初三线段角的和差倍分

1、 初中数学竞赛专题选讲线段、角的和差倍分一、内容提要证明线段、角的和，差，倍，分，常用两种方法：一是转化为证明线段或角的相等关系；一是用代数恒等式的证明方法。一. 转化为证明相等的一般方法通过作图转化1. 要证明一线段（角）等于两线段（角）的和（用截长补短法）分解法把大量分成两部分，证它们分别等于两个小量合成法作出两个小量的和，证它与大量相等2. 要证明一线段（角）等于另一线段（角）的2倍折半法作出大量的一半，证它与小量相等加倍法作出小量的2倍，证它与大量相等应用有关定理转化1. 三角形中位线等于第三边的一半，梯形中位线等于两底和的一半2. 直角三角形斜边中线等于斜边的一半3. 直角三角形中，

2、含30度的角所对的直角边等于斜边的一半4. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和5. 等腰三角形顶角的外角等于底角的2倍6. 三角形的重心（各中线的交点）分中线为217. 有关比例线段定理二. 用代数恒等式的证明1. 由左证到右或由右证到左2. 左右两边分别化简为同一个第三式3. 证明左边减去右边的差为零4. 由已知的等式出发，通过恒等变形，到达求证的结论二、例题例1.已知：ABC中，B2C，AD是高求证：DCABBD分析一：用分解法，把DC分成两部分，分别证与AB，BD相等。可以高AD为轴作ADB的对称三角形ADE，再证ECAE。AEBB2C且AEBCEAC，EACC辅助线是在DC上取

3、DEDB，连结AE。分析二：用合成法，把AB，BD合成一线段，证它与DC相等。仍然以高AD为轴，作出DC的对称线段DF。为便于证明，辅助线用延长DB到F，使BFAB，连结AF，则可得ABD2F2C。例2.已知：ABC中，两条高AD和BE相交于H，两条边BC和AC的中垂线相交于O，垂足是M，N求证：AH2MO，BH2NO证明一：（加倍法作出OM，ON的2倍）连结并延长CO到G使OGCO连结AG，BG则BGOM，BG2MO，AGON，AG2NO四边形AGBH是平行四边形，AHBG2MO，BHAG2NO证明二：（折半法作出AH，BH的一半）分别取AH，BH的中点F，G连结FG，MN则FGMNAB，F

4、GMNAB又OMAD，OMNHGF（两边分别平行的两锐角相等）同理ONMHFGOMNHFG例3. 已知：在正方形ABCD中，点E在AB上且CEADAE，F是AB的中点求证：DCE2BCF分析：本题显然应着重考虑如何发挥CEADAE条件的作用，如果只想用加倍法或折半法，则脱离题设的条件，难以见效。我们可将AE（它的等量DG）加在正方形边CD的延长线上（如左图）也可以把正方形的边CD（它的等量AG）加在AE的延长线上（如右图）后一种想法更容易些。辅助线如图，证明（略）自己完成例4.已知：ABC中，B和C的平分线相交于I，求证：BIC90A证明一：（由左到右）BIC180（12）180（ABCACB

5、）180（ABCACBA）A90A证明二：（左边右边0）BIC（90A）180（ABCACB）90A90（ABCACBA）证明三：（从已知的等式出发，进行恒等变形）AABCACB180A180（ABCACB）A90（ABCACB）90A180（ABCACB），即BIC90A三、练习1. ABC中，B2C，AD是角平分线，求证：ACABBD2. ABC中，B2C，AD是高，M是BC的中点，则AB2DM3. ABC中，B的平分线和C的外角平分线交于E，则A2E4. ABC的ABAC，CD是中线，延长AB到E使BEAB，连结EC，则CE2CD5. 已知：等腰直角三角形ABC中，ARt，BD是角平分线

6、求证：BCABAD6. 已知：ABC中，ABAC，AD是高，AE是角平分线求证：DAE（BC）7. 已知：ABC中，ABAC，点D在AC的延长线上，求证：CBD（ABDD）8. 已知：AD是ABC的中线，E是AD的中点，BE延长线交AC于F求证：BF4EF9. 已知：在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，AF平分DAE，交CD于F求证：AEBEDF10. 在ABC中，BACRt，BC的中垂线MN交AB于M，交BC于N，角平分线AD延长线交MN于E，则BC2NE（1987年泉州市双基赛题）11. 以RtABC两直角边AC，BC为边向形外作正方形ACDE和BCFG，分别过E，G作斜边AB所在直线

7、的垂线段EE，GG，则ABEE，GG，12. 已知：ABC中，ABAC，AD是高，CE是角平分线EFBC于F，GECE交CB延长线于G，求证：FDCG（提示：以CE为轴作CEG的对称三角形）13. 已知：ABC中，A100，ABAC，BD是角平分线求证：BCBDAD14. 已知：正方形ABCD中，AE平分BAC交BC于E，交BD于F，O是对角线的交点求证：CE2FO15. 已知：如图AC，BD都垂直于AB，且CD交AB于E，CE2AD求证：ADE2BDE16. 已知：ABC中，ABACBC，点D在BC上，点E在BA的延长线上，且BDBEAC，BDE的外接圆和ABC的外接圆交于点F求证：BFAFFC（1991年全国初中数学联赛题）（提示：在BF上取BGCF）（15）（16）练习题参考答案1. 以AD轴作轴对称三角形2. 取AB中点N，再证明DNDM3. 利用外角性质，分别用两角差表示A和E4. 有多种证明方法，注意三角形中位线性质5. 在BC上取BEBD，则EDC等腰，作DFBC交AB于F，可证ECDADF6.B