2013年学而思杯数学试题(五年级)答案解析

1、2013 年第三届全国学而思综合能力测评（学而思杯）数学试卷（五年级）详解一填空题（每题 5 分，共 20 分）1.两个质数的和是 9，那么这两个质数的乘积是【考点】数论，质数性质【难度】【答案】14【分析】两质数和为奇数，必有偶质数 2，另一质数为 7，故答案为 2 7 = 14 .2.如右图，共有个正方形【考点】组合，几何计数【难度】【答案】10【分析】11的正方形有 4 个， 2 2 的正方形有 5 个， 4 4 的正方形有 1 个，共 10 个.3.学而思教研部一共购买了 300 本书，其中有五分之二是数学书，三分之一是语文书，其余是英语 书那么，英语书共有本【考点】应用题，分数应用题

2、【难度】【答案】80【分析】 300 (1 - 2 - 1) = 300 - 120 - 100 = 80 （本）.534.如右图，正方形 ABCD 边长为 40 厘米，其中 M、N、P、Q 为所在边的 中点；分别以正方形的顶点为圆心，以边长的一半为半径做直角扇形， 那么形成图中阴影部分的面积是平方厘米（取 3.14）【考点】几何，圆与扇形面积【难度】【答案】344【分析】阴影面积的实质是整体减空白：边长 40 厘米的正方形面积减去半径为 20 厘米的圆的面积（4个扇形刚好拼成一个整圆），故答案为 402 - 3.14 202 = 400 (4 - 3.14) = 344 平方厘米.二填空题（

3、每题 6 分，共 24 分）5.对一个大于 1 的自然数进行如下操作：如果是偶数则除以 2，如果是奇数则先减去 1 再除以 2，如此进行直到得数为 1，操作停止那么，所有经过 3 次操作结果为 1 的数中，最大的数是 【考点】数论，奇偶性，倒推【难度】【答案】15【分析】从 1 向前倒推，寻找原数的最大值；但发现若上一步是偶数，则须本数 2 ；若上一步是奇数，则须本数 2 + 1 ；明显每次向前推出奇数可使原数更大，倒推过程为：13715；故 15 为原 数的可能达到的最大值.6.定义： D( A, B,C, D) = A 4 + B 3 + C 2 + D 1 ，那么， D(2, 0,1,

4、3) =_【考点】计算，定义新运算【难度】【答案】13【分析】按定义式， D(2, 0,1,3) = 2 4 + 0 3 + 1 2 + 3 1 = 13 .7.一项工程，由甲队单独做 10 天后，乙队加入，甲、乙两队又合作了 8 天完成；这项工程，如果 全部由乙队单独做，20 天可以完成那么，如果全部由甲队单独做，天可以完成【考点】应用题，工程问题【难度】【答案】30【分析】把总工作量看做单位“1”，则乙队的工作效率为每天做 120，故可在甲乙合作的条件中求出甲队的工作效率为每天做 (1 -1 8) (10 + 8) = 3 18 = 1；故答案为 30.205308.如右图，大正方体的棱长

5、为 2 厘米，两个小正方体的棱长均为 1厘米，那么，组合后整个立体图形的表面积为平方厘米【考点】几何，立体几何，表面积【难度】【答案】32【分析】三个立方体原总表面积为12 6 + 12 6 + 22 6 = 36 平方厘米，之后放在一起时缺失了 4 个11的表面，故答案为 36 - 12 4 = 32 平方厘米；或者可用三视图法求表面积： (5 + 5 + 6) 2 = 32 平方厘米.三填空题（每题 7 分，共 28 分）9.甲、乙、丙 3 人共有 2013 块巧克力，甲拿走了乙、丙各 3 块巧克力后，甲、乙、丙 3 人的巧克力数比为 4: 2: 5 ，那么，甲原有【考点】应用题，比例应用

6、题【难度】【答案】726块巧克力【分析】之后甲的巧克力块数易由 3 人的块数比求得，为 2013 732 - 3 2 = 726 块.44 + 2 + 5= 732 块，故甲原有巧克力10. 在 55 的方格中，将其中的一些小方格染成红色，使得对于图中任意的22 的方格中，均有至少 1 个小方格是红色的那么，至少要将 个小方格染成红色【考点】组合，构造与论证【难度】【答案】4【分析】论证：为了保证 4 个角上的互不重叠的 4 个 2 2 的方格中都至少有 1个红色方格，可知答案必不小于 4； 构造：如右图，4 是可能的； 综上，答案为 4.11. 一个五位数，各位数字互不相同，并且满足：从左往

7、右，第一位是 2 的倍数，前两位组成的两位数是 3 的倍数，前三位组成的三位数是 5 的倍数，前四位组成的四位数是 7 的倍数，这个五位数是 11 的倍数那么，这个五位数最小是【考点】数论，整除特征，最值【难度】【答案】21076【分析】考虑最值确定各位数字：万位是 2 的倍数，故万位最小应为 2； 前两位组成的数是 3 的倍数，故前两位最小应为 21； 前三位组成的数是 5 的倍数，故前三位最小应为 210；前四位组成的数是 7 的倍数，最小为 2100，但要求各位数字不同，故应为 2107； 这个五位数是 11 的倍数，故此数应为 21076.12. 右边的乘法竖式中，相同汉字代表相同数字

8、，不同汉字代表不同数字，那么，“大自然”代表的三 位数是【考点】数论，数字谜【难度】【答案】958我 爱 大 自 然4大自 然 爱 我【分析】由个位可知“我”为偶数，再分析最高位即可知“我”只能为 2；故“然”为 3 或 8；（还可分析知 五个汉字所代表的数字之和必为 3 的倍数，这个小结论可以辅助之后的分析）若“然”= 8，则分析万位知“大”只能为 9，故千位“爱”乘以 4 后向万位进 1，可知“爱”为 3 或 4；若“爱”= 4，此时十位：“自 4 + 3 ”的末位数字为 4，这表示“自 4 ”的末位数字为 1，奇偶性 矛盾！故确定“爱”只能为 3；若“爱”= 3，此时十位：“自 4 +

9、3 ”的末位数字为 3，这表示“自 4 ”的末位数字为 0，“自”为 0或 5；若“自”= 0，千位要接受进位 8，这不可能；若“自”= 5，则有答案 23958 4 = 95832 ； 若“然”= 3，分析万位知“大”为 9 或 8；若“大”= 9，则千位“爱”乘以 4 后向万位进 1，可知“爱”只能为 4；此时十位：“自 4 + 1 ”的末 位数字为 4，这表示“自 4 ”的末位数字为 3，奇偶性矛盾！故知只能“大”= 8；若“大”= 8，分析十位可知“爱”为奇数，再分析千位可知“爱”= 1；此时无论十位的“自”为 0 还是为 5，式子的百位和千位都是错误的（ 21803 4 = 8031

10、2 错误；21853 4 = 85312 错误），故知“然”= 3 时无解；综上，本数字谜只有唯一解： 23958 4 = 95832 ，本题答案为 958.四填空题（每题 8 分，共 32 分）13. 有 A、B、C、D、E、F 六个人围坐在圆桌吃饭，A 会讲英语，1B 会讲汉语、英语和法语，C 会讲汉语、英语和德语，D 会讲62汉语和德语，E 会讲汉语，F 会讲法语和德语如果每个人都能与他相邻的两个人交流，那么，共有种不同的排 座位方式（经过旋转、对称后重合的方式不算做一种）【考点】组合，逻辑推理53【难度】4【答案】24【分析】本题突破口在于 A，由于 A 只会说英语，英语也只有 A、B

11、、C 三人会说，故座位顺序中必然 有紧邻的 BAC（或 CAB），此时分析 F 可知 F 必须与 B 或 C 中的一个相邻，E 必须在 D、F 的中 间；综上，得到两种圆排列方式：BACEDF；BACFDE；每种圆排列方式都有旋转、对称的 12 种排座方式，故答案为12 2 = 24 种.14. A、B 两地相距 120 千米甲、乙从 A 地，丙从 B 地同时出发，相向而行当甲、丙相遇时，乙 行了 20 千米甲到达 B 地后立即原路返回，当乙、丙相遇在途中 C 地时，甲也恰好到达 C 地 那么，当丙到达 A 地时，乙共行了千米【考点】行程问题，比例法解行程问题【难度】【答案】72【分析】本题关

12、键点在于甲丙速度之和与乙的速度之比为 120 : 20 = 6 :1 ；设甲、乙、丙三人到达 C 点z + y = 120时各走了 x、y、z 千米，则有方程组：x - z = 120，解得 y = 3 （可以解出 x、y、z 的具体值，(x + z) : y = 6 :1z5但其实不必要）；故丙走了 120 千米时，乙走了120 3 = 72 千米.515. 如右图，三角形 ABC 是直角三角形，M 是斜边 BCA 的中点，MNPQ 是正方形，N 在 AB 上，P 在 AC 上NP 如果，AB 的长度是 12 厘米，AC 的长度是 8 厘米那么，正方形 MNPQ 的面积是平方厘米Q【考点】几

13、何，面积，弦图BMC【难度】【答案】20【分析】如下图，过 M 点作 AB 的垂线，垂足为 D；以 AD 为外围正方形的一边，做出以 MNPQ 为内含正方形的弦图，；则 MD 为ABC 的中位线， MD = AC = 4cm ， AD = AB = 6cm ；故弦图中外22围正方形边长为 6cm， AN = MD = 4cm ， DN = 6 - 4 = 2cm ；故所求面积为 62 - 2 4 4 = 20cm2 .2AANPNP DDQFBMCMQ E16. 有一个自然数 A，它的平方有 9 个约数，老师把 9 个约数写在 9 张卡片上，发给学学三张、思思 三张学学说：“我手中的三个数乘积

14、是 A3 ”思思说：“我手中的三个数乘积就是 A2 ，而且我知道你手中的三个数和是 625”那么，思思手中的三个数和是【考点】数论，约数个数定理，幻方【难度】【答案】55【分析】 A2 有 9 个约数，故由约数个数定理可逆推出：A 的质因数分解形式为 p4 或 pq （p、q 为不相 同的质数）；若 A = p4 ，那么可把 A2 的 9 个约数写成如下的表格形式（幻方）：p71p5p2p4p6p3p8p学学手中必拿到了一行或一列或一条对角线；思思手中拿到的可能是（1、 p 、 p7 ）（1、 p2 、 p6 ）（1、 p3 、 p5 ）（ p 、 p2 、 p5 ）（ p 、 p3 、 p4

15、 ）；只有后两组才能确定学学手中的牌，但后两 组所确定的数需要1 + p4 + p8 = 625 或1 + p5 + p7 = 625 ，可是这两种情况 p 均无解；故知 A 的质 因数分解形式不能为 p4 ，只能为 pq ；若 A = pq ，那么可把 A2 的 9 个约数写成如下的表格形式1pp2qpqp2 q q2pq2p2 q2思思手中拿到的可能是（1、 p 、 pq2 ）（1、 q 、 p2 q ）（1、 p2 、 q2 ）（ p 、 q 、 pq ）；经分析可 知，只有当思思拿到（p、q、pq）时，才一定能确定学学手中的牌，此时学学手中的牌为（1、 p2 q 、 pq2 ），故1

16、+ p2 q + pq2 = 625 ，（可用枚举法，或因数分析）解得 A 的两个质因数 p、 q 为 3 和 13，故思思手中的牌为（3、13、39），所求答案为 3 + 13 + 39 = 55 .五解答题（每题 8 分，共 16 分）17. 计算：（1） 0.27 103 + 0.19 （4 分）（2） 2013 2.3& + 201 3 0.4 - 2013 1 （4 分）104【考点】计算、巧算【难度】【答案】28；4697【分析】（1）原式 = 0.27 100 + (0.27 3 + 0.19) = 27 + 1 = 28 ；（2）原式 = 2013 7 + 2013 4 - 2

17、013 4 = 2013 7 = 4697 .3318. 解方程：（1） 4(2x - 1) - 3(x - 2) = 7 （4 分）（2） 2 x + 5 = 4 x - 7 （4 分）35【考点】计算、解方程【难度】【答案】 x = 1 ； x = 23【分析】（1）注意去第 2 个括号时要变号；原方程化为： 8x - 4 - 3x + 6 = 7 ，即 5x = 5 ，解得 x = 1 ；（2）通分，原方程化为：5(2x + 5) = 3(4x - 7) ，即10x + 25 = 12x - 21 ，即 2x = 46 ，解得 x = 23 .六解答题（每题 15 分，共 30 分）19

18、. 如图，将 1、2、3按规律排成一个沙漏型的数表，那么，L12 13 14 15LLLL上 3 行（1）下 5 行从左向右数的第 5 个数是多少？（4 分）（2）上 6 行最左边的数是多少？（4 分）（3）2013 排在哪一行的从左向右数的第多少个？（7 分）【考点】计算、数列与数表6 7 82 315 411 10 9LLLLLLLLLLLLLLLLLLLL上 2 行 上 1 行 0 行 下 1 行 下 2 行【难度】【答案】37；42；上 44 行从左向右第 34 个19 18 17 16LLLLL下 3 行【分析】（1）下 n 行从左向右第 (n + 1) 个数（即最右数）为 (n + 1)2 ；故下 5 行从左向右第 6 个数为 36，下 5 行从左向右第 5 个数为 37；（2）上 n 行从左向右第 1 个数（即最左数）为 n(n + 1) ；故上 6 行最左数为 42；（3）上 44 行从左向右第 1 个数为 44 45 = 1980 ，故 2013 为