心中有“数”不得意忘“形”

1、心中有“数”不得意忘“形”数与形是数学中两个最古老、最基本的元素， 是数学大厦深处的两块基石。在解决数学问题时，常 常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数 的问题利用形来观察，揭示其几何意义；而形的问题 也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关 系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结 合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法称之为数 形结合的思想方法。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系, 通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种思想方 法，包含“以形助数”和“以数解形”两个方面。一 是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以 形作为手段，数为目的，在高中数学的

2、学习中，不仅 要掌握学科有关知识，更重要的是能力的培养和提高。 近几年高考，往往通过图形、图表的识别、判断、分 析，来考查学生的分析问题和解决问题能力。而在解 题过程中，如能适时、巧妙地应用数形结合的思想方 法，则可起到事半功倍的效果。笔者归纳了高中数学 习题中渗透数形结合思想的常见题型，并对其进行了 简要解析。比如应用函数的图象来直观地说明函数的 性质。二是借助于 ?档木 ?确性和规范严密性来阐明形 的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用 曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉， 形缺 数时难入微。 数形结合百般好， 隔离分家万事非。”寥 寥数语

3、把数形结合说得淋漓尽致。数形结合是数学解 题中常用的一种数学思想方法，可以使抽象的数学问 题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有 助于把握数学问题中的本质。数学教学不仅是数学知 识的教学，更重要的是数学思想方法的教学，教学中 教师应注重对学生的观察、操作、分析思维能力的培 养，更应不断地渗透数学思想方法，将此作为教学的 核心，为学生的后继学习打下坚实的基础，使学生终 身受益。一、数形结合在解析几何中的应用 中学数学的基本知识分为三类：一类是纯粹数的 知识，如实数、代数式、方程（组） 、不等式（组）、 函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立 体几何等；一类是关于数形结合的知识，主

4、要体现是 解析几何。在高中数学解析几何这一模块中，处理问 题的常见方法有代数法和几何法。代数法是从“数” 的角度解决问题，几何法从“形”的角度解决问题， 这两种方法相辅相成，相得益彰。现举例如下：例题：若直线y=x+k与曲线x= 恰有一个公共点， 求实数 k 的取值范围。解：（数形结合法）曲线 x= 是单位圆 x2+y2=1 的右半圆（x>0）, k是直线y=x+k在y轴上的截距。在同一坐标系中画出两曲线图象如图所示， 可知： 直线与曲线相切时，k=-，由图形可得k=-或-1<k < 1。利用数形结合的思想方法， 能使复杂问题简单化， 抽象问题具体化，它在数学解题中具有极为独

5、特的指 导作用。以数论形是解析几何侧重的手法，其思考方法就 是几何条件解析化，即几何条件（形）等量关系（数） 代数方程 （式），它是求曲线方程的关键和 困难之处。笔者总结出转换数与形的三条途径：1. 通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动 求解。2. 转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转 化到另一个角度来考虑，如转化为勾股定理或平面上 两点间的距离等。3. 构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数， 构造一个图表等。二、数形结合在求解值域或最值问题中的应用 “数形结合”是求解数学问题的一种常用的思维 方法。教师在教学中经常引导学生创设“数形结合” 的情境，不仅可以沟通数与形的内在联系，把

6、代数式 的精确刻画与几何图形的直观描述有机地结合起来， 力图在这种结合中寻找到解题的思想与方法，同时又 有利于开拓学生解题思路， 发展学生的形象思维能力。总之，数形结合的思想方法应用广泛，从以上的 例子中可以发现，运用数形结合思想，不仅直观易发 现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简 化了解题过程。 这在解选择题、填空题中更显其优越。 由于“数形结合”具有形象直观、易于接受等优点， 且对于沟通知识间的联系，活跃课堂气氛，开阔学生 思路，发展智能，提高数学水平有着独到的作用，作 为一线的教师，我们要积极挖掘教材中“数形结合” 的例题与习题，注重引导学生动脑筋，设计确切的数 学模型，创设“数形结合”的情境，多加强学生形象 思维的训练，进而促进学生从形象思维到抽象思维的 转化，引导学生争