初中平方差公式

1、平方差公式一、学习目标  熟练掌握平方差公式，完全平方公式，立方和与立方差公式，并能灵活地应用它们进行计算二、学习要求  1、知道乘法公式是一种特殊形式的乘法，是通过多项式的乘法，把特殊多项式相乘的结果写成公式形式并加以运用。  2、理解五个乘法公式，掌握这五个公式的结构特征，并会用这五个公式进行运算。  3、会用这五个公式使计算简便，会简捷地计算某些数的积。  4、能够灵活运用公式进行计算，提高运算能力。三、例题分析第一阶梯例1我们来计算（a+b）(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2,这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个

2、数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式，利用这个公式计算：  (1)(2x+3y)(2x-3y)       (2)(1+2a)(1-2a)     (3)(2x3+5y2)(2x3-5y2)    (4)(-a2-b2)(b2-a2)提示：  刚开始使用公式，运算格式可分两步走，第一步先按公式特征写出一个"框架"，如（1）（2x+3y）(2x-3y) =（ ）2-（ ）2，第二步分析哪项相当于公式中的a，哪项相当于公式中的b，并在

3、"框架"中填数计算。参考答案：  (1)（2x+3y）(2x-3y)=（2x）2-(3y)2=4x2-9y2  (2)(1+2a)(1-2a) =12-(2a)2=1-4a2  (3)(2x3+5y2)(2x3-5y2)=(2x3)2-(5y2)2=4x6-25y4  (4)(-a2-b2)(b2-a2)=(-a2-b2)(-a2+b2)=(-a2)2-(b2)2=a4-b4说明：  平方差公式（a+b）(a-b)=a2-b2的特征是：  （1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反

4、数。  （2）右边是乘式中两项的平方差：即用相同项的平方减去相反项的平方，在学习平方差公式时还应       注意：    公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式    一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调整，使它变化为符合公式标准的形式，如第（4）小题。例2计算（a+b）2和（a-b）2,可知（a+b）2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab

5、+b2=a2-2ab+b2,即（a±b）2=a2±2ab+b2，这就是说，两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或者减去）它们积的2倍，这两个公式叫做乘法的完全平方公式。利用这两个公式计算  (1)(x+5)2    (2)(2-y)2    (3)(3a+2b)2       (5) (-a+2b)2提示：  在套用完全平方公式进行计算时，一定要先弄清题目中的哪个数或式是a，哪个数或式是b。参考答案：  (1)(x+5)2=x2+2&#

6、183;x·5+52=x2+10x+25  (2)(2-y)2=22-2·2·y+y2=4-4y+y2  (3)(3a+2b)2=(3a)2+2·3a·2b+(2b)2=9a2+12ab+4b2    (5)(-a+2b)2=(-a)2+2·(-a)·2b+(2b)2=a2-4ab+4b2说明：  1、（a+b）2=a2+2ab+b2与（a-b）2=a2-2ab+b2都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。 

7、2、这两个公式的结构特征是：左边是两个相同的二项式相乘，（即二项式的平方形式），右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍。  3、公式中的字母a、b既可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等代数式。  4、只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式，在运用公式时，注意防止发生（a±b）2=a2±b2这样的错误。例3计算（a+b）(a2-ab+b2)和(a-b)(a2+ab+b2)，可知  （a+b）(a2-ab+b2)=a2-a2b+ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3,&

8、#160; （a-b）(a2+ab+b2)=a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3=a3-b3,即  （a±b）(a2ab+b2)=a3±b3，这就是说，两数和（或差）乘以它们的平方和与它们的积的差（或和），等于这两个数的立方和（或差），这两个公式叫做乘法的立方和公式与立方差公式，利用这两个公式计算：  （1）（x+2）(x2-2x+4); (2)(3-y)(9+3y+y2) ;  （3）(3x-4y)(9x2+12xy+16y2);  （5）(3x2-2y2)(9x4+6x2y2+4y4)提示：  先弄清题目是用立方和

9、公式还是用立方差公式计算，再弄清题目中哪个数或式是a，哪个数或式是b，最后再代入公式计算。参考答案：  （1）（x+2）(x2-2x+4)=(x+2)(x2-x·2+22)=x3+23=x3+8  （2）(3-y)(9+3y+y2)=(3-y)(32+3·y+y2)=33-y3=27-y3  （3）(3x-4y)(9x2+12xy+16y2)=(3x-4y)(3x)2+3x·4y+(4y2)=(3x)3-(4y)3=27x3-64y3    （5）（3x2-2y2）(9x4+6x2y2+4y4)=(3x2-2y2)

10、(3x2)2+3x2·2y2+(2y2)2                                =(3x2)3-(2y2)3=27x6-8y6说明：  1、注意对公式的理解和记忆（1）项数特征：两项乘三项积为二项，（2）符号特征：二项的因式若两项都为"+&qu

11、ot;，则三项的因式符号为+，-，+，积的符号与二项因式的符号相同，二项的因式符号若为"+"，"-"，则三项的因式符号为+，+，+，积的符号与二项因式的符号相同，即是说公式在各种条件都相符的情况下，所得的积是两数的"立方和"还是两数的"立方差"，主要看乘积中第一个乘式是"两数和"，还是"两数差"。  2、公式中的字母a、b仍代表任意数或代数式。第二阶梯例1利用乘法公式计算：  (1)（x+3）(x-3)(x2+9)   

12、60;  (2) (a+b)(a-b)(a2-b2)  (3) (x-2)(x+2)(x4+4x2+16)  (4) (a-b)(a2+ab+b2)(a6+a3b3+b6)提示：  （1）小题可两次使用平方差公式；  （2）小题先使用平方差公式，再使用完全平方公式；  （3）小题先使用平方差公式，再使用立方差公式  （4）小题两次使用立方差公式。参考答案：  (1)(x+3)(x-3)(x2+9)=(x2-9)(x2+9)=(x2)2-92=x4-81  (2)(a+b)(a-b)(a2-b2)=(a2-

13、b2)(a2-b2)=(a2-b2)2=(a2)2-2a2b2+(b2)2=a4-2a2b2+b4  (3)(x-2)(x+2)(x4+4x2+16)=(x2-4)(x4+4x2+16)=(x2)3-43=x6-64  (4)(a-b)(a2+ab+b2)(a6+a3b3+b6)=(a3-b3)(a6+a3b3+b6)=(a3)3-(b3)3=a9-b9说明：  遇到多项式的乘法问题，首先应看看是否符合某个乘法公式，若有恰当的公式使用可大大简化运算过程。例2运用乘法公式计算：  (1) (a+b+c)(a-b-c)   (2) (a-

14、2b+3c)(a+2b-3c)  (3) (x+2y+z)2        (4) (2x-3y-4z)2提示：  （1）（2）小题可利用平方差公式进行计算；（3）（4）小题可利用完全平方公式进行计算。参考答案：  (1)（a+b+c）(a-b-c)=a+(b+c)a-(b+c)=a2-(b+c)2=a2-(b2+2bc+c2)               

15、      =a2-b2-2bc-c2  (2) (a-2b+3c)(a+2b-3c)=a-(2b-3c)a+(2b-3c)=a2-(2b-3c)2                        =a2-(4b2-12bc+9c2)=a2-4b2-12bc-9c2  (3)（x+2y+z）2=x+(

16、2y+z)2=x2+2x(2y+z)+(2y+z)2=x2+4xy+2xz+4y2+4yz+z2  (4) (2x-3y-4z)2=2x-(3y+4z)2=(2x)2-2·2x·(3y+4z)+(13y+4z)2                 =4x2-4x(3y+4z)+(19y2+24yz+16z2)=4x2-12xy-16xz+9y2+24yz+16z2说明：  进行多项式乘法运算时，一定要认真仔细

17、地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调整。适当地添加括号，将有利于应用乘法公式，添加括号方式的不同，可一题多解，如（4）小题还可添加括号为（2x-3y）-4z2，但得出的结果均相同。例3利用乘法公式计算：  （1）（x+1）(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)  （2）(a+b)(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)提示：  （1）小题前两个因式可利用平方差公式计算，后两个因式也可利用平方差公式计算，也可以将第一个因式与第四个因式结合利用立方和公式，第二个因式与第三个因式结合利用立方差公式（2）小题类似。参考答案：（1）解法一：（

18、x+1）(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)            = (x2-1)(x2+1)2-x2            = (x2-1)(x4+2x2+1-x2)            = (x2-1)(x4+x2+1)   

19、         = (x2-1)(x2)2+x2-1+12            = (x2)3-13            = x6-1    解法二：（x+1）(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)     &

20、#160;      = (x+1)(x2-x+1)(x-1)(x2+x+1)            =（x3+1）(x3-1)            = (x3)2-12            = x6-1（2） 解法

21、一：（a+b）(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)             = (a2-b2)(a2+b2)2-(ab)2             = (a2-b2)(a4+2a2b2+b4-a2b2)            

22、 = (a2-b2)(a4+a2b2+b4)             = (a2)3-(b2)3             = a6-b6     解法二：（a+b）(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)         

23、;    = （a+b）(a2-ab+b2)(a-b)(a2+ab+b2)             = (a3+b3)(a3-b3)             = (a3)2-(b3)2            

24、=a6-b6说明：  进行整式乘法运算时，要注意观察题目的特点，统观全局，恰当地选用所学的乘法公式或用乘法法则进行计算，以上两道小题的解法中，显然解法二先运用立方和，立方差公式，再运用平方差公式，这样做既简便又不易出错。第三阶梯例1（1）化简化求值：（x+2）(x2-2x+4)+(x-1)(x2+x+1)，其中     （2）解方程：（2x+1）2-(x+1)(x-1)-3x(x-1)=0提示：  用乘法公式进行化简参考答案：（1）（x+2）(x2-2x+4)+(x-1)(x2+x+1)    

25、     = x3+8+x3-1         = 2x3+7  当时，  （2）（2x+1）2-(x+1)(x-1)-3x(x-1)=0     解：（4x2+4x+1）-(x2-1)-3x2+3x=0                4x2+4+1-x2+1-3x2

26、+3x=0                              7x=-2                   &

27、#160;           说明：  在化简求值和解方程的过程中，如果遇到多项式的乘法，应先观察能否运用乘法公式，如果能运用，很多乘法就可直接应用公式写出结果，这充分简化了计算过程。例2已知a+b=3,ab=-8,求下列各式的值。  （1）a2+b2   (2) a2-ab+b2    (3) (a-b)2   (4) a3+b3提示：  由完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2,可知a2+b2=

28、(a+b)2-2ab,利用已知条件可求出a2+b2的值，再分别代入（2），（3），（4），可求出（2），（3），（4）式的值。注意，第（4）小题应逆用立方和公式。参考答案：  (1) a2+b2=(a+b2)-2ab=32-2×(-8)=9+16=25  (2) a2-ab+b2=a2+b2-ab=25-(-8)=25+8=33  (3) (a-b)2=a2-2ab+b2=a2+b2-2ab=25-2×(-8)=25+16=41  (4) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)(a2+b2-ab)=3×25-

29、(-8)=3×33=99说明：  灵活运用公式变形和逆用公式，这些都是常用的解题技巧。例3若两个连续自然数的平方差是17，求这两个自然数的和？提示：  设一个自然数为x,另一个自然数为x+1，根据题意，列出方程，求出这两个自然数，进而求出它们的和参考答案：  解：设这两个连续自然数是x,x+1      根据题意得，      (x+1)2 -x2 =17       x2+2x+1-x2=17&

30、#160;            2x+1=17              2x=16               x=8     x+1=8+1=9  

31、60;  x+(x+1)=8+9=17  答：这两个自然数的和是17。说明：   解方程时还可逆用平方差公式(x+1)2-x2 =（x+1+x）(x+1-x)=2x+1四、检测题A组选择题1下列各式能用平方差公式进行计算的是（ ）  A.（a+2）(-a-2)  B.(-x-y)(y-x)  C.   D.(2x+y)(x-2y)2若16x2+mxy+81y2是一个完全平方式，则m的值为（ ）  A.36         B.72

32、60;         C.-72            D.±723a3-27b3的一个因式是 （ ）  A.a2+3ab+9b2  B.a2+3ab+9b2  C.a2-3ab+b2  D.a2-3ab+b24若x+y=9,xy=16，则 x2+y2=( )  A.81           B.17          C.49           D.145填空题1、（3x+2y）=(    ) = 9x2-4y22、（-1+2a）(-1-2a) =(      ) 3、（0.3x+y）2=(