P2(-V2,Ji),M是双曲线y=1上位于第一象限的点,对于命题x|MP2|MP1|=2拒；以线段MP1为直径的圆与圆x2+y2=2相切；存在常数b,使得M至U直线2y=-x+b的距离等于彳|MP1|.其中所有正确命题的

3、序号是.11 .到两定点A(0,0),B(3,4)距离之和为5的点的轨迹是()A.椭圆B.AB所在直线C.线段ABD.无轨迹12 .假设点(x,y)在椭圆4x2+y2=4上,那么一y的最小值为()x2A.1B.-1C.2MD.以上都不对313F1(3,0)、F2(3,0)是椭圆+=1的两个焦点,P是椭圆上的点,当/F1PF2=mn2时,F1PF2的面积最大,那么有()3A.m=12,n=3B.m=24,n=6C.m=6,n=-D.m=12,n=6214 .P为双曲线C上一点,F1、F2是双曲线C的两个焦点,过双曲线C的一个焦点F1作/F1PE的平分线的垂线,设垂足为Q那么Q点的轨迹是()12.

4、A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线三、解做题15 .(总分值10分)如下列图,过抛物线y2=2px(p>0)上一定点P(x0,v.)(yo>0),作两条直线分别交抛物线于A(xi,yi)、B(X2,y2).(1)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求_y一左的值,并证实直线AB的斜率是非零常数V.16 .(总分值10分)如下列图,O为坐标原点,直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a>0,bw0),且交抛物线y2=2px(p>0)于M(x1,y1),N(x2,y2)两点.(1)证实：工+1=1；(2)当a=2p时,求/M

5、ON的大小.%V2b(15题图)(16题图)222217 .(总分值10分)椭圆C的方程为d+=1(a>b>0),双曲线二一与二1的两条渐近线a2b2a2b2为11、l2,过椭圆C的右焦点F作直线l,使l,l1,又l与l2交于P点,设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B.(如下列图)(1)当l1与l2夹角为60.,双曲线的焦距为4时,求椭圆C的方程;(2)当FA=入AP时,求入的最大值.yO(17题图)(18题图)2.18 .(总分值10分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线yx上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AOBO(如上图).(I)求AOB得重心G(即三角形三条中线的交

6、点)的轨迹方程；(n)AOB的面积是否存在最小值？假设存在,请求出最小值；假设不存在,请说明理由.19 .(总分值12分)抛物线y220.(总分值12分)设A、B是椭圆3xy上的两点,点N(1,3)是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.(I)确定的取值围,并求直线AB的方程；=4px(p>0)的准线与x轴交于M点,过点M作直线l交抛物线于A、B两点.(1)假设线段AB的垂直平分线交x轴于N(x0,0),求证：xo>3p；(2)假设直线l的斜率依次为p,p2,p(II)试判断是否存在这样的,使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.,线段AB的垂直平分线

7、与x轴的交点依次为N1,.111N2,N3,当0<p<1时,求+的值.IN1N2I|N2N3|INioNiiI解析几何综合题2一,一x21.E、F2是椭圆y1的左、右焦点,点P在椭圆上运动,那么|PE|IPF2I的最大值是.1答案：4简解：|PFiIIPF2|<(|PFl121PF21)2a242.假设直线mx+ny3=0与圆x2+y2=3没有公共点,那么m、n满足的关系式为;以(m,22n)为点P的坐标,过点P的一条直线与椭圆+=1的公共点有个.732 答案：0<m2+n2<3;2简解：将直线mx+ny3=0变形代入圆方程x2+y2=3,消去x,得(m2+n2)

8、y26ny+93m2=0.令A<0得m2+n2<3.又m、n不同时为零,1-0<m2+n2<3.由0<m2+n2<3,可知|n|<V3,|m|<<3,再由椭圆方程a=J7,b=j3可知公共点有2个.3 .P是抛物线y2=x上的动点,Q是圆(x-3)2+y2=1的动点,那么|PQ|的最小值为3.答案:22c24.右圆xy2axa17一)4.答案：a或1a8简解：将圆x2y22ax得x2(2a)xa22简解：将问题转化为圆心到抛物线一上的动点的最小值2110与抛物线yx有两个公共点.那么实数a为211a210与抛物线y2x联立,消去y,210(

9、x0).要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程有一正根、一负根；或有两个相等正根.01 02a0或2解之2 a210.a210.5.假设曲线y&4与直线yk(x2)+3有两个不同的公共点,那么实数k的取值围是.5 .答案：1k34简解：将曲线yJx24转化为x2y24时考虑纵坐标的围；另外没有看清过点(2,-3)且与渐近线yx平行的直线与双曲线的位置关系.6 .圆心在直线2xy7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,4)、B(0,2),那么圆C的方程为7 .答案：(x2)2+(y+3)2=55.简解：圆C与y轴交于A(0,4),B(0,2),由垂径定理得圆心在y=-3这条直线上.又圆心在

10、直线2xy7=0上,联立yy3,解得x=2,xy7=0.圆心为(2,3),半径r=|AC|=223(4)2=5.所求圆C的方程为(x-2)2+(y+3)2=5.7,经过两圆(x+3)2+y2=13和x2+(y+3)2=37的交点,且圆心在直线xy4=0上的圆的方程为7.答案：(x+)2+(y+)2=222简解：由于所求的圆经过两圆(x+3)2+y2=13和x+2(y+3)2=37的交点,所以设所求圆的方程为(x+3)2+y213+入x2+(y+3)237=0.334289(12)展开、配方、整理,得(x+色一)2+(y+)2=8-+91.1 11(1)一.33圆心为(-,),代入方程xy4=0

11、,倚入=7.1 1故所求圆的方程为(x+1)2+(y+)2=胆.2 228 .双曲线x2-y2=1的左焦点为F,点P为左支下半支上任意一点(异于顶点),那么直线PF的斜率的变化围是.9 .答案：(8,0)U(1,+8)简解：解析：数形结合法,与渐近线斜率比拟10 A(0,7)、B(0,7)、C(12,2),以C为一个焦点作过A、B的椭圆,椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是.29 .答案：.y2=1(yw1)48简解：由题意IAC|=13,|BC|=15,IAB|=14,又|AF|十|AC|=|BF|+|BC|,.IAF|BF|=|BC|AC|=2.故F点的轨迹是以A、B为焦点,实轴长为2的双曲线下

12、支.又c=7,a=1,b2=48,所以轨迹方程为cX2.,.、y2=1(yw1).10 .设Pi(J2,22).P2(22,-42),M是双曲线y=1上位于第一象限的点,对于命题x|MP2|MPi|=2也；以线段MPi为直径的圆与圆x2+y2=2相切；存在常数b,使得M至U直线y=x+b的距离等于旦|MPi|.其中所有正确命题的序号是.10答案：简解：由双曲线定义可知正确,画图由题意可知正确,由距离公式及|MP1|可知正确.11 .到两定点A(0,0),B(3,4)距离之和为5的点的轨迹是()A.椭圆B.AB所在直线C.线段ABD.无轨迹12 .答案：C简解：数形结合易知动点的轨迹是线段AB：

13、y=-x,其中0WxW3.313 .假设点(x,y)在椭圆4x2+y2=4上,那么y的最小值为()x2A.1B.-1C.2<3D.以上都不对312.答案：C简解：的几何意义是椭圆上的点与定点(2,0)连线的斜率.显然直线与椭圆相切时取得x2最值,设直线y=k(x2)代入椭圆方程(4+k2)x24k2x+4k24=0.2 2令=0,k=±3.kmin=-1/3.3 313.F1(3,0)、F2(3,0)是椭圆+=1的两个焦点,P是椭圆上的点,当/F1PF2mn2=父时,F1PF2的面积最大,那么有()3A.m=12,n=3B.m=24,n=6C.m=6,n=-D.m=12,n=6

14、213 .答案：A简解：由条件求出椭圆方程即得m=12,n=3.14 .P为双曲线C上一点,F1、F2是双曲线C的两个焦点,过双曲线C的一个焦点F1作/RPE的平分线的垂线,设垂足为Q那么Q点的轨迹是()12.A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线15 .答案：B简解：延长RQ与PE相交点R,根据双曲线的定义,R在以F2为圆心的圆上,利用代入法得16 .如下列图,过抛物线y2=2px(p>0)上一定点P(x.,y.)(y0>0),作两条直线分别交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2).(1)求该抛物线上纵坐标为B的点到其焦点F的距离；2(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求y

15、一y2的值,并证实直线AB的斜率是非零Vo常数.解：(1)当y=E时,x=,又抛物线y2=2px的准线方程为x=-p,由抛物线定义得所求距离为=5p.828(2)设直线PA的斜率为kpA,直线PB的斜率为kPB.由Vi2=2pxi,yo2=2pxo,相减得(yiyo)(yi+yo)=2p(xixo),故kpA=-Viy°-=(xi丰xo).xixoyiyo同理可得kpB=(x2Wxo).y2y.由PA、PB倾斜角互补知kpA=-kPB,即口一二_2P,所以yi+y2=_2yo,yiyoy2yo故卫上=2.yo设直线AB的斜率为kAB.由y22=2px2,yi2=2pxi,相减得(y2

16、yi)(y2+yi)=2p(x2xi),所以kAB=p-(xi丰x2).x2xiyiy2将yi+y2=2yo(yo>o)代入得kAB=-,所以kAB是非零常数.Vi丫2Vo17 .如图,O为坐标原点,直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a>o,bwo),且交抛物线y2=2px(p>o)于M(xi,yi),N(x2,y2)两点.(i)证实：±+±=1；yiy2b(2)当a=2p时,求/MON的大小.i6证实：(i)直线l的截距式方程为个+.,由及y2=2px消去x可得by2+2pay2pab=o.ab解：点M、N的纵坐标yi、y2为的两个根,故yi+y2

17、=红a,yiy2=-2pa.b2pa所以1+,=yy2=b=1YiV2V1V22pab(2)解：设直线OM、ON的斜率分别为ki、k2,那么ki=yi-,k2=左.XiX2当a=2p时,由(2)知,yiy2=2pa=4p2,由Yi2=2pxi,y22=2px2,相乘得(yiy2)2=4p2xiX2,(YiY2)2(4p2)2XiX2=34p24p2=4p2,因此kik2="=W=i.XiX24p所以OMON,即/MON=90°.2222i7.椭圆C的方程为当+=a>b>0,双曲线二一与=1的两条渐近线为li、12,过椭abab圆C的右焦点F作直线l,使lli,又

18、l与|2交于P点,设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B.如下列图i当li与l2夹角为60.,双曲线的焦距为4时,求椭圆C的方程;2当FA=入AP时,求入的最大值.i7解：i二双曲线的渐近线为y=±Bx,两渐近线夹角为a又b<i,a ./POx=30°,即-=tan30°=.a3 .a=33b.又a2+b2=4, a2=3,b2=i.2故椭圆C的方程为+y2=i.3 2)由l：y=(xc),与y=-x解得P(,),bacca2abc由FA=入AP得a(c-,-c-).将a点坐标代入椭圆方程得(c2+入a2)2+入2a4=(i+入)2a2c2.cccc-c

19、c,(e2+入)2+入2=e2(i+入)2.(令e)a4X2=e-2e(2e2)+2+3W3232.入的最大值为18.在平面直角坐标系xOy中,抛物线2yx上异于坐标原点o的两不同动点A、B满足AOBO(如图4所示).(I)求AOB得重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程；(n)AOB的面积是否存在最小值？假设存在,请求出最小值；假设不存在,请说明理由.18解:(I)设AOB的重心为G(x,y),A(xi,yi),B(X2,y2),那么xiX23(1)-OAXOBkOAkOB1,即x1x2丫.2又点A,B在抛物线上,有y12xi,y2代入(2)(2)一yy2-y-V122炉x?)13(x1

20、Xz)22x1x2所以重心为G的轨迹方程为y3x2(II)SAOB1八八210A|OB|3；V(x；y；)(x；y2)由(I)得SAOB当且仅当x；x；即x1x2所以AOB的面积存在最小值,存在时求最小值1;19.抛物线y2=4px(p>0)的准线与x轴交于M点,过点(1)假设线段AB的垂直平分线交x轴于N(xo,0),化简得x1x2223x一322*2丫122yy222(1)62M作直线l交抛物线于A、求证：x0>3p；B两点.(2)假设直线l的斜率依次为p,p2,p3,线段AB的垂直平分线与x轴的交点依次为Ni,一,、111N2,N3,当0<p<1时,求+的值.|N

21、iN2|不25|INioNiiI19证实：设直线l方程为y=k(x+p),代入y2=4px.得k2x2+(2k2p4p)x+k2p2=0.A=4(k2p2p)24k2-k2p2>0,得0<k2<i.令A(x1,yi)、B(X2,y2),那么Xi+X2=22k2p4pk2,yi+y2=k(xi+X2+2p)AB中点坐标为(2pk2pAB垂直平分线为k22p广Tx-空k2pk2令y=0,得X0=k2p2p2p=p+k2k2由上可知0<k2<i,x0>p+2p=3p.-x0>3p.(2)解：l的斜率依次为p,p2,p3,时,AB中垂线与x轴交点依次为Ni,N

22、2,N3,(0<p<i).,点Nn的坐标为(p+,2、|NnNn+i|=|(p+ny)p2、p+)2n1p|二4p2n1p2|NnNni|2(1p2)所求的值为2(1p3+p2i3,Ap(12(1p)2(1p)20.设A、B是椭圆3x2上的两点,点N(i,3)是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.(I)确定的取值围,并求直线(n)试判断是否存在这样的AB的方程;,使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由20解法i:依题意,可设直线AB的方程为22yk(x1)3,代入3xy,整理得242一-_2(k3)x2k(k3)x(k3)设A(xi,yi),B(x2,y2),那么x1,x2是方程的两个不同的根,2_24(k3)3(k3)0且x1x22k(2k3).由N(1,3)是线段AB的中点,得k3x1x21,k(k3)k23.解得k=-1,代入得,>12,即的取值围是(12,于是,直线AB的方程为y3(x1),即xy40.解法2：设A(x1,yjB(X2,y2),那么有223x1y1223x2y23(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.依题意,x1x2,kAB3(x1x2)y1y22,yy26,从而kAB3212.1.N(1,3)是AB的中点,x1x2又由N(1,3)在椭圆内,3