专题(8)指数与指数函数

1、第七节强双星因本需得根底分打牢IJICHUZHIHr¥A>1)fl知识能否忆起1.根式的概念根式的概念付万表/、备注如果xn=a,那么x叫做a的n次方根n>1且nCN*当n是奇数时,正数的n次方根是,个正数,负数的n次方根是一个负数零的n次方根是零当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数±n/a(a>0)负数没有偶次方根2.两个重要公式a,nan=|a|=n为奇数,n为偶数；(2)(%)n=a(注意a必须使%有意义).二、有理数指数哥1 .哥的相关概念(1)正分数指数哥：amm=n/am(a>0,m,nCN*,且n>1);(2)负

2、分数指数哥：am=°=(a>0,m,nCN*,且n>1);"a：nam(3)0的正分数指数哥等于0,0的负分数指数幕没有意义.一2 .有理数指数哥的性质(1)aras=e(a>0,r,sCQ)；(2)(ar)s=Os(a>0,r,sCQ)；(3)(ab)r=OE(a>0,b>0,rCQ).、指数函数的图象和性质函数y=ax(a>0,且aw1)图象0<a<1a>1ZH5图象特征在x轴上匹过定点更1)性质定义域R值域(0,+8)单调性减函数增函数函数值变化规律当x>0时,y>1当x<0时,y>1

3、;当x>0时,0<y<1当x<0时,0<y<1;当x=0时,y=1小题能否全取c11 .(教材习题改编)化简(2)6一(一1)0的结果为()A.-9B.7C.-10D.9一一、.一,、1解析：选B原式=化6)'1=7.2.(教材习题改编)函数f(x)=/12x的定义域是()A.(巴0B.0,+8)C(一OO,0)D.(一00,+00)解析：选A-1-2x>0,2x<1,x<0.3,函数f(x)=4+a-1的图象恒过定点P,那么点P的坐标是()A.(1,5)B.(1,4)C.(0,4)D,(4,0)解析：选A当x=1时,f(x)=5.

4、4,假设函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数,那么实数a的值为.解析：a2-3a+3=1,.a=2或a=1(舍).答案：25,假设函数y=(a21)x在(00,+oo)上为减函数,那么实数a的取值范围是解析：由题意知0<a21<1,即1<a2<2,得也<a<1或1<a<也.答案：(一也-1)U(1,例1 .分数指数哥与根式的关系:通常利用分数指数哥的意义把根式的运算转化为分数指数哥与根式能够相互转化,哥的运算,从而简化计算过程.2.指数函数的单调性是由底数a的大小决定的,所以解题时通常对底数a按0<a<1和a>1实行分类讨论

5、.跟当京学技法得拔高分指数式的化简与求值1典题导入例1化简以下各式其中各字母均为正数.21111a§b'_2a_2b3(1) ；(2) 270.5+0.14ab132331.+21023/+37(3) 27348自主解答原式=a3b2a2b315a6b61356111=a326、2511(2)原式=92+0.12+64237593727-3-3+48=3+100+w-3+48=100.2由题悟法指数式的化简求值问题,要注意与其他代数式的化简规那么相结合,遇到同底数哥相乘或相除,可依据同底数塞的运算规那么实行,一般情况下,宜化负指数为正指数,化根式为分数指数塞.对于化简结果,形

6、式力求统一.3以题试法1.计算:(1)(0.027)-1-12+271(也一1)0；3792271斛：1原式=10一.一一1IUUU310c5-49+-1=-45.33134二442422原式=1004八八4=25ab=25.指数函数的图象及应用典题导入例22021四川高考函数y=ax-aa>0,且awl的图象可能是自主解答法一：令y=ax-a=0,得x=1,有选项C.即函数图象必过定点1,0,符合条件的只法二：当a>1时,y=axa是由y=ax向下平移a个单位,且过1,0,排除选项A、B;当0<a<1时,y=axa是由y=ax向下平移a个单位,由于0<a<

7、1,故排除选项D.答案C由题悟法1.与指数函数相关的函数的图象的研究,往往利用相对应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象.2.一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相对应的指数型函数图象数形结合求解.3以题试法2.12021北京模拟在同一坐标系中,函数y=2x与y=2x的图象之间的关系是A.关于y轴对称B.关于x轴对称C.关于原点对称D.关于直线y=x对称(2)方程2x=2x的解的个数是.一1.解析：(1)-.y=2x=2x,它与函数y=2x的图象关于y轴对称.(2)方程的解可看作函数y=2x和y=2x的图象交点的横坐标,分别作出这两个函数图象(如图).由图象得只有一个交点,所以该方

8、程只有一个解.答案:(1)A(2)1指数函数的性质及应用1典题导入2一一例3函数f(x)=31Ma.那么函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为32t自王解答令t=|x|a,那么f(x)=3,不管a取何值,t在(00,0上单调递减,在0,+°°)上单调递增,2又丫=2t是单调递减的,3所以f(x)的单调递增区间是(一8,0,单调递减区间是0,十°°).答案(00,00,+OO)»?一题冬亶3以题试法3. (1)(2021福州质检)a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,那么()A.a>b>cB.a>c>bC

9、.c>a>bD.b>c>a(2)(2021上海高考)函数f(x)=e|xa|(a为常数).假设f(x)在区间1,+00)上是增函数,那么a的取值范围是.解析：(1)由0.2<0.6,0.4<1,并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.6,即b>c；由于a=20.2>1,b=0.40.2<1,所以a>b.综上,a>b>c.(2)结合函数图象求解.由于y=eu是R上的增函数,所以f(x)在1,+8)上单调递增,只需u=|xa|在1,)上单调递增,由函数图象可知a<1.答案：(1)A(2)(8,1GAOFgA

10、/HANGAI攻重息补短板零总分值掌握题型技法点拨快得分系列之(二)换元法解决与指数函敷有关的最值问题1 .1.,一一一典例函数y=42x+1在xC3,2上的值域是.111-11V1c3常规解法y=1x尸+1=1x2-2x+1=2x22+4,一,_,11V由于x-3,2,所以%-x<8.42,1.1.3.1.当2=2时,ymin=4；当2=8时,ymax=57.所以函数y的值域为3,57.4答案357身手支招11一1,解答此题可利用换元法,即令t=2x,把函数化为y=t2-t+1,其中te7,8,然后求在这个闭区间上的二次函数的最大值和最小值即可确定函数的值域.2,对于含ax、a2x的表

11、达式,通常能够令t=ax实行换元,但换元过程中一定要注意新元的范围,换元后转化为我们熟悉的一元二次关系.111c3巧思妙解由于xC-3,2,右令t=2,那么te4,8.那么y=ty=11x的值域是正实数集.2.f(x)=2x+2x,假设f(a)=3,那么f(2a)等于()A.5B.7C.91+1=t-2+-.1_,33当t=2时ymin=4；当t=8时,ymax=57.答案为彳,57.针对练习假设0<a<1,函数y=a2x+2ax1在1,1上的最大值是14,那么a的值为解析：令t=ax(0<a<1),那么原函数化为y=(t+1)22(t>0).1由于0<a&

12、lt;1,xC1,1,所以t=axCa,一,a.,1.此时f(t)在a,二上为增函数.a所以f(t)max=f122=14.aa1所以12=16,a所以a=一2或a=；53又由于a>0,所以a=1.3,1答案：3修题练习M高效林速度A地全员必做题1 .以下函数中值域为正实数集的是A.y=-5xB.y=31x3C.y=q；xTD.y=1-2x解析：选B.1-xR,y=1x的值域是正实数集,3解析：选B由f(a)=3得2a+2-a=3,两边平方得22a+2-2a+2=9,即22a+22a=7,故f(2a)=7.3,函数f(x)=2"1|的图象是()-12x解析：选D由于函数y=x：

13、的定义域为,x>1,解析：选B.f(x)=12x1,x<1,根据分段函数即可画出函数图象.4.f(x)=3xb(2<x<4,b为常数)的图象经过点(2,1),那么f(x)的值域()A.9,81B.3,9C.1,9D.1,+oo)解析：选C由f(x)过定点(2,1)可知b=2,因f(x)=3x2在2,4上是增函数,可知C准确.5. (2021深圳诊断)设函数f(x)=a|x|(a>0,且a1),f(2)=4,那么()A.f(-2)>f(-1)B,f(-1)>f(-2)C.f(1)>f(2)D,f(2)>f(2)一一一一1解析：选A.f(2)=

14、4,.a|2|=4,.a=Q,1.一.f(x)=x|=2|x|,f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=2x是增函数,x<0时,f(x)是减函数,f(-2)>f(-1).1C16.假设(2m+1)2>(m2+m1%,那么头数m的取值氾围是()A.OO2B.C.(-1,2)D.勺,20,+8),且在定义域内为增函数,所以不等2m+1>0,式等价于m2+m-1>0,2m+1>m2+m1,1解2m+1>0,得m>2解m2+m1>0,/曰V51r、V51得mW2或m>-2一；解2m+1>m2+m1,即m2m2<0,得一1&l

15、t;m<2.综上所述,m的取值范围是52-1<m<2.37.24x解析:原式=33*TV-33=2.答案：28,正数a满足a22a3=0,函数f(x)=ax,假设实数m、n满足f(m)>f(n),那么m、n的大小关系为.解析：,a22a3=0,a=3或a=1(舍).函数f(x)=ax在R上递增,由f(m)>f(n),得m>n.答案：m>n9 .假设函数f(x)=a|2>r4|(a>0,aw1)且f(1)=9.那么f(x)的单调递减区间是解析：由f(1)=9得a2=9,1.a=3.所以f(x)=3|2x4|,又g(x)=|2x4|的递减区间为

16、(一8,2,f(x)的单调递减区间是(一8,2.答案：(一巴210 .求以下函数的定义域和值域.(1)y=22xx2;(2)y=.,32x11.2J9解：(1)显然定义域为R.-.12x-x2=-(x-1)2+1<1,一1,一一且y=2x为减函数.,一,11故函数y=22xx2的值域为2,+00.(2)由32x1-1>0,得32x1>1=3299,y=3x为增函数,2x-1>-2,即x>21此函数的定义域为一2,+8,由上可知3"19>0,y>0.即函数的值域为0,十°°),11.函数f(x)=ax(a>0,且awl

17、)在区间1,2上的最大值比最小值大求a的值.解：当a>1时,f(x)=ax为增函数,在xC1,2上,f(x)最大=f(2)=a2,f(x)最小=f(1)=a.aa2a=2.即a(2a-3)=0.33 a=0(舍)或a=2>1.1.a=2.当0<a<1时,f(x)=ax为减函数,在xC1,2上,f(x)最大=f(1)=a,f(x)最小=f(2)=a2 -a-a2=|.-.a(2a-1)=0,11 a=0(舍)或a=Q.a=.综上可知,a=2或a=2.12.函数y=lg(34x+x2)的定义域为M,当xCM时,求f(x)=2x+23X4x的最值.解：由34x+x2>0

18、,得x>3或x<1,.M=x|x>3,或x<1,1c25f(x)=3X(2x)2+2x+2=32x62+而.x>3x<1,.2x>8或0v2xv2,v1一1.一.二当2=6,即x=log2时,f(x)一大,最大值为25f(x)没有最小值.12E级重点选做题1. (2021绍兴一中模拟)函数RRnakTa>.,a1)的值域为1,+°o),那么f(4)与f(1)的关系是()A.f(-4)>f(1)B,f(-4)=f(1)C.f(-4)<f(1)D,不能确定解析：选A由题意知a>1,又f(4)=a3,f(1)=a2,由单调性

19、知a3>a2,f(4)>f(1).2. (2021衡水模拟)函数f(x)=|2x1|,a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),那么以下结论中,一定成立的是.a<0,b<0,c<0;a<0,b>0,c>0;2一a<2c；2a+2c<2.解析：画出函数f(x)=|2x1|的图象(如图),由图象可知,a<0,b的符号不确定,c>0.故错；.f(a)=|2a-1|,f(c)=|2c-1|,12a1|>|2c1|,即1-2a>2c-1,故2a+2c<2,成立；又22+2、2/2,2a+c

20、<1,.a+cv.,一a>c,.二2a>2c)不成立.答案：3.函数f(x)=；ax_1_1.实数a,b满足等式2a=3b,以下五个关系式:0<b<a;a<b<0;0<a<b;b<a<0;a=b其中不可能成立的关系式有()A.1个B.2个C.3个D.4个一一,一,1-1、一,一解析：选B函数y1=-x与y2=1x的图象如图,34x+3.3(1)假设a=1,求f(x)的单调区间;(2)假设f(x)有最大值3,求a的值.,一1c解：(1)当a=1时,f(x)=-x2-4x+3,3令t=x24x+3,由于t(x)在(8,2)上单调递增

21、,在2,+8)上单调递减,而y=1t在R上单调3递减,所以f(x)在(00,2)上单调递减,在2,+°°)上单调递增,即函数f(x)的递增区间是2,+8),递减区间是(8,2).c1(2)令h(x)=ax2-4x+3,f(x)=-h(x),由于f(x)有取大值3,所以h(x)应有取小值一1,3所以必有a>0,12a16_解得a=1.4a'即当f(x)有最大值3时,a的值等于1.由1a=1b得a<b<0或0<b<a或a=b=0.232,求函数y=a2x2ax1(a>0,aw1)的单调区间和值域.解：y=(ax1)22(a>0,

22、awl),设u=ax.y=(u1)22在uC1,+8)时是关于u的增函数,在uC(8,1)时是关于u的减函数,当ax>1时,原函数的单调性与u=ax的单调性相同；当ax<1时,原函数的单调性与u=ax的单调性相反.假设a>1,ax>1?x>0;ax<1?x<0,在0,十°°)上,函数y=a2x2ax1是增函数；在(00,0)上,函数y=a2x2ax1是减函数.假设0<a<1,ax>1?x<0;ax<1?x>0,在(0,十°°)上,函数y=a"2ax1是增函数；在(00

23、,0上,函数y=a"2ax1是减函数.ax>0,.函数值域是2,+8).I1强双星目星锚分拿萌杆度知识能否忆起1 .对数的概念(1)对数的定义：如果ax=N(a>0且aw1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,电叫做真数.当a=10时叫常用对数.记作x=lgN,当a=e时叫自然对数,记作x=lnN.(2)对数的常用关系式(a,b,c,d均大于0且不等于1): loga1=Q. logaa=1.对数恒等式：alogaN=N.换底公式：logab=.推广logab=；,logablogbclogcd=logad.logba(3)对数的运算

24、法那么：如果a>0,且awl,M>0,N>0,那么：loga(MN)=logaM+logaN;M.*用=10gaMlogaN；logaMn=nlogaM(nCR);10gamMn=logaM.2.对数函数的概念(1)把y=logax(a>0,aw1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,).(2)函数y=logax(a>0,aw1)是指数函数y=ax的反函数,函数y=ax与y=logax(a>0,aw1)的图象关于y=x对称.3.对数函数的图象与性质y=logaxa>10<a<1图象X|i-1性质定义域：(0,十8)值域：R过点

25、也0_,即x=1时,y=0当x>1时,y>0当0<x<1时,y<0当x>1时,y<0当0<x<1时,y>0在(0,+8)上是增函数在(0,+8)上是减函数小题能否全取1V1.(教材习题改编)设A=y|y=log2x,x>1,B=y|y=2",0vx<1,那么人08为()c11.A.0,2B.2,+1C.1,1D.(0,2)1斛析：选CA=y|y>0,B=yl2<y<1,1,ACB=y|/<y<1.2.函数y=loga(3x-2)(a>0,awl)的图象经过定点A,那么A点坐标是

26、()-2_2cA.0,3b.3,0C.(1,0)D,(0,1)解析：选C当x=1时y=0.3.函数y=lg|x|()A.是偶函数,在区间B.是偶函数,在区间C.是奇函数,在区间D.是奇函数,在区间(8,0)上单调递增(8,0)上单调递减(0,+°°)上单调递减(0,+8)上单调递增解析：选By=lg|x|是偶函数,由图象知在(一8,0)上单调递减,在(0,+8)上单调递增.4. (2021江苏高考)函数f(x)=112log6x的定义域为.1解析：由12log6x>0,解得10g6x2?0<x<>/6,故所求定义域为(0,邪.答案：(0,乖5. (2

27、021北京高考)函数f(x)=lgx,假设f(ab)=1,那么f(a2)+f(b2)=.解析：由f(ab)=1得ab=10,于是f(a2)+f(b2)=lga2+lgb2=2(lga+lgb)=2lg(ab)=2lg10=2.答案：21 .在使用性质logaMn=nlogaM时,要特别注意条件,在无M>0的条件下应为logaMn=nloga|M|(nCN*,且n为偶数).2 .对数值取正、负值的规律：当a>1且b>1,或0<a<1且0<b<1时,logab>0；当a>1且0<b<1,或0<a<1且b>1时,lo

28、gab<0.3 .对数函数的定义域及单调性：在对数式中,真数必须大于0,所以对数函数y=logax的定义域应为x|x>0.对数函数的单调性和a的值相关,因而,在研究对数函数的单调性时,要按0<a<1和a>1实行分类讨论.病频考点M通关身拔高分对数式的化简与求值1典题导入例1求解以下各题.1324一声布-JgV8+igV245=;(2)假设2a=5b=m,且+=2,那么m=ab1324自王解答(1)g49§lgM8+lg&45=1x(51g22lg7)4x31g2+1(lg5+2lg7)232251_一=2lg2-lg7-2lg2+2lg5+lg7

29、1c111=lg2+2lg5=2lg(2X5)=.(2)由2a=5b=m得a=log2m,b=log5m,=logm2+10gm5=10gm10.11-a+b=2,logm10=2,即m2=10.解得m=q?0(<m>0).11答案(1)2(2).102由题悟法对数式的化简与求值的常用思路(1)先利用哥的运算把底数或真数实行变形,化成分数指数哥的形式,使哥的底数最简,然后正用对数运算法那么化简合并.(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算法那么,转化为同底对数真数的积、商、哥再运算.3以题试法1.化简：(1)lg；+lg70-lg3Jg23lg9+1;I

30、g4lg603_45X211Ig3+lg57x70解：(1)原式=lgJ,lg232lg3+1=igI0_ylg3_12=1-|lg3-1|=lg3.(2)原式=lg4lg4+lg15lg53210X211-lg15lg1532.对数函数的图象及应用1典题导入例2(1)(2021烟台调研)函数y=ln(1x)的图象大致为()(2)(2021新课标全国卷)当0<xW2时,4x<logax,那么a的取值范围是()A.0,*B.乎,1C.(1,的D.他,2)自主解答(1)由1x>0,知x<1,排除选项A、B;设t=1-x(x<1),由于t=1x为减函数,而y=lnt为增

31、函数,所以y=ln(1x)为减函数,可排除D选C.(2)法一：构造函数f(x)=4xg(x)=logax,当a>1时不满足条件,111r一当0<a<1时,回出两个函数在0,2上的图象,可知,f万<g2,即2<loga),那么a>乎,所以a的取值范围为乎,1.、,一1法一：-0<x<-,1<4x<2,logax>4x>1,.0<a<1,排除选项1111=£,那么有4=2,10g22=1,显然4x<logax不成立,排除选项A.答案(1)C(2)B一岫多变假设本例(2)变为：假设不等式(x-1)2由

32、题悟法1.对一些可通过平移、对称变换能作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合求解.一些对数型方程、不等式问题的求解,常转化为相对应函数图象问题,利用数形结合法求解.3以题试法3x,x<1,2.函数f(x)=110g&x,x>1,1x,x>0,解析：选C由题意可得f(1x)=110g31x,x<0,函数,且y>0;当x<0时,y=f(1x)为增函数,且y<0.对数函数的性质及应用1典题导入例3函数f(x)=log4(ax2+2x+3).<logax在xC(1,2)内恒成立,实数a的取值范围为

33、解析：设fi(x)=(x1)2,f2(x)=logax,要使当xC(1,2)时,不等式(x1)2<logax恒成立,只需f1(x)=(x-1)2在(1,2)上的图象在f2(x)=logax图象的下方即可.当0<a<1时,显然不成立；当a>1时,如图,要使xC(1,2)时f1(x)=(x1)2的图象在f2(x)=logax的图象下方,需f1(2)wf2(2),即(21)2Wloga2,又即loga2>1.所以1<aW2,即实数a的取值范围是(1,2.那么y=f(1x)的大致图象是()答案：(1,2所以当x>0时,y=f(1x)为减(1)假设f(x)定义域

34、为R,求a的取值范围；(2)假设f(1)=1,求f(x)的单调区间；(3)是否存有实数a,使f(x)的最小值为0?假设存有,求出a的值；假设不存有,说明理由.自主解答(1)由于f(x)的定义域为R,所以ax故存有头数a=2使f(x)的取小值为0.2由题悟法研究复合函数y=logaf(x)的单调性(最值)时,应先研究其定义域,分析复合的特点,结合函数u=f(x)及y=logau的单调性(最值)情况确定函数y=logaf(x)的单调性(最值)(其中a>0,且aw1).3以题试法3.f(x)=loga(ax1)(a>0且aw1).(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的单调性.

35、解：(1)由ax1>0得ax>1,当a>1时,x>0；当0<a<1时,x<0.+2x+3>0对任意xCR恒成立.显然a=0时不合题意,从而必有a>0,即a>0,解得a>1./0,4-12a<0,当a>1时,f(x)的定义域为(0,+8)；1即a的取值氾围是3,+00.(2)由于f(1)=1,所以10g4(a+5)=1,所以a+5=4,a=1,这时f(x)=1og4(x2+2x+3).由一x2+2x+3>0得一1<x<3,即函数定义域为(一1,3).令g(x)=x2+2x+3.那么g(x)在(一1,1

36、)上单调递增,在(1,3)上单调递减.又y=iog4x在(0,+8)上单调递增,所以f(x)的单调递增区间是(一1,1),单调递减区间是(1,3).(3)假设存有实数a使f(x)的最小值为0,那么h(x)=ax2+2x+3应有最小值1,a>0,所以应有3a-1解得a=J.=1,2a当0<a<1时,f(x)的定义域为(一8,0).(2)当a>1时,设0<xi<x2,贝U1<axi<ax2,故0<axil<ax21,loga(axi1)<loga(ax21).f(x1)<f(x2).故当a>1时,f(x)在(0,+8)上

37、是增函数.类似地,当0<a<1时,f(x)在(一8,0)上为增函机曲度全员必做题1 .函数y=5lgx+2的定义域为()A.(0,8B.(2,8C.(2,8D.8,+8)一、"一x+2W10,一解析：选C由题意可知,1lg(x+2)>0,整理得lg(x+2)<lg10,那么解x+2>0,得一2<xw8,故函数y=?1lgx+2的定义域为(一2,8.2 .(2021安徽高考)(log29)(log34)=()1 1A.4B.2C.2D.4lg9ylg421g3、/2!g_2,斛析：选D(log29)(log34)=lg7xig=igr><

38、i7?=4.3.假设函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且aw1)的反函数,且f(2)=1,那么f(x)=()1A.log»Bga>c>b.5.2021安徽名校模拟函数丫=西纲的大致图象是x解析：选C由于10g2|x|=-logz|xl,所以函数y=3空凶是奇函数,其图象关于原点对xxx称.当x>0时,对函数求导可知函数图象先增后减,结合选项可知选C.一,一、.,16.函数f(x)=1og2|x-1|,那么以下结论准确的是(一1一一A. f2<f(0)<f(3)一一一1一B. f(0)<f2<f(3)一一一1一C. f(3)<

39、f万<f(0)一一一一1D. f(3)<f(0)<f2,1311一=log.<log1,即1<f-Q<0,1 11解析：选C依题息得f(3)=log2=1<0,log22<f-11b-1下,a<b,又f(0)=log21=0,所以有f(3)<f2<f(0).贝Ulg100007 .(2021长安一中质检)对任意的非零实数a,b,假设a?bc12?22=.一一,1f解析：lg10000=lg104=4,22=4,.124+15lg10000?金2=4.5答案：541c8 .函数y=10g(x26x+17)的值域是.111解析：令t

40、=x2-6x+17=(x-3)2+8>8,y=logE为减函数,所以有10gtwlog8=3.答案：一8,3一.19 .函数f(x)=logax(a>1)在区间a,2a上的取大值与取小值之差为那么a等于解析：.a>1,1-f(x)=logax在a,2a上为增函数.1loga2alogaa=-,斛得a=4.答案：410 .计算以下各式.(1)lg25+lg2lg50+(lg2)2；lg32Tg9+1lgV27+lg8-lg<T000(2) lg0.3lg1.2.解：(1)原式=(lg2)2+(1+lg5)lg2+lg52=(lg2+lg5+1)lg2+2lg5=(1+1)

41、lg2+2lg5=2(lg2+lg5)=2.33(2)原式=Vlg322lg3+1,lg3+3lg2lg3-1lg3+2lg2-13I lg32lg3+2lg2-13=lg31lg3+2lg2-12.II .说明函数y=log2|x+1|的图象,可由函数y=log2x的图象经过怎样的变换而得到.并由图象指出函数的单调区间.解：作出函数y=log2x的图象,再作其关于y轴对称的图形得到函数y=log2xi的图象,再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y=10g2|x+1|的图象(如下图).由图知,函数y=log2|x+1|的递减区间为(8,1),递增区间为(1 ,+8).12.假设f(x)=x2

42、x+b,且f(log2a)=b,10g2f(a)=2(aw1).求f(log2x)的最小值及对应的x值;(2)x取何值时,f(log2x)>f(1),且10g2f(x)vf(1).解：(1).1f(x)=x2x+b,f(log2a)=(log2a)2log2a+b.由得(log2a)2log2a+b=b,.log2a(log2a1)=0.aw1,log2a=1,即a=2.又10g2f(a)=2,.f(a)=4.a2a+b=4.b=4a2+a=2.故f(x)=x2x+2.从而f(log2x)=(log2x)2log2x+2=10g2X12+7.,1一一7:当10g2X=2,即X=W时,f(

43、log2x)有最小值710g2x21og2x+2>2,(2)由题意门c10g2x2x+2<2x>2或0vxv1,?0<x<1.-1<x<2B级重点选做题1og28x,x<0,1. (2021山西四校联考)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=那么fx-1-fx-2,x>0,f(3)的值为()A.1B.2C.2D.-3解析：选D依题意得f(3)=f(2)-f(1)=f(1)-f(0)-f(1)=-f(0)=-1og28=-3.6,3,52.f(x)是周期为2的奇函数,当0Vx<1时,f(x)=1gx.设a=f5,b=f2,c=f2,那么

44、()A. a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b解析：选Df(x)是周期为2的奇函数,当0Vx<1时,f(x)=1gx,那么a=f6=f-455=-f4=-1g4>0,551.1 .1.1b=ff_2=_f2-港>0,5,11-c=f2=f2=1g2<0.一一一41又由于1g5>1g2,41所以0<_1gg<_1g2.所以c<a<b.3,假设函数f(x)=1oga(x2ax+3)(a>0且aw1),满足对任意的x1,x2,当x1<x2w|时,f(x1)-f(x2)&g

45、t;0,求实数a的取值范围.解：由于对任意的x1,x2,当x1<x2Wa时,f(x1)f(x2)>0,a所以函数f(x)在一8,5上单调递减.令t=x2ax+3,那么二次函数t=x2ax+3的对称轴为x=1,其在00,a上单调递减.由复合函数的单调性,可知y=logax为单调增函数,故a>1.a,由对数函数的定义域,可知在区间°0,-±,t>0恒成立,即x2-ax+3>0在区间a.-0°,2上恒成立.而函数t=x2ax+3在区间002.2,2上的最小值为22-aX-+3=3一了.故3"4>0,解得|a|<2'3.综上可得a的取值范围是(1,2V3).log：x>0.1,设函数f(x)=2K右f(m)&