分离变量法数学物理方式

1、分离变量法数学物理方式8 8、1 1 齐次方程的分离变数解法齐次方程的分离变数解法、线性定解问题的叠加性质、线性定解问题的叠加性质L L称为算符，偏微分方程可以用算符作用在函数上标示出来称为算符，偏微分方程可以用算符作用在函数上标示出来非齐次方程非齐次方程 L u=f( (x,y,z,t) ) 齐次方程齐次方程L u=0=01. 算符算符 2. 2. 性质性质则其组合则其组合u2 2是齐次方程的解是齐次方程的解 L u2 2=0=0Lu1=f1) 1) 分别是齐次方程的分别是齐次方程的 21,uu2) 2) 是非齐次方程的解是非齐次方程的解 1u21uu 则则 是非齐次方程的解是非齐次方程的解

2、: :3 3）若）若L u1 1=f1 1, ,L u2 2=f2 2性质（性质（3 3）对边界条件，初始条件常常用到。）对边界条件，初始条件常常用到。二、分离变数法解齐次偏微分方程的基本思路：二、分离变数法解齐次偏微分方程的基本思路：1 1、两个变数方程的求解方法、两个变数方程的求解方法2121ffuuL 则则1 1、设解的形式、设解的形式解的形式为解的形式为 u( (x,y)=X()=X(x)T()T(t) )带入方程中，带入方程中， 得出两个常微分方程：得出两个常微分方程： 2 2、分离变量、分离变量分离过程：分离过程： l l- - )()()()(2xXxXtTatTxxtt代入边界

3、条件：代入边界条件： 3 3、本征值问题：、本征值问题：本征值方程本征值方程 由约束条件和方程本身称为方程的本征值问题由约束条件和方程本身称为方程的本征值问题二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：当当x=0 x=0，l 时时X=0, l 时021 cc无意义无意义,则则0 l l不能不能无意义无意义,则则l不能不能=0=0 x=0, l 时时则有则有 则必有则必有 所以所以 n=1,2,3 又因为又因为 所以有特征解：所以有特征解：4、通解：、通解：5 5 、由广义傅立叶级数展开法确定方程中的系数：、由广义傅立叶级数展开法确定方程中的系数： 则有则有 把等式右

4、端展为傅立叶级数，比较两边系数得：把等式右端展为傅立叶级数，比较两边系数得：6 6、物理意义：、物理意义：（1 1）、）、u( (x,y)=T()=T(t)X()X(x) )是形式解是形式解un 是驻波是驻波 波腹波腹振动总是最大点，波节振动总是最大点，波节振幅总是为零点振幅总是为零点（2 2）、）、u n n(x,t) (x,t) 特解称为本征振动模式它与初始条件无关。特解称为本征振动模式它与初始条件无关。 称固有振动模式称固有振动模式（4 4）、有初始条件确定通解系数（傅立叶展开）、有初始条件确定通解系数（傅立叶展开 ）7 7、 分离变量法概要：分离变量法概要：（1 1）、将齐次偏微分方程

5、分为若干常微分方程）、将齐次偏微分方程分为若干常微分方程（2 2）、参数常微分方程与齐次边界条件构成本征值问题）、参数常微分方程与齐次边界条件构成本征值问题（3 3）、将本征解叠加无穷级数，给出通解）、将本征解叠加无穷级数，给出通解例例1 1、研究细杆导热问题。初始时刻杆的一端温度为零，另一、研究细杆导热问题。初始时刻杆的一端温度为零，另一 端温度为端温度为u0 0，杆上温度梯度均匀，零度的一端保持温度不，杆上温度梯度均匀，零度的一端保持温度不 变，另一端跟外界绝热，试求杆上温度的变化。变，另一端跟外界绝热，试求杆上温度的变化。边界条件：边界条件： 初始条件：初始条件： (2) (2) 分离变

6、数：分离变数：(3)(3)、求解本征值问题：、求解本征值问题：021 cc21)(cxcxX X=0,X=0,l 时时021 ccx=0, l 时时则有则有 02 c则必有则必有 （k=0,1,2）故有：故有： 本征解本征解 （4 4）、通解中常数确定）、通解中常数确定分离变量法也适用于分离变量法也适用于LaplaceLaplace方程方程例例2 2解解若若0，例例3 3 带电的云跟大地之间的静电场近似是匀强静电场，其电带电的云跟大地之间的静电场近似是匀强静电场，其电 场强度是竖直的。水平架设的输电线出在这个静电场之场强度是竖直的。水平架设的输电线出在这个静电场之 中，输电线是导体圆柱。柱面由

7、于静电感应出现电荷，中，输电线是导体圆柱。柱面由于静电感应出现电荷， 圆柱邻近的静电场也就不再是匀强的了，不过离圆柱圆柱邻近的静电场也就不再是匀强的了，不过离圆柱 “无限远无限远“处的静电场应保持为匀强的。现在研究导体圆处的静电场应保持为匀强的。现在研究导体圆 柱怎样改变了匀强静电场。柱怎样改变了匀强静电场。+_ _ _ _ _ _ _ _ 解解 如图选择坐标系，电荷具有面如图选择坐标系，电荷具有面 对称性对称性,形成的电场也具有面对形成的电场也具有面对 称性称性. 在圆柱外在圆柱外,电势满足电势满足Laplace 方程方程.yx设导体上的电势为设导体上的电势为0,0,有下列边界条有下列边界条

8、件件: :+_ _ _ _ _ _ _ _ yx定解问题为定解问题为: :1) 1) 形式解形式解2) 2) 代入方程分离变量代入方程分离变量3) 求解本征值问题求解本征值问题得本征值和本征函数得本征值和本征函数: :径向方程为径向方程为:te 解为解为3) 3) 通解为通解为4) 代入边界条件确定系数代入边界条件确定系数由由(1)(1)和和(2)(2)得得: :代入给出符合题意的解代入给出符合题意的解: :说明说明该方法只适应于齐次偏微分方程，齐次边界条件的定解问题，该方法只适应于齐次偏微分方程，齐次边界条件的定解问题，对于齐次方程非齐次边界条件不适合。对于齐次方程非齐次边界条件不适合。泛定

9、方程泛定方程边界条件边界条件本征值问题本征值问题本征值本征值本征函数本征函数 k=1,2,3k=1,2,3 k=0,1,2,3 k=0,1,2,3 k=0,1,2,3k=0,1,2,3 8 8、2 2 非齐次振动方程和输送方程非齐次振动方程和输送方程基本思路：基本思路： 对于定解问题：对于定解问题：、傅立叶级数法、傅立叶级数法（1 1）、根据方程的线性，将解设为分离变量形式的解：）、根据方程的线性，将解设为分离变量形式的解：( 2 )( 2 )、根据边界条件，将、根据边界条件，将X(x)X(x)形式写成满足边界条件的函数形式形式写成满足边界条件的函数形式（3 3）、构成满足边界条件、给出需待定

10、）、构成满足边界条件、给出需待定)(tTn的级数解：的级数解：（4 4）、将级数解带入偏微分方程中，且将）、将级数解带入偏微分方程中，且将 展为同样级数形式展为同样级数形式f(x,t)、 )(),(xx 其中其中代入方程代入方程例例1 1 求解定解问题：（以一维弦振动为例）求解定解问题：（以一维弦振动为例） 二、应用举例：二、应用举例：（2 2）、考虑）、考虑齐次方程齐次方程和和齐次边界条件齐次边界条件下的级数形式下的级数形式（3 3）、代入非齐次方程中，有：）、代入非齐次方程中，有：n=1 1二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程则二阶常系数非齐次线性微分方程具有形如则二阶

11、常系数非齐次线性微分方程具有形如 的特解，其中的特解，其中 是与是与 同次（同次（m次）的多项式，次）的多项式， 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解归结为求对应的齐二阶常系数非齐次线性微分方程的通解归结为求对应的齐次方程的通解和非齐次方程本身的一个特解次方程的通解和非齐次方程本身的一个特解 而而k k按按 不是特征方程的根，是特征方程的单根或是特征方程不是特征方程的根，是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为的重根依次取为0 0，1 1或或2 2。（4 4）、将级数解）、将级数解u( (x,y) )代入初始条件代入初始条件作傅立叶展开有：作傅立叶展开有：代入可得其解代入可得其解1、例例2 2

12、解：解：2 2、5 5、将系数代入、将系数代入u(x,t), u(x,t), 得解：得解：4、例例3 3 分布方程分布方程非齐次方程、齐次边界条件的定解问题的一般处理方法非齐次方程、齐次边界条件的定解问题的一般处理方法定解问题：定解问题： - - )(),(0, 0),(0002xuxuuutxfuautttlxxxxtt 三、冲量定理法三、冲量定理法1 1、冲量定理法的基本思想、冲量定理法的基本思想定解问题定解问题1）持续作用力看成前后相继的瞬时力的叠加；）持续作用力看成前后相继的瞬时力的叠加；定解问题中，持续力是定解问题中，持续力是作用时间作用时间0-0-t t表为瞬时力的叠加表为瞬时力的

13、叠加2 2）持续力引起的振动看成是瞬时力引起振动的叠加。）持续力引起的振动看成是瞬时力引起振动的叠加。v是是 时刻有瞬时力时刻有瞬时力 引起的位移。引起的位移。 dttxf)(),(- -代入泛定方程，有代入泛定方程，有由于瞬时力由于瞬时力 是作用在是作用在 时间段上，时间段上，从从 时间上，瞬时力没有起作用，仍然是静止时间上，瞬时力没有起作用，仍然是静止的，所以有的，所以有 )(),( - -ttxf),(d00-瞬时力引起的位移所满足的方程瞬时力引起的位移所满足的方程瞬时力引起的位移满足的初始条件瞬时力引起的位移满足的初始条件由于瞬时力作用时间由于瞬时力作用时间 极短，作用结束后弦线来极短

14、，作用结束后弦线来不及振动，所以不及振动，所以由冲量定理判断其作用后的速度，考虑单位长度的弦：由冲量定理判断其作用后的速度，考虑单位长度的弦：将考虑时刻将考虑时刻 以后的定解问题以后的定解问题 ，瞬时力，瞬时力 还没有来得及起作用，则：还没有来得及起作用，则： d )(),( - -ttxf将将 时间间隔取为单位时间，且将时间间隔取为单位时间，且将 ，则，则 d d该定解问题可以用分离变量方法求解。该定解问题可以用分离变量方法求解。例例1 1解解8、3非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理、一般处理方法、一般处理方法定解问题定解问题; ;带入（带入（2 2）中）中令令u(x,(x,t)=)=

15、v(x,t)+w(x,t)则则w(x,t)满足满足xxttxxttvavwaw22 - - - -)()()(1tuxtvtul- - - 令令v(x,y)满足非齐次边界条件，则可设形式为满足非齐次边界条件，则可设形式为; ;v（x,t）=A(t)x+B(t) (4)-是齐次边界条件的非齐次偏微分方程是齐次边界条件的非齐次偏微分方程例例1解解（x,t）=a(t)x+b(t)求下列定解问题求下列定解问题例例2 2满足边界条件的通解为满足边界条件的通解为0通过例子说明该方法通过例子说明该方法8 8、4 4 泊松方程的求解方法之一泊松方程的求解方法之一、特解法求解泊松方程的基本思路、特解法求解泊松方程的基本思路对于给定的泊松方程，寻找一个能够满足方程的特解对于给定的泊松方程，寻找一个能够满足方程的特解 此特解一般较难寻找此特解一般较难寻找u=v+w二、例题举例二、例题举例-cuyxbau0|)(22对于该方程我们易看出：对于该方程我们易看出：，为对称有为对称有